谐波传动柔轮变形测量误差分析与补偿

谐波传动柔轮变形测量误差分析与补偿 Research on error analysis and compensation method for deformation measurement of flexible wheel of harmonic drive 1 first-author 杨聪彬（1986-），男，河北元氏人，副教授，2015年于北京理工大学获得博士学位，现为北京工业大学材料与制造学部 副教授，主要从事精密传动和高端装备的研究。E-mail：yangcongbin@bjut.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333900&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333908&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333904&type= 22.01333618 32.00400925 杨聪彬 （1986-），男，河北元氏人，副教授，2015年于北京理工大学获得博士学位，现为北京工业大学材料与制造学部 副教授，主要从事精密传动和高端装备的研究。E-mail： yangcongbin@bjut.edu.cn yangcongbin@bjut.edu.cn 1 1 corresp E-mail： lzf@bjut.edu.cn E-mail： lzf@bjut.edu.cn 刘志峰（1973-），男，黑龙江省齐齐哈尔市人，教授，博士生导师，2001年于东北大学获机械设计及理论专业博士学位。主要从事数字化设计、制造与装配领域的应用研究。E-mail：lzf@bjut.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333915&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333924&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333920&type= 22.01333618 32.00402451 刘志峰 （1973-），男，黑龙江省齐齐哈尔市人，教授，博士生导师，2001年于东北大学获机械设计及理论专业博士学位。主要从事数字化设计、制造与装配领域的应用研究。E-mail： lzf@bjut.edu.cn lzf@bjut.edu.cn 1 2 1 北京工业大学 先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124 北京工业大学 先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124 Beijing University of Technology，Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Beijing 100124， China. Beijing University of Technology，Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Beijing 100124， China. 江苏科技大学机械工程学院，江苏 镇江 212003 江苏科技大学机械工程学院，江苏 镇江 212003 College of Mechanical Engineering， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212003， China. College of Mechanical Engineering， Jiangsu University of Science and Technology， Zhenjiang 212003， China. 波发生器安装误差是柔轮变形测量中较为常见的误差来源之一，安装误差的存在使得柔轮变形与转动角度之间的函数关系产生较大偏差。为解决波发生器中心与回转中心的安装误差问题，本文对柔轮测量误差进行分析，并提出柔轮径向变形误差补偿方法。首先，基于坐标变化原理建立了偏心误差表征数学模型，获得安装偏心量、波发生器实际结构参数；其次，基于波发生器偏心径向变形函数构建了柔轮径向变形误差修正模型，对安装偏心工况下柔轮实际径向变形函数进行修正补偿。实验结果表明：在安装误差影响下柔轮变形函数峰谷偏差达0.134 mm，与理论相差较大；通过本文方法进行修正补偿后，误差在0.012 mm左右，且柔轮径向变形结果与理论变化趋势基本一致。该方法能够有效提高柔轮径向变形测量精度，为优化谐波减速器的齿廓参数奠定实验与理论基础。 The installation error of a wave generator is a common source of error in deformation measurement of a flexspline. This installation error leads to a large deviation in the functional relationship between the deformation of the flexspline and rotation angle. In this study， we attempt to solve the problem of the installation error between the center of the wave generator and center of rotation by analyzing the measurement error of the flexspline and proposing a compensation method for the radial deformation of the flexspline. First， based on the principle of coordinate change， a mathematical model of eccentricity error characterization is established to obtain the installation eccentricity and actual structural parameters of the wave generator. Second， based on the eccentric radial deformation function of the wave generator， a correction model for the radial deformation error of the flexspline is developed to correct and compensate for the actual radial deformation function of the flexspline under eccentric installation conditions. The experimental results indicate that the peak-to-valley deviation of the flexspline deformation function corresponds to 0.134 mm under the effect of installation error， which significantly differs from the theoretical value. Following correction and compensation using the method proposed in the study， the error obtained is approximately 0.012 mm， and the radial deformation of the flexspline differs from the theoretical value. The trend is essentially identical. The method can effectively improve measurement accuracy of the radial deformation of the flexspline and establish an experimental and theoretical foundation to optimize tooth profile parameters of the harmonic reducer. 谐波减速器 柔轮径向变形 安装偏心 误差补偿 波发生器 harmonic drive radial deformation of the flexspline installation eccentricity error compensation wave generator 1 引　言 1 谐波减速器依靠中间柔性部件（柔轮）周期性弹性变形来实现运动及动力传递，当波发生器装配进入柔轮后，柔轮在波发生器作用下产生一定程度的弹性变形，使得柔轮齿与刚轮齿进行啮合 ［ 1 1 - 2 2 1-2 ］ 。但在传动过程中，柔轮齿圈上每个位置的变形是动态变换，会一定程度上影响齿轮产生啮合干涉或者脱离啮合。一般为了便于计算，理论上将柔轮中性层的形变近似作为柔轮的变形，但柔轮在实际的弹性变形是十分复杂的，实际测量柔轮变形函数与理论位置存在较大差异 ［ 3 3 - 5 5 3-5 ］ ，因此精确测量柔轮在波发生器作用下的实际径向变形规律成为当前研究重点。 在实际应用中，虽然测量仪器的精度较高，但测量装置机械机构装配误差难以消除，导致柔轮径向变形测量精度较低，柔轮变形规律的实际检测与理论结果相差较大。目前，针对消除安装误差影响因素进行了大量分析研究 ［ 6 6 - 9 9 6-9 ］ ，但由于波发生器并非标准圆结构，现有的误差补偿方法难以适用，另外柔轮在波发生器作用下发生复杂变形，致使安装误差对柔轮的变形结果产生复杂影响 ［ 10 10 - 11 11 10-11 ］ ，因此国内外鲜有对柔轮变形函数测量中安装误差的研究。本文将基于坐标变化原理提出了柔轮变形偏心测量模型，通过理论偏心模型得到了波发生器与转台中心的安装偏心量、波发生器实际参数，将偏心状态下的柔轮径向变形函数带入误差修正模型，得到消除安装误差下的柔轮径向变形函数，结果表明利用该方法能够有效的解决了柔轮变形在偏心状态下的测量问题，降低实验设备的精度要求，为优化谐波减速器的齿廓参数奠定了实验基础。 2 测量误差分析 1 2.1　柔轮径向变形理论模型 2 理论下的谐波减速器柔轮变形是基于三种假设理论下进行分析计算，柔轮径向变形量与波发生器的尺寸参数及转动速度具有一定的函数对应关系，其变形原理如 图1 图1 （a）所示，柔轮中线在波发生器作用下产生变形，其中细虚线为柔轮变形前中性线， <math id="M1"><mi>Q</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333928&type= 11.85333347 4.82599974 点为波发生器长轴方向的象限点， <math id="M2"><mi>P</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333939&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333935&type= 11.51466751 4.82599974 为柔轮上变形任意点，实线为柔轮变形后中性线， <math id="M3"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333949&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333943&type= 3.81000018 4.14866638 和 <math id="M4"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>c</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333959&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333954&type= 3.38666677 3.72533321 分别为变形后的对应点。 1;2; 理论柔轮径向变形函数 <math id="M5"><mi>w</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333992&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333990&type= 2.96333337 2.79399991 与转角 <math id="M6"><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334002&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16333995&type= 2.37066674 3.64066648 之间对应函数关系： <math display="block" id="M7"><mi>w</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>φ</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334011&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334007&type= 28.61733246 4.74133348 ， 其中： <math id="M8"><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334019&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334015&type= 4.06400013 3.72533321 为柔轮的最大径向变形量， <math id="M9"><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334026&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334021&type= 2.37066674 3.64066648 为波发生器的转角。 在波发生器长短轴的最大径向变形量相等的情况下，可用余弦函数代替理论径向变形函数，简化理论共轭齿廓的求解过程，柔轮径向变形理论曲线如 图1 图1 （b）所示。 2.2　柔轮变形测量误差模型 2 在理想情况下，被测波发生器按照测量的安装要求，其轴线与精密转台轴线重合进行运动传递，圆光栅精确测量被测波发生器的角位移，通过激光测距仪对柔轮径向变形量进行精确测量，并对信号进行分析处理，准确的得到柔轮的径向变形函数。但在测量机的实际工作中，各个方面都可能存在着相应的误差，导致其测量结果偏差较大 ［ 12 12 ］ 。 为进一步研究测量系统误差分布情况，基于多体系统理论与测量系统结果模型，针对转台运动系统进行运动误差模型的分析与建立，其结构与运动误差模型拓扑图如 图2 图2 所示。 1;2; 基于测量系统拓扑分析模型可知，测量误差主要因素在于测量过程中安装偏心 ［ 13 13 ］ ，本文中安装偏心是指波发生器中心与转台回转中心存在偏差。 如 图3 图3 （a）所示，波发生器与精密转台回转中心存在一定的位置偏心，波发生器以转台中心进行旋转，迫使柔轮发生变形，激光测距仪光线通过波发生器中心，偏心状态下实际测量点的坐标已发生转变，理论测量点（ 图3 图3 中黑色曲线）与实际检测点（ 图3 图3 红色曲线）发生偏移，进而导致其变形结果与理论结果存在较大偏差如 图3 图3 （b）所示（彩图见期刊电子版）。 1;2; 在波发生器安装误差作用下，测量结果会使得柔轮变形函数测量结果产生较大的偏差，在偏心位置方向测量结果与实际变形量偏小，反方向测量结果与实际变形量偏大，进而导致变形函数测量幅值与变形规律发生较大偏差，变形量与转角之间的对应函数关系产生转变。 为了去除偏心对柔轮变形测量造成的影响，本文采用矩阵来表示坐标系之间的变换关系，基于坐标变换原理可以得到安装偏心状态下波发生器在转台坐标系下的表达公式为： <math display="block" id="M10"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>δ</mi></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>δ</mi></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>δ</mi></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>δ</mi></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>x</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>z</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334087&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334083&type= 74.42200470 20.06599998 ， 其中： <math id="M11"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334096&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334093&type= 3.55599999 3.72533321 为偏心向量的 x 坐标， <math id="M12"><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334103&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334100&type= 3.89466667 3.72533321 为偏心向量的 y 坐标。 在测量过程中，转台会带动波发生器转动，相当于波发生器各点进行了旋转坐标变换，其旋转变换矩阵为： <math display="block" id="M13"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334110&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334106&type= 55.11800385 20.06599998 ， 其中 <math id="M14"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334117&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334114&type= 1.77800000 2.79399991 为转台旋转角度（逆时针为正）。 3 柔轮径向变形补偿方法研究 1 为解决安装偏心误差导致的检测结果偏差，本文基于坐标变换原理建立安装误差修正模型对检测结果进行补偿。基于偏心状态下理论径向变形量的原理，根据测量点、回转中心与转角之间的函数对应关系，进一步推导出该偏心状态下理论径向变形量表征模型。如 图4 图4 所示，本文首先建立了理论偏心表征模型，通过实际测量的变形曲线，反求安装偏心量与波发生器的实际参数；其次通过偏心量与椭圆参数建立误差修正模型，对柔轮变形量进行补偿。 3.1　偏心量测量模型 2 通过分析波发生器同轴心的标准圆偏心状态下变形规律，建立安装偏心状态下的偏心测量模型，研究理论状态下标准圆在偏心状态下的变形函数表征方法，其变形原理如 图5 图5 所示，实际测量点为点 <math id="M15"><mi>A</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334136&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334134&type= 2.87866688 2.79399991 ，转动后测量点位置定义为点 <math id="M16"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334144&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334140&type= 4.06400013 3.72533321 ，图中红色虚线表示偏心圆（彩图见期刊电子版）。 在基准坐标系 <math id="M17"><mi>O</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334164&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334161&type= 2.96333337 2.87866688 中， <math id="M18"><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334172&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334169&type= 1.52399993 2.79399991 为标准圆半径， <math id="M19"><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334179&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334176&type= 2.79399991 3.72533321 为测量线偏移量， <math id="M20"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334186&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334182&type= 2.62466669 3.72533321 为偏心圆半径， <math id="M21"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334193&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334190&type= 3.30199981 3.72533321 为测量点距离变化量， <math id="M22"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334201&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334197&type= 1.77800000 2.79399991 为转动角度，其偏心状态下的标准圆表征函数为： <math display="block" id="M23"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>b</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>w</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>r</mi><mo>-</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot><mo>=</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334207&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334204&type= 42.67199707 11.68400002 ， 其中： <math id="M24"><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>δ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>δ</mi><mo>-</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mi>b</mi><mroot><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334215&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334211&type= 60.28266525 10.15999985 。 通过 公式（4） 公式（4） ，可得偏心状态下标准圆径向变形函数为： <math id="M25"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334222&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334219&type= 15.24000072 4.65666676 ，将实际检测变形曲线分别带入 公式（4） 公式（4） 中，即可反求出安装偏心量 <math id="M26"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334228&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334225&type= 9.99066734 4.91066647 。 3.2　波发生器参数模型 2 由于波发生器存在一定的加工误差，为提高测量结果的准确率，需测量实际波发生器参数。通过分析波发生器在安装偏心状态下的径向跳动函数规律，建立波发生器偏心测量模型，研究理论状态下波发生器在偏心状态下的变形函数表征方法。基于坐标变换原理，以波发生器为基准，测量线以偏距圆为中心进行旋转，偏心状态下波发生器变形原理如 图6 图6 所示（彩图见期刊电子版），起始测量点为 <math id="M27"><mi>B</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334234&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334232&type= 2.53999996 2.79399991 ，转动后测量点 <math id="M28"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334239&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334237&type= 3.64066648 3.72533321 点，图中红色实线表示偏距圆（半径为偏心距 <math id="M29"><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334245&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334242&type= 2.79399991 3.72533321 ）。 以波发生器中心建立坐标系， <math id="M30"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334257&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334255&type= 1.77800000 2.79399991 为转动角度，设转动后测量线与波发生器焦点为 <math id="M31"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334262&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334260&type= 12.61533356 4.82599974 ，转动中心 <math id="M32"><msub><mrow><mi>O</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334266&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334265&type= 4.06400013 3.72533321 坐标为 <math id="M33"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334272&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334269&type= 13.80066681 4.91066647 ，偏心状态下波发生器径向理论变形函数为： <math display="block" id="M34"><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>δ</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>·</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>σ</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>·</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo 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separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>y</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334285&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334283&type= 52.15466690 6.85800028 . 测量波发生器在偏心状态下的径向变形量 <math id="M36"><mi>d</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334290&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334287&type= 2.20133328 2.79399991 ，带入 公式（6） 公式（6） 中，反求波发生器参数： <math display="block" id="M37"><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334296&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334293&type= 33.61266708 8.38199997 . 3.3　变形函数误差补偿模型 2 柔轮在波发生器作用下发生弹性变形，由于安装误差的存在导致测量结果与理论相差偏大，变形函数曲线无法满足谐波齿形设计的要求。 为解决上述问题，研究了谐波传动柔轮变形函数误差补偿模型。本文基于谐波传动原理，首先分析研究了安装误差工况下波发生器表面轮廓曲线函数，建立波发生器偏心补偿模型，获得柔轮在波发生器作用下的径向变形补偿函数；由于安装误差的存在导致柔轮壁厚对测量结果存在一定的影响，如 图7 图7 （b）所示，使得柔轮壁厚相对于测量点产生了较为复杂的径向位移量，通过研究偏心状态下柔轮壁厚对测量结果的影响规律，建立了柔轮壁厚误差补偿模型。因此安装偏心状态下的补偿模型包含两部分，即波发生器偏心补偿模型与柔轮壁厚误差补偿模型 <math id="M38"><mi>R</mi><mo>:</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334301&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334298&type= 4.48733330 3.04799986 1;2; <math display="block" id="M39"><mi>R</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>θ</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>D</mi><mo>+</mo><mi>τ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334319&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334317&type= 30.73400116 4.06400013 ， 其中： <math id="M40"><mi>D</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334322&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334320&type= 2.79399991 2.79399991 为波发生器偏心补偿数组， <math id="M41"><mi>τ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334326&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334324&type= 1.60866666 2.79399991 为柔轮壁厚误差补偿模型， <math id="M42"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334329&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334327&type= 3.81000018 3.72533321 为补偿前柔轮实际测量曲线， <math id="M43"><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334332&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334331&type= 2.70933342 2.79399991 为补偿后柔轮测量曲线。 3 . 3 . 1　波发生器偏心补偿模型 3 柔轮变形误差补偿是以波发生器为研究基准，分析柔轮在波发生器作用下的径向变形量，确定波发生器在偏心状态下进行变形量与理论对应转角下变形量之间对应关系，得到波发生器在偏心状态下的补偿模型 <math id="M44"><mi>D</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334336&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334334&type= 2.79399991 2.79399991 ： <math display="block" id="M45"><mi>D</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334340&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334338&type= 24.38399887 9.39799976 ， 其中： <math id="M46"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334344&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334342&type= 5.41866684 9.39799976 为波发生器实际变形量， <math id="M47"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334347&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334345&type= 5.41866684 9.39799976 为波发生器理论变形量。 3 . 3 . 2　柔轮壁厚误差补偿模型 3 柔轮壁厚误差补偿模型是指柔性轴承与柔轮得厚度在偏心状态下得误差模型，为标准值与偏心值之间得插值函数 <math id="M48"><mi>τ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334351&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334349&type= 1.60866666 2.79399991 ： <math display="block" id="M49"><mi>τ</mi><mo>=</mo><mi>β</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334355&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334354&type= 16.42533302 4.74133348 ， 其中： <math id="M50"><mi>β</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334359&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334357&type= 1.94733334 3.81000018 为理论状态下得壁厚变化函数， <math id="M51"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334362&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334361&type= 3.13266659 4.74133348 为偏心状态下得壁厚变化函数。 理论状态下得壁厚变化函数 <math id="M52"><mi>β</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334366&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334364&type= 1.94733334 3.81000018 ： <math display="block" id="M53"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>φ</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>φ</mi></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>φ</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>φ</mi></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>β</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334374&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334372&type= 63.66933441 28.10933304 ， 其中 <math id="M54"><mi mathvariant="normal">Δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334377&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334376&type= 2.53999996 2.79399991 为厚度。 偏心状态下得壁厚变化函数 <math id="M55"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334379&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334378&type= 3.13266659 4.74133348 ： <math display="block" id="M56"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334384&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334381&type= 46.48200226 5.24933338 . 4 实　验 1 4.1　实验装置 2 本次实验的装置如 图8 图8 所示，该检测装置包括安装于光学平板上的高精度转台系统、激光测量系统和柔轮固定系统，通过高精度转台系统实现波发生器的安装和360°均匀分度旋转，柔轮通过柔轮支架固定在光学平板上，并通过上下调节实现柔轮与波发生器的接触，激光位移传感器通过传感器支架安装于水平滑台上，并通过前后移动调整实现激光穿过波发生器中心轴线，以此来实现径向变形量的测量。 本次实验转台转速为0.3 °/s匀速转动，激光测距仪以100 Hz的采集频率采集。首先，通过上下移动调节柔轮实现波发生器与柔轮分离，前后移动调整激光测距仪实现激光穿过与波发生器同轴心的标准轴中心轴线，测量标准圆变形量，再向上调节激光测距仪实现激光穿过波发生器中心，测量波发生器变形量，最后向下调节柔轮实现柔轮与波发生器的完整接触，测柔轮再波发生器作用下的变形曲线。经调试后转台的定位精度为0.000 8°，匀速运动过程中的速度波动为0.01°附近。 参数 符号 数值 模数 m 0.25 mm 柔轮齿数 <math id="M57"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>F</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334397&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334393&type= 3.47133350 3.21733332 100 柔轮壁厚 <math id="M58"><mi>Δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334402&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334399&type= 2.11666679 2.37066674 0.3 mm 波发生器长轴 a 48.87 mm 波发生器短轴 b 47.66 mm 4.2　实验结果 2 测量与波发生器同轴的标准圆（直径 D =30 mm）在三种偏心状态下的径向变形量，经过数据滤波与拟合后，其结果如 图9 图9 所示，基于理论圆径向变形 公式（5） 公式（5） ，计算出偏心距 <math id="M59"><mi>e</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334412&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334409&type= 1.52399993 2.79399991 为0.245 mm与偏心圆半径 <math id="M60"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334417&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334414&type= 2.62466669 3.72533321 为0.327 5 mm。 测量波发生器在偏心状态下的径向变形量，其结果如 图10 图10 中红色曲线所示，将实际测量参数带入 公式（5） 公式（5） 和 公式（6） 公式（6） 中，反求其实际椭圆参数，测量结果如 表2 表2 所示。 图10 图10 中理论偏心曲线为实际波发生参数与偏移量 <math id="M61"><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334430&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16334427&type= 9.99066734 4.91066647 作用下的波发生器径向变形曲线，试验结果可以看出，实际检测波发生器曲线与理论计算偏心曲线基本一致。 2 测量 次数 2 测量结果 2 理论值 长轴参数 短轴参数 长轴 参数 短轴 参数 1 48.917 9 47.676 9 9 48.87 9 47.66 2 48.918 2 47.696 6 3 48.877 9 47.691 7 4 48.918 5 47.698 4 5 48.917 9 47.686 2 6 48.894 3 47.661 4 7 48.910 0 47.694 0 8 48.877 1 47.697 4 平均值 48.903 98 47.687 83 mm 如 图11 图11 所示（彩图见期刊电子版），蓝色的理论径向变形按照余弦规律变化，但 图11 图11 中实际检测的变形曲线（绿色曲线）已经改变，其角度与径向变形量对应关系也发生转变，两个峰谷之间存在0.134 mm的误差。基于谐波传动原理，波发生器转动一周，迫使柔轮测量点产生两次相同变形，且两次变形存在对称关系，因此其变形函数两个峰谷与峰顶是基本一致。由实验结果表明：波发生器转动一周中，柔轮上测量点最小变形量相差0.134 mm，与理论结果（0 mm）相差偏大。 基于柔轮安装误差补偿模型与偏移量修正后的柔轮径向变形曲线如 图11 图11 所示，两个峰谷之间存在0.012 mm的误差，实际柔轮的变形频率与振幅与理论模型基本一致，经修正后柔轮径向变形函数测量误差明显减少。如 表3 表3 所示，在不同偏心位置下该方法测量精度结果基本一致，该误差补偿理论模型正确。 测量次数 偏心距 测量误差 波谷偏差 1 （0.245,0.163） 0.012 3 0.007 4 2 （0.342,0.854） 0.011 8 0.007 5 3 (0.127,0.048) 0.012 2 0.007 3 4 (0.234,0.156) 0.012 1 0.007 6 mm 5 结　论 1 针对柔轮径向变形测量过程中安装误差导致测量结果偏差较大的技术难题，本文对谐波传动柔轮径向变形测量误差影响因素进行了分析，并研究了安装误差状态下对柔轮径向变形函数测量结果的影响规律，构建了安装误差工况下理论径向变形量的表征模型，提出基于坐标变换原理的柔轮径向变形误差修正方法，消除了柔轮安装误差对变形函数的影响。实验结果证明：安装误差条件下柔轮变形函数峰谷偏差达0.134 mm，与理论相差偏大；在不同偏心位置进行测量、修正补偿后，误差在0.012 mm附近，且柔轮径向变形结果与理论变化趋势一致，基本满足了柔轮变形函数测量的要求。 参考文献 JIANLIN ZHENG ， WEI YANG . 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