Sparse mixture iterative closest point registration

混合稀疏迭代最近点配准 Sparse mixture iterative closest point registration corresp first-author E-mail： 2249791454@qq.com E-mail： 2249791454@qq.com 刘跃生（1992-），男，广东揭阳人，博士研究生，2015年于广东技术师范大学获得学士学位，2019年于广东工业大学获得硕士学位，现为广东工业大学机电工程学院博士研究生，主要从事计算机视觉及机器人控制方面的研究。E-mail： 2249791454@qq.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936141&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936146&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936144&type= 22.01332855 32.00401306 刘跃生 （1992-），男，广东揭阳人，博士研究生，2015年于广东技术师范大学获得学士学位，2019年于广东工业大学获得硕士学位，现为广东工业大学机电工程学院博士研究生，主要从事计算机视觉及机器人控制方面的研究。E-mail： 2249791454@qq.com 2249791454@qq.com 陈新度（1967-），男，湖南长沙人，教授，博士生导师，分别在1989年、1992年和1995年于华中理工大学获得学士学位、硕士学位和博士学位，现为广东工业大学的教授，主要研究方向为网络化制造、制造系统建模和仿真优化。E-mail：544394747@qq.com陈新度（1967-），男，湖南长沙人，教授，博士生导师，分别在1989年、1992年和1995年于华中理工大学获得学士学位、硕士学位和博士学位，现为广东工业大学的教授，主要研究方向为网络化制造、制造系统建模和仿真优化。E-mail：544394747@qq.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936149&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936155&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936152&type= 22.01332855 32.00398254 陈新度 （1967-），男，湖南长沙人，教授，博士生导师，分别在1989年、1992年和1995年于华中理工大学获得学士学位、硕士学位和博士学位，现为广东工业大学的教授，主要研究方向为网络化制造、制造系统建模和仿真优化。E-mail： 544394747@qq.com 陈新度 （1967-），男，湖南长沙人，教授，博士生导师，分别在1989年、1992年和1995年于华中理工大学获得学士学位、硕士学位和博士学位，现为广东工业大学的教授，主要研究方向为网络化制造、制造系统建模和仿真优化。E-mail： 544394747@qq.com 544394747@qq.com 广东工业大学 机电工程学院，广东 广州 510006 广东工业大学 机电工程学院，广东 广州 510006 College of Electromechanical Engineering， Guang Dong University of Technology.， Guangzhou 510006， Guangdong College of Electromechanical Engineering， Guang Dong University of Technology.， Guangzhou 510006， Guangdong 为了避免离群值的影响，提出了混合稀疏迭代最近点（SM-ICP）方法，以实现点云精确配准。本文对稀疏表示、正则化求解和点云配准方法进行了研究。首先，利用混合正则项表示配准残差，构建混合稀疏配准函数。然后，结合交替乘子法（ADMM）构建了所提出函数的双循环优化框架。其中，混合正则项的平衡权重 <math id="M1"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936161&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936158&type= 1.52400005 2.37066650 可由Sigmoid函数求解；此外，还给出了ADMM优化框架内循环中对应损失函数的标量形式。最后，推导了该标量化损失函数在点云配准中的软阈值表达式。实验结果表明，所提出SM-ICP算法的配准精度优于所对比的算法。特别的，在重叠率约为50%的斯坦福兔子配准实验中，SM-ICP算法的截断配准误差为2.04×10 -4 ，较Robust Trimmed-ICP（Tr-ICP）算法和ICP算法的配准误差减小了一个量级，且较稀疏ICP（S-ICP）算法减小了约三倍；在其它对象、场景类型的点云配准实验中，SM-ICP算法的配准精度同样较其它对比算法更优；在具有不同层级随机噪声点云的配准实验中，SM-ICP的截断配准误差为4.90×10 - 6 ~1.33×10 -4 ，同样较其它对比算法减小了一个量级或几倍；在发动机叶片配准实验中，本文方法成功实现了点云精确配准，而其它对比算法的配准结果中存在不同程度的点云错位情况。所提出的点云配准方法具有精确、鲁棒性和泛化性等优势。 The sparse mixture iterative closest point （SM-ICP） method is proposed for achieving accurate alignment of point-sets， while avoiding the influence of outliers. This study investigates sparse representation， non-convex optimization， and point-sets registration. First， the registered residuals are represented by mixed regularization to establish a sparse mixture formula. The alternating direction of multiplier method （ADMM） is then integrated to solve the proposed formula using a nested framework. Among the variables， the balance weight θ for mixed regularization can be calculated using a sigmoid function. The scalar version is also provided to represent the corresponding loss of function in the inner loop of ADMM. Finally， the soft threshold formula for the scalar version can be deduced in point-set registration. Experimental results indicate that the registration accuracy of the proposed SM-ICP method is better than the that of established algorithms investigated for comparison. This improved accuracy is especially striking in the registration experiment of the Stanford bunny dataset. With 50% overlap rate， the trimmed registration error of SM-ICP was 2.04×10 - 4 . Compared with other methods， our trimmed error was one order of magnitude lower than those of the robust Trimmed-ICP （robust Tr-ICP） and ICP algorithms. Moreover， it was approximately three times lower than the error obtained using the sparse ICP （S-ICP） algorithm. In the registration experiments for both other objects and for scene data， the registration accuracy of the SM-ICP method also performed better than comparable algorithms. In the registration experiment of point-sets with different levels of random noise， the trimmed registration error of SM-ICP was 4.90×10 - 6 ~1.33×10 - 4 . This was several times to one order of magnitude lower than those of other algorithms. In the registration experiment for the engine blade， our method successfully achieved accurate registration of point-sets， but the results produced by comparable algorithms displayed different degrees of dislocation in their point-sets registration. In summary， the proposed SM-ICP algorithm displays advantages in accuracy， robustness， and generalization for point-set registration. 点云配准 迭代最近点算法 混合稀疏表示 正则化 交替乘子法 point-set registration iterative closest point sparse mixed representation regularization alternating direction of multiplier method 1 引　言 1 随着传感器技术的发展，三维激光扫描仪可通过点云感知实体的完整几何信息，在现代工业中占据了重要地位。然而，受遮挡、扫描位姿等因素影响，多视角点云数据在同一坐标下通常是错位且部分重叠的。因此，为了获取完整的三维点云模型，点云配准 ［ 1 1 ］ 旨在搜索相邻视角点云的正确匹配点对，并求解对应的空间变换矩阵。在此基础上，点云配准可将源点云和目标点云配准到相同坐标系下，广泛应用于机器人制造 ［ 2 2 ］ ，空间重构 ［ 3 3 ］ 和医学诊断 ［ 4 4 ］ 等领域。 早在1992年，Besl等 ［ 5 5 ］ 提出的ICP算法就已被认为是强有力的点云配准方法，其原理简单但富有成效，可简单概括为：迭代匹配最近邻点，并同时更新对应的空间变换矩阵，直到收敛。然而，在部分重叠点云配准中，离群值通常指待配准点云的非重叠部分点集，其由于缺乏有效的匹配点对，会使点云配准问题转化成为更具挑战性的非凸优化问题 ［ 6 6 ］ ，以至于ICP算法在该类配准中容易陷入局部最优解。 针对离群值问题，为了提高点云配准的稳健性，在经典ICP算法的基础上，学者提出了一系列的ICP变种方法。其中，Chetverikov等 ［ 7 7 - 8 8 7-8 ］ 提出了Tr-ICP算法，通过计算迭代过程中的最近邻匹配点对的欧式距离，并利用截断最小二乘技术惩罚离群值，可有效实现多视角点云配准，但其难以自主调整截断能量函数的内参。 为了进一步避免离群值对配准算法的影响，Bouaziz等 ［ 6 6 ］ 在 <math id="M2"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>p</mi><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0,1</mn></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936169&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936165&type= 20.06599998 4.82600021 正则化稀疏诱导理论的基础上，提出了更具弹性的稀疏迭代最近点（S-ICP）算法，其结合ADMM方法构建了双循环的优化框架，并通过计算配准残差的对偶解，有效的实现了点云的精确配准，但S-ICP算法受限于单一的 <math id="M3"><mi>p</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936459&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936455&type= 1.86266661 3.64066648 阶次正则项，泛化性较差。 另一方面，区别于迭代最近点配准方法，主成分分析法 ［ 9 9 ］ 由于具有良好的特征降维能力，可提取点云的特征线 ［ 10 10 ］ ，并实现点云粗配准。此外，基于深度学习的点云配准方法 ［ 11 11 - 13 13 11-13 ］ 由于具有高效、精确的优势，也得到了广泛的研究，但受限于复杂的数据集、采样方法和超参数优化，其在实际应用中还不够成熟。 由于ICP算法的原理具有简单、实用和收敛等优势，且S-ICP算法继承了ICP杰出的结构并具有良好的离群值惩罚能力。因此，为了解决点云的配准问题，本文在S-ICP的基础上，结合了Li等 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ 和Stephen等 ［ 16 16 ］ 所提出的泛化稀疏表示理论，进一步研究了更泛化的混合稀疏ICP点云配准方法，以避免离群值的影响，并实现点云精确配准。 2 基本原理 1 2.1　混合稀疏配准函数 2 给定源点云 <math id="M4"><mi mathvariant="bold-italic">X</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936183&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936180&type= 37.25333405 4.48733330 和目标点云 <math id="M5"><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936190&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936186&type= 38.35400009 4.65666676 ，其中 <math id="M6"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936198&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936194&type= 15.23999977 4.82600021 代表三维点坐标。为了避免离群值的影响，S-ICP提出了利用 <math id="M7"><mi>p</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936459&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936455&type= 1.86266661 3.64066648 阶次正则项表示点云配准残差，以提高点云配准的鲁棒性。然而，部分重叠点云配准问题本质上是 <math id="M8"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936213&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936209&type= 2.37066650 3.72533321 范数优化问题，其优化目标不仅要求配准残差和最小，也要求匹配的点对最多（例如0+0+0+0+0=0优于0+0+0=0），如 图1 图1 所示。 因此，本文在S-ICP的基础上，提出了加权的混合正则项，以更泛化的表示配准残差 <math id="M9"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936328&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936324&type= 2.62466669 3.72533321 。进一步的，点云 <math id="M10"><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936315&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936312&type= 2.70933342 2.79399991 向 <math id="M11"><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936307&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936303&type= 2.87866688 2.79399991 配准的混合稀疏配准函数，可表示为： <math display="block" id="M12"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="bold">t</mi></mrow></munder><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936254&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936250&type= 55.88000107 8.38199997 ， 其中， <math id="M13"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">0,1</mn></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936263&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936259&type= 15.40933418 4.06400013 表示混合正则项的平衡权重。配准残差 <math id="M14"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936328&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936324&type= 2.62466669 3.72533321 可表示为 <math display="block" id="M15"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936278&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936275&type= 27.51666832 4.99533367 ， 其中， <math id="M16"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936286&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936282&type= 2.70933342 2.79399991 ， <math id="M17"><mi mathvariant="bold-italic">t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936292&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936290&type= 1.18533325 2.79399991 分别表示旋转矩阵和平移向量， <math id="M18"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>∈</mo><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936299&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936295&type= 10.41399956 4.06400013 是目标点云 <math id="M19"><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936307&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936303&type= 2.87866688 2.79399991 相对于源点云 <math id="M20"><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936315&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936312&type= 2.70933342 2.79399991 的最近邻点，可表示： <math display="block" id="M21"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936322&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936318&type= 35.72933197 5.92666674 . 然而，由于 公式（1） 公式（1） 是非光滑、非凸的，且其对 <math id="M22"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936328&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936324&type= 2.62466669 3.72533321 求偏导数所得到的 <math id="M23"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936337&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936332&type= 11.26066685 6.18066692 项，会在 <math id="M24"><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936343&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936341&type= 14.64733315 5.92666674 时，趋于无穷大，传统的凸优化方法难以对其进行求解。 2.2　交替乘子法 2 为了求解该配准函数，本文结合著名的ICP两步法和交替乘子法，构建了双循环的优化框架。其中外循环可利用 式（3） 式（3） 搜索最近邻点作为迭代过程中的估计匹配点，内循环则由交替乘子法将 式（1） 式（1） 对偶分解为： <math display="block" id="M25"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></munder><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo></mrow></mfenced></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" 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largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936360&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936356&type= 40.89400101 8.38199997 ， <math display="block" id="M27"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi>μ</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936367&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936363&type= 19.72733307 4.57200003 ， 其中： <math id="M28"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936375&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936371&type= 2.53999996 3.72533321 表示拉格朗日乘子， <math id="M29"><mi>μ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936382&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936377&type= 1.94733346 3.64066648 表示惩罚权重，向量 <math id="M30"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936389&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936386&type= 2.96333337 3.72533321 ， <math id="M31"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936396&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936394&type= 2.37066650 3.72533321 和 <math id="M32"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936404&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936400&type= 2.96333337 3.72533321 可分别表示为： <math display="block" id="M33"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>R</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936413&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936408&type= 36.32199860 8.38199997 ， <math display="block" id="M34"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">c</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936420&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936417&type= 26.67000008 8.38199997 ， <math display="block" id="M35"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>R</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936425&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936424&type= 35.22133255 4.99533367 ， 其中： 式（7） 式（7） 和 式（8） 式（8） 分别用于描述配准过程源点云和目标点云中匹配点的对偶解。在 式（9） 式（9） 的约束下，ADMM的对偶优化框架将在多次迭代后收敛。 3 正则化损失函数最小化 1 3.1　平衡权重确定 2 针对 式（5） 式（5） 的求解问题，可结合ICP算法求解对应的空间变换矩阵。然而， 式（4） 式（4） 所涉及的正则化问题依然涉及了平衡权重 <math id="M36"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936562&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936559&type= 2.53999996 3.72533321 和 <math id="M37"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936443&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936440&type= 7.78933382 6.18066692 正则项，难以直接求解。为了有效、快速的求解 公式（4） 公式（4） ，本文区别于传统的交叉验证方法，先验的认为源点云在配准算法的作用下，会收敛于正确的配准位置，即点云重叠部分的最近邻点对的欧式距离会越来越小。因此，对于距离较大的最近邻匹配点，归类于离群值的概率更大，可设置较大的平衡权重 <math id="M38"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936562&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936559&type= 2.53999996 3.72533321 ，以充分发挥 <math id="M39"><mi>p</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936459&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936455&type= 1.86266661 3.64066648 阶次正则项的稀疏惩罚能力；反之，对于距离较小的最近邻匹配点，可设置较小的平衡权重 <math id="M40"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936562&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936559&type= 2.53999996 3.72533321 ，以充分发挥 <math id="M41"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936474&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936469&type= 2.37066650 3.72533321 正则项的最小二乘逼近能力。在此基础上，本文结合Sigmoid函数构建了平衡权重与最近邻点对距离的关联函数： <math display="block" id="M42"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936481&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936477&type= 30.31066895 8.55133343 ， 其中， <math id="M43"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">5</mn><mo>,</mo><mi>u</mi><mi>p</mi><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936488&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936484&type= 25.82333374 4.82600021 ， <math id="M44"><mi>u</mi><mi>p</mi><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936555&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936550&type= 8.46666718 3.64066648 是Sigmoid函数的可变区间上界，如 图2 图2 所示。 然后，对最近邻匹配点对的欧式距离排序并计算其中的中位数Median。变量 <math id="M45"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936514&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936510&type= 2.62466669 4.57200003 可定义为： <math display="block" id="M46"><msub><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">5</mn><mo>+</mo><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936521&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936517&type= 38.77733231 7.61999989 . 为了充分惩罚、弱化离群值，混合稀疏配准的稀疏性应随着迭代次数的增加而逐渐增强，即在点云配准过程中， <math id="M47"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936546&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936542&type= 11.34533310 2.87866688 只在初次迭代时计算以作为初始值，并在每次迭代过程中逐渐减小为上一次迭代的 <math id="M48"><mi mathvariant="normal">ν</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936533&type= 1.43933344 2.79399991 倍。随着中位数 <math id="M49"><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936546&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936542&type= 11.34533310 2.87866688 的逐渐变小，Sigmoid函数的区间上界 <math id="M50"><mi>u</mi><mi>p</mi><mi>p</mi><mi>e</mi><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936555&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936550&type= 8.46666718 3.64066648 将逐渐变大，即混合稀疏配准模型中的平衡权重 <math id="M51"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936562&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936559&type= 2.53999996 3.72533321 将趋于1。 3.2　正则化函数标量化 2 由于 公式（4） 公式（4） 中的变量 <math id="M52"><msub><mrow><mi mathvariant="bold">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936569&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936565&type= 2.28600001 3.64066648 为向量形式，求解较为困难。因此，我们在平衡权重确定的基础上，利用著名的最优化-最小化框架（Majorization-Minimization， MM） ［ 17 17 ］ 对该优化问题进行标量化处理，得到更简单的代理模型，如 图3 图3 所示。 首先，令原函数为 <math display="block" id="M53"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936590&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936586&type= 53.67866135 15.49400043 由MM算法可知，为了构建标量化的代理函数 <math id="M54"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936598&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936595&type= 9.90600014 4.91066647 ，并使得最优解等价于 <math id="M55"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936606&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936602&type= 12.27666664 3.72533321 ，需证明不等式 <math id="M56"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936611&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936609&type= 23.02933502 4.91066647 恒成立。由S-ICP ［ 6 6 ］ 附录D知， <math id="M57"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936620&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936615&type= 23.19866753 6.18066692 及 <math id="M58"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936629&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936625&type= 38.43866730 6.18066692 已得到证明。因此，本文只需证明 <math id="M59"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936635&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936632&type= 23.19866753 6.18066692 ，即可得 <math id="M60"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>≤</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936642&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936638&type= 22.26733208 4.82600021 恒成立。假设向量 <math id="M61"><mi mathvariant="bold-italic">Η</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936648&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936646&type= 10.92199993 3.38666677 与 <math id="M62"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936656&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936652&type= 2.62466669 3.72533321 正交，则残差变量 <math id="M63"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936665&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936660&type= 2.62466669 3.72533321 可表示为： <math display="block" id="M64"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">Η</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936672&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936668&type= 20.65866661 3.80999994 . 对其求平方，可得： <math display="block" id="M65"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">Η</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Τ</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">Η</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Η</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936679&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936676&type= 51.90066528 14.13933277 由于 <math id="M66"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Η</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>≥</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936689&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936683&type= 15.40933418 5.24933338 ，则可证明 <math id="M67"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>≥</mo><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936696&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936692&type= 23.36800003 6.18066692 ，所以 <math id="M68"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>a</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936704&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936698&type= 23.11400032 4.91066647 恒成立。在此基础上， 式（4） 式（4） 可转化为标量化的代理函数： <math display="block" id="M69"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><munder><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936708&type= 64.43132782 17.94933319 3.3　 <math id="M70"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936719&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936715&type= 2.28600001 3.72533321 优化方法 2 为了求解 公式（15） 公式（15） ，分别求标量参数 <math id="M71"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936799&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936797&type= 2.62466669 3.72533321 的偏导数 <math id="M72"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936734&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936731&type= 10.15999985 9.65200043 ，可得： <math display="block" id="M73"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>p</mi><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn 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mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936741&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936736&type= 74.67600250 14.13933277 令 <math id="M74"><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936746&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936743&type= 15.40933418 4.91066647 ，则 公式（16） 公式（16） 两边同时除以 <math id="M75"><mi>μ</mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936752&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936750&type= 10.66800022 5.92666674 ，可得： <math display="block" id="M76"><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936789&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936786&type= 11.34533310 4.65666676 ，并对其求二阶偏导数。由于 <math id="M78"><msup><mrow><mi>ψ</mi></mrow><mrow><mo>″</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>></mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936771&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936768&type= 19.04999924 4.91066647 ，可知 <math id="M79"><mi>ψ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936789&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936786&type= 11.34533310 4.65666676 是凸函数，存在全局最小极值。由文献 ［ 18 18 ］ 附录A可知，只有当 <math id="M80"><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936783&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936780&type= 8.12800026 5.92666674 大于 <math id="M81"><mi>ψ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936789&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936786&type= 11.34533310 4.65666676 的极小值时， <math id="M82"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936796&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936793&type= 5.92666674 3.72533321 才有解，否则令 <math id="M83"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936799&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936797&type= 2.62466669 3.72533321 为0，如 图4 图4 所示。 因此， 式（15） 式（15） 的解析式可表示为： <math display="block" id="M86"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mi>i</mi><mi>f</mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>≤</mo><mover><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mo>~</mo></mrow></mover></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mi>i</mi><mi>f</mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>></mo><mover><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mo>~</mo></mrow></mover></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936820&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936817&type= 35.89866638 16.42533302 ， 其中：软阈值 <math id="M87"><mover><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mo>~</mo></mrow></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936827&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936822&type= 2.28600001 4.65666676 为 <math id="M88"><mi>ψ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936831&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936829&type= 11.43000031 4.91066647 的极小值， <math id="M89"><mi>β</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936835&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936833&type= 1.94733346 3.80999994 为对应的缩放因子，可分别表示为： <math display="block" id="M90"><mover><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mo>~</mo></mrow></mover><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936838&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936836&type= 61.21400070 11.34533310 ， <math display="block" id="M91"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mi>p</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>μ</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>-</mo><mi>p</mi></mrow></mfrac></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936844&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936841&type= 38.86199951 13.88533401 ， <math display="block" id="M92"><msubsup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>μ</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>μ</mi></mrow></mfrac><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936849&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936847&type= 74.08333588 10.24466610 ， 其中， <math id="M93"><msubsup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>∈</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>p</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936853&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936851&type= 30.56466866 7.02733374 是 公式（21） 公式（21） 的迭代初值，且由S-ICP ［ 6 6 ］ 附录C可知，其将在两或三次迭代后收敛。 在此基础上，本文所提出的SM-ICP算法可通过ADMM双循环优化框架，避免离群值的影响并实现点云配准。其中，外循环利用 公式（3） 公式（3） 求解最近邻匹配点，并计算对应的欧式距离，进而通过 公式（10） 公式（10） 和（11）动态调整混合正则项的平衡权重。内循环则结合公式（ 4 4 ）、（ 5 5 ）和（6）求解对应的空间变换矩阵。最后，受离群值影响，迭代过程中停止准则可鲁棒的表示为源点云 <math id="M94"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936857&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936855&type= 3.97933316 3.04800010 和 <math id="M95"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936862&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936860&type= 7.61999989 3.04800010 的均方根误差。其中， <math id="M96"><mi>k</mi><mo>≥</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936866&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936864&type= 8.38199997 3.30200005 表示迭代次数，即当对偶解收敛时，可得正确的匹配点对及其空间变换矩阵。本文算法的流程，如 图5 图5 所示。 针对收敛性问题，由3.1节中的平衡权重确定方式可知，SM-ICP算法将随着迭代次数的增加而趋同于S-ICP算法。由于S-ICP是收敛的，所以也间接证明了本文方法的收敛性。 4 实验与结果分析 1 在多视角点云配准任务中，离群值、噪声是现有配准方法面临的主要问题之一。因此，为了验证本文所提出SM-ICP算法的鲁棒性，设计了不同重叠率的斯坦福兔子点云配准实验。同时，设计了其它类型及存在噪声的部分重叠点云配准实验。为了验证SM-ICP算法的泛化性，还设计了重叠率较高的发动机叶片点云配准实验。在必要的预设参数中，包括ICP ［ 5 5 ］ 在内的四种对比算法中S-ICP ［ 6 6 ］ 和Robust Tr-ICP ［ 8 8 ］ 的范数和能量函数内参分别选择其论文中所推荐的 p =0.4和inlier=2；SM-ICP算法中的范数，则设置为 p =0.1；权重计算中涉及的缩放因子设置为 v =0.9；全部对比算法的停止阈值都设置为0.000 1；评价误差为截断均方根误差，即对配准结果最近邻匹配点对的欧式距离从小到大排序后，只截取和重叠率相同比率的点云均方根配准误差： <math display="block" id="M97"><mi>R</mi><mi>M</mi><mi>S</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">X</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>d</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>ξ</mi><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mi>ξ</mi><mi>n</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936876&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936874&type= 56.72666931 14.90133286 ， 其中： <math id="M98"><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936892&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936890&type= 1.60866666 3.64066648 表示重叠率， <math id="M99"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msub><mo>∈</mo><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936884&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936882&type= 10.15999985 4.06400013 表示匹配点对欧式距离 <math id="M100"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936888&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936886&type= 24.72266769 6.68866634 ，从小到大排序后，以 <math id="M101"><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936892&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=20936890&type= 1.60866666 3.64066648 为比例所截取的欧式距离较小对应的点集。最后，本章点云均缩放到边长为1 m的正方体中，实验均在配置为3.40 GHz Intel i7 CPU，12 GB RAM的个人计算机上的MATLAB R2017b完成。 4.1　斯坦福兔子点云配准实验 2 首先，利用实际扫描的斯坦福数据集设计了四组不同重叠率的配准实验，分别为第一组（Bun180和Bun90，约50%重叠）、第二组（Bun315和Bun270，约60%重叠）、第三组（Bun180和Top2，约75%重叠）和第四组（Bun000和Bun045，约90%重叠）。首先，对四种点云数据的源点云进行下采样，得到数量为1 800~2 300的采样点。在此基础上，利用四种对比算法求解下采样点向目标点云进行配准的空间变换矩阵，以实现源点云（蓝色）和目标点云（红色）配准。其中，点云初始位姿及对应的配准结果如 图6 图6 所示，可知本文所提出的SM-ICP算法在点云初始位姿较差的情况下，能100%成功地实现了四组不同重叠率的点云精确配准，而其它对比方法或多或少的出现了配准失败的情况。 特别的，在重叠率较低（Bun180和Bun90，约为50%）的配准任务中，除了本文方法以外，其它对比算法的配准结果出现了较为明显的点云错位现象，其中本文方法的配准误差为2.04×10 - 4 m，较Robust Tr-ICP算法和ICP算法减小了一个量级，较S-ICP算法减小了三倍。在点云配准效率方面，本文方法虽然较其它对比算法的配准精度较高，但是由于涉及了更复杂的双循环优化结构，可能较为耗时。然而，SM-ICP算法的平均配准时间仅为2.97 s，具体截断配准误差、配准时间如 表1 表1 和 图7 图7 所示。 2 2 Methods 4 Overlap rate 50% 60% 75% 90% 2 SM-ICP Time/s 4.7 2.8 2.3 2.1 Error/m 2.04×10 -4 7.75×10 -6 1.42×10 -5 1.14×10 -5 2 Robust Tr - ICP Time/s 0.30 0.29 0.12 0.15 Error/m 1.70×10 -3 7.95×10 -6 1.47×10 -5 1.18×10 -5 2 S - ICP Time/s 1.38 0.6 0.2 0.68 Error/m 8.96×10 -4 4.49×10 -4 7.34×10 -4 1.39×10 -4 2 ICP Time/s 0.25 0.19 0.1 0.13 Error/m 1.8×10 -3 9.07×10 -5 1.5×10 -3 2.53×10 -4 为了进一步测试各算法的点云配准时间，本文以Bun000和Bun045的配准任务为例，对源点云Bun000进行了不同层级的下采样，并通过各对比算法令该下采样点向目标点云Bun045配准，得到对应的配准时间和精度。由 图8 图8 可知，随着下采样点数的增加，本文提出的SM-ICP算法的点云配准时间逐渐增加且高于其它对比算法。然而，SM-ICP算法在源点云的下采样点为12 000的配准任务中，其配准时间仅为8.53 s。而且，当源点云的下采样点较少时，SM-ICP算法不仅配准时间更少，其同样能实现良好的点云配准精度，具体的截断配准误差和时间如 表2 表2 所示。最后，为了更准确的描述配准结果，本文分别计算了各对比算法在Bun180和Bun90配准实验中所得结果最近邻匹配点的欧式距离，并构建了距离直方图，如 图9 图9 所示。本文方法约有一半的最近邻匹配点对距离小于0.01 m，较稳健Tr-ICP多了约45%，较S-ICP多了约30%，较ICP多了约40%，明显优于其它对比算法。本文算法在效率上虽然稍差于对比方法，但其始终保持了良好的精度和鲁棒性。 2 2 Method 6 The number of down-sampled points 2 000 4 000 6 000 8 000 1 0000 12 000 2 SM - ICP Time/s 2.10 3.95 5.16 6.50 8.15 8.53 Error/m 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 2 Robust Tr-ICP Time/s 0.17 0.31 0.43 0.57 0.73 0.85 Error/m 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 1.14×10 -5 2 S-ICP Time/s 0.48 0.41 2.15 2.18 2.35 3.37 Error/m 1.39×10 -4 1.40×10 -4 7.60×10 -3 7.00×10 -3 1.90×10 -3 1.70×10 -3 2 ICP Time/s 0.31 0.27 0.34 0.50 0.54 0.68 Error/m 2.80×10 -4 2.23×10 -4 2.09×10 -4 1.93×10 -4 1.77×10 -4 1.72×10 -4 4.2　其它类型及存在噪声的点云配准实验 2 为了验证本文所提出SM-ICP的鲁棒性，本文还设计了其它类型及存在噪声的点云配准实验。其中，对于其他类型的点云配准实验，Buddha（重叠率约90%）和Dragon（重叠率约50%）来源于斯坦福数据集，而Coati（重叠率约90%）和Stage（重叠率约60%）分别来自算法4PCS ［ 19 19 ］ 和Super4PCS ［ 20 20 ］ 。在此基础上，本文分别对其源点云（蓝色）进行下采样，得到数量为1 300~1 900的数据点，并利用SM-ICP算法求解该数据点向目标点云（红色）配准的空间变换矩阵，实现部分重叠点云配准。其中，SM-ICP的配准结果及点云的初始位姿，如 图10 图10 所示。可以看出，SM-ICP算法不仅适用于其它类型实体的多视角点云配准任务，而且对场景点云（Stage）配准任务同样具有良好的表现。 具体的，与其它算法进行比较，本文分别计算了同等条件下各对比算法应用于 图10 图10 配准任务的截断误差和配准时间，如 表3 表3 所示。其中，SM-ICP应用于点云配准任务的全部截断误差均小于1.93×10 - 5 m，优于或等价于Robust Tr-ICP， S-ICP和ICP三种对比算法。虽然SM-ICP的配准时间需要几秒，稍长于其它对比算法，但是其配准精度，除了在Buddha配准任务中等价于Robust Tr-ICP算法外，均优于其它对比算法，较S-ICP算法和ICP算法提升了1~3个量级。而且，在场景Stage点云配准实验中，SM-ICP的配准时间仅为1.33 s，配准误差为9.451.93×10 - 6 m，较Robust Tr-ICP及其它对比算法更优。 2 2 Methods 4 Dataset Coati Buddha Dragon Stage 2 SM - ICP Time/s 0.92 2.62 3.63 1.33 Error/m 7.50×10 -6 1.93×10 -5 7.70×10 -6 9.45×10 -6 2 Robust Tr-ICP Time/s 0.09 0.31 0.66 0.36 Error/m 7.70×10 -6 1.93×10 -6 7.79×10 -6 1.14×10 -5 2 S-ICP Time/s 0.05 0.32 0.75 0.57 Error/m 1.25×10 -5 3.63×10 -5 8.00×10 -4 1.97×10 -5 2 ICP Time/s 0.04 0.25 0.35 0.318 Error/m 1.69×10 -5 2.09×10 -4 7.69×10 -3 1.14×10 -4 另一方面，为了进一步验证SM-ICP算法的鲁棒性，本文以Coati点云配准任务为例，利用MATLAB中的lhsdesign函数，分别对源点云和目标点云添加具有均匀性、随机性的随机噪声点。在此基础上，本文分别对源点云进行下采样，得到数量为1 500~12 000的下采样点，测试了本文提出的SM-ICP算法在具有不同层级噪声（ N =1 000~5 000）点云配准任务中的性能，如 图11 图11 所示。可以看出，当点云的外围空间存在噪声点时，最近邻点的搜索会受到影响，使得点云配准任务更具挑战性。然而，SM-ICP算法依然能成功地完成全部点云配准任务，表明其具有良好的鲁棒性。 与其它算法进行比较，本文计算了同等条件下各对比算法的配准时间和截断误差，如 表4 表4 和 图12 图12 所示。可以看出，本文提出的SM-ICP算法在不同层级随机噪声配准实验中，其截断误差始终优于其它对比算法。其中，一直表现较优的Robust Tr-ICP算法在源点云和目标点云分别添加1000个随机噪声点的情况下，其截断误差和其它两个对比算法都较SM-ICP算法增加了两个量级。另一方面，由 图12 图12 可以看出，当噪声点数增多时，SM-ICP的截断误差逐渐增大，而其它对比算法的截断配准误差逐渐减少，其可能是因为Coati配准任务的重叠率始终被设置为90%，导致随着噪声点的增加离群渗入了截断误差的计算中，且噪声点密度的增加使其对应的最近邻点距离逐渐减少。因此，本文所提出SM-ICP算法不仅在具有随机噪声点的配准实验中具有良好的鲁棒性，且其配准精度较其它对比算法更优。最后，虽然SM-ICP算法的配准效率稍差于其它对比算法，但是其在下采样点为11 550的情况下的配准时间也只需要14.87 s，同样适用于完成在线点云配准任务。 2 2 Methods 6 The number of noises（The number of down-sampling） 2 1 000（1 400） 2 000（2 700） 3 000（4 500） 4 000（9 400） 5 000（11 550） 2 SM - ICP 2 Time/s 1.4 7.05 10.45 5.95 14.87 2 Error/m 4.90×10 -6 6.82×10 -5 3.03×10 -5 8.39×10 -5 1.33×10 -4 2 Robust Tr-ICP 2 Time/s 0.17 0.07 0.35 0.87 1.69 2 Error/m 4.98×10 -4 5.52×10 -4 1.89×10 -4 2.67×10 -4 2.13×10 -4 2 S-ICP 2 Time/s 0.09 0.12 0.13 0.42 1.05 2 Error/m 4.92×10 -4 5.66×10 -4 5.56×10 -4 2.77×10 -4 2.72×10 -4 2 ICP 2 Time/s 0.04 0.28 0.19 0.62 1.13 2 Error/m 5.13×10 -4 4.17×10 -4 3.81×10 -4 2.56×10 -4 3.66×10 -4 4.3　发动机叶片点云配准实验 2 在4.1节和在4.2节中的点云配准实验中，本文提出的SM-ICP算法虽然总体上较对比的算法具有更小的配准误差，但是在重叠率较高的配准实验中，Robust Tr-ICP同样也实现了良好的配准结果且具有更好的配准效率。为了进一步验证SM-ICP算法的泛化性，本文设计了重叠率约为90%的发动机叶片点云配准实验，其初始位姿如 图13 图13 所示。该点云数据 ［ 21 21 ］ 由CIMCORE公司的高精度测量系统INFINITE测量得到。明显可以看出，发动机叶片点云的几何特征极为相似且不明显，使得该点云配准容易出现过拟合的结果。针对该配准任务，本文结合四种配准算法分别测试了发动机叶片源点云（酒红色）向目标点云（青色）的配准实验。 由 图14 图14 可知，本文提出的SM-ICP算法依然保持了良好的配准精度，而Robust Tr-ICP算法和S-ICP算法都出现了不同程度的错位。此外，本文还截取了SM-ICP算法与ICP算法配准结果中的局部仰视图，可以看出SM-ICP算法所得配准结果同样较ICP算法更精确，如 图15 图15 所示。因此，本文所提出的SM-ICP算法在几何特征不明显的发动机点云案例，较其它对比算法更具泛化性。 5 结　论 1 本文根据三维点云模型重构精度高、鲁棒性强的要求，提出了SM-ICP点云配准方法，并构建了更具泛化性的混合稀疏点云配准函数。然后，研究了该配准函数涉及的交替乘子法优化框架和正则化损失函数的求解方法。最后，通过双循环的点云配准架构，对离群值进行惩罚，并实现了点云精确配准。实验结果证明：本文算法在重叠率约为50%~90%的斯坦福兔子和发动机叶片点云的配准实验中100%成功的实现了点云精确配准，全部配准案例中的配准误差小于或等于2.041.93×10 - 4 m，最低为7.751.93×10 - 6 m。此外，在其它类型、具有不同层次噪声和发动机叶片的点云配准实验，SM-ICP同样较Robust Tr-ICP，S-ICP和ICP具有更高的配准精度.最后，在几何特征不明显的发动机叶片点云配准案例中，本文方法成功实现了点云精确配准，而其它对比算法的配准结果稍差。总结之，SM-ICP具有良好的鲁棒性和泛化性。 参考文献 王宾 ， 刘林 ， 侯榆青 ， 等 . 应用改进迭代最近点方法的三维心脏点云配准 ［J］. 光学 精密工程 ， 2020 ， 28 （ 2 ）： 474 - 484 . 应用改进迭代最近点方法的三维心脏点云配准 WANG B ， LIU L ， HOU Y Q ， et al . Three-dimensional cardiac point cloud registration by improved iterative closest point method ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2020 ， 28 （ 2 ）： 474 - 484 . （in Chinese） Three-dimensional cardiac point cloud registration by improved iterative closest point method ZHEN X ， SENG J C Y ， SOMANI N . Adaptive Automatic Robot Tool Path Generation Based on Point Cloud Projection Algorithm ［C］. 2019 24th IEEE International Conference on Emerging Technologies and Factory Automation （ETFA） ， 2019 . doi: 10.1109/etfa.2019.8869301 http://dx.doi.org/10.1109/etfa.2019.8869301 Adaptive Automatic Robot Tool Path Generation Based on Point Cloud Projection Algorithm 王锐 ， 王世峰 ， 常锴 ， 等 . 单线激光雷达与GNSS/INS的空间重构技术的研究 ［J］. 光学 精密工程 ， 2020 ， 28 （ 4 ）： 851 - 858 . 单线激光雷达与GNSS/INS的空间重构技术的研究 WANG R ， WANG S F ， CHANG K ， et al . Space reconstruction using single-line LIDAR and GNSS/INS fused data ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2020 ， 28 （ 2 ）： 851 - 858 . （in Chinese） Space reconstruction using single-line LIDAR and GNSS/INS fused data 杨稳 ， 周明全 ， 耿国华 ， 等 . 层次优化的颅骨点云配准 ［J］. 光学 精密工程 ， 2019 ， 27 （ 12 ）： 237 - 246 . doi: 10.3788/ope.20192712.2730 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192712.2730 层次优化的颅骨点云配准 YANG W ， ZHOU M Q ， GENG G H ， et al . Hierarchical optimization of skull point cloud registration ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2019 ， 27 （ 12 ）： 237 - 246 . doi: 10.3788/ope.20192712.2730 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192712.2730 Hierarchical optimization of skull point cloud registration BESL P J ， MCKAY N D . A method for registration of 3-D shapes ［J］. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence ， 2002 ， 14 （ 2 ）： 239 - 256 . A method for registration of 3-D shapes BOUAZIZ S ， TAGLIASACCHI A ， PAULY M . Sparse iterative closest point ［C］. Eleventh Eurographics/acmsiggraph Symposium on Geometry Processing ， 2013 . doi: 10.1111/cgf.12178 http://dx.doi.org/10.1111/cgf.12178 Sparse iterative closest point CHETVERIKOV D ， SVIRKO D ， STEPANOV D ， et al . The trimmed iterative closest point algorithm ［J］， 2002 ， 16 （ 3 ）： 545 - 548 . doi: 10.1109/icpr.2002.1047997 http://dx.doi.org/10.1109/icpr.2002.1047997 The trimmed iterative closest point algorithm CHETVERIKOV D ， STEPANOV D ， KRSEK P . Robust euclidean alignment of 3D point sets： the trimmed iterative closest point algorithm ［J］. Image & Vision Computing ， 2005 ， 23 （ 3 ）： 299 - 309 . doi: 10.1016/j.imavis.2004.05.007 http://dx.doi.org/10.1016/j.imavis.2004.05.007 Robust euclidean alignment of 3D point sets： the trimmed iterative closest point algorithm 李宁 ， 赵永强 ， 潘泉 . 时空自适应的分焦平面偏振视频PCA去噪 ［J］. 红外与激光工程 ， 2019 ， 48 （ 10 ）： 270 - 276 . doi: 10.3788/irla201948.1026001 http://dx.doi.org/10.3788/irla201948.1026001 时空自适应的分焦平面偏振视频PCA去噪 LI N ， ZHAO Y Q ， PAN Q . PCA-based spatial-temporal adaptive denoising of DoFp video for microgrid polarimeters ［J］. Infrared and Laser Engineering ， 2019 ， 48 （ 10 ）： 270 - 276 . doi: 10.3788/irla201948.1026001 http://dx.doi.org/10.3788/irla201948.1026001 PCA-based spatial-temporal adaptive denoising of DoFp video for microgrid polarimeters 陈华伟 ， 袁小翠 ， 吴禄慎 ， 等 . 基于曲率突变分析的点云特征线自动提取 ［J］. 光学 精密工程 ， 2019 ， 027 （ 005 ）： 1218 - 1228 . doi: 10.3788/ope.20192705.1218 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192705.1218 基于曲率突变分析的点云特征线自动提取 CHEN H W ， YUAN X C ， WU L C ， et al . Automatic point cloud feature-line extraction algorithm based on curvature-mutation analysis ［J］ . Opt. Precision Eng. ， 2019 ， 27 （ 5 ）： 1218 - 1228 . doi: 10.3788/ope.20192705.1218 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192705.1218 Automatic point cloud feature-line extraction algorithm based on curvature-mutation analysis GOJCIC Z ， ZHOU C ， WEGNER J D ， et al . The Perfect Match： 3D point cloud matching with smoothed densities ［C］. Computer Vision and Pattern Recognition ， 2019 . doi: 10.1109/cvpr.2019.00569 http://dx.doi.org/10.1109/cvpr.2019.00569 The Perfect Match： 3D point cloud matching with smoothed densities AOKI Y ， GOFORTH H ， SRIVATSAN R A ， et al . PointNetLK： Robust & Efficient Point Cloud Registration using PointNet ［C］. Computer Vision and Pattern Recognition ， 2019 . doi: 10.1109/cvpr.2019.00733 http://dx.doi.org/10.1109/cvpr.2019.00733 PointNetLK： Robust & Efficient Point Cloud Registration using PointNet HUANG X ， MEI G ， ZHANG J . Feature-metric Registration： A Fast Semi-supervised Approach for Robust Point Cloud Registration without Correspondences ［C］. Computer Vision and Pattern Recognition ， 2020 . doi: 10.1109/cvpr42600.2020.01138 http://dx.doi.org/10.1109/cvpr42600.2020.01138 Feature-metric Registration： A Fast Semi-supervised Approach for Robust Point Cloud Registration without Correspondences LI P ， LI H Y ， HUANG Y B ， et al . Quasi-sparse response surface constructing accurately and robustly for efficient simulation based optimization ［J］. Advances in Engineering Software ， 2017 ， 114 ： 325 - 336 . doi: 10.1016/j.advengsoft.2017.07.014 http://dx.doi.org/10.1016/j.advengsoft.2017.07.014 Quasi-sparse response surface constructing accurately and robustly for efficient simulation based optimization LI P ， HU S ， LI H Y ， et al . An improved quasi-sparse response surface model using the weighting method for low-dimensional simulation ［J］. Applied Soft Computing ， 2019 ， 85 ： 105883 . doi: 10.1016/j.asoc.2019.105883 http://dx.doi.org/10.1016/j.asoc.2019.105883 An improved quasi-sparse response surface model using the weighting method for low-dimensional simulation BOYD S ， PARIKH N ， CHU E ， et al . Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers ［J］. Foundations & Trends® in Machine Learning ， 2010 ， 3 （ 1 ）： 1 - 122 . doi: 10.1561/2200000016 http://dx.doi.org/10.1561/2200000016 Distributed optimization and statistical learning via the alternating direction method of multipliers LANGE K . The MM Algorithm ［M］. 2013 . doi: 10.1007/978-1-4614-5838-8_8 http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4614-5838-8_8 The MM Algorithm MARJANOVIC G ， SOLO V . On Lq Optimization and Matrix Completion ［J］. IEEE Transactions on Signal Processing ， 2012 ， 60 （ 11 ）： 5714 - 5724 . doi: 10.1109/tsp.2012.2212015 http://dx.doi.org/10.1109/tsp.2012.2212015 On Lq Optimization and Matrix Completion AIGER D ， MITRA N. J ， COHEN-OR D . 4-points congruent sets for robust surface registration ［J］. ACM TOG （SIG-GRAPH） ， 2008 ， 85 （ 3 ）： 1 - 10 . doi: 10.1145/1360612.1360684 http://dx.doi.org/10.1145/1360612.1360684 4-points congruent sets for robust surface registration NICOLAS M ， NILOY ， DROR A . SUPER 4PCS： Fast Global Point cloud Registration via Smart Indexing ［J］. Computer Graphics Forum ， 2014 ， 33 （ 5 ）： 205 - 215 . doi: 10.1111/cgf.12446 http://dx.doi.org/10.1111/cgf.12446 SUPER 4PCS： Fast Global Point cloud Registration via Smart Indexing 张临池 . 适应性移动最小二乘曲面的多视点云对齐方法 ［D］. 华中科技大学 ， 2012 . doi: 10.1016/j.proeng.2012.01.754 http://dx.doi.org/10.1016/j.proeng.2012.01.754 适应性移动最小二乘曲面的多视点云对齐方法 ZHANG L C . Adaptive Moving Least-Squares Surfaces For Multiple Point Clouds Registration ［D］. Huazhong University of Science and Technology ， 2012 . doi: 10.1016/j.proeng.2012.01.754 http://dx.doi.org/10.1016/j.proeng.2012.01.754 Adaptive Moving Least-Squares Surfaces For Multiple Point Clouds Registration 10.37188/OPE.20212909.2255 1004-924X（2021）09-2255-13 刘跃生,陈新度,吴磊等.混合稀疏迭代最近点配准[J].光学精密工程,2021,29(09):2255-2267. 刘跃生,陈新度,吴磊等.混合稀疏迭代最近点配准[J].光学精密工程,2021,29(09):2255-2267. LIU Yue-sheng,CHEN Xin-du,WU Lei,et al.Sparse mixture iterative closest point registration[J].Optics and Precision Engineering,2021,29(09):2255-2267. LIU Yue-sheng,CHEN Xin-du,WU Lei,et al.Sparse mixture iterative closest point registration[J].Optics and Precision Engineering,2021,29(09):2255-2267. 广州市科技计划项目（No.201902010054）；国家自然科学基金（No.51775116， No.51975125） 2021-03-23 2021-05-14 2021-09-15 2021-10-12 光学精密工程 9 29