Variable stiffness control of redundant cable-driven parallel mechanism for on-orbit assembly

面向在轨装配的冗余索并联机构变刚度控制 Variable stiffness control of redundant cable-driven parallel mechanism for on-orbit assembly 1 first-author 2 3 corresp E-mail： jgtao@hit.edu.cn E-mail： jgtao@hit.edu.cn jgtao@hit.edu.cn 1 2 哈尔滨工业大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001 哈尔滨工业大学 机电工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001 School of Mechatronic Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China School of Mechatronic Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China 北京空间飞行器总体设计部，北京 100094 北京空间飞行器总体设计部，北京 100094 Institute of Spacecraft System Engineering， China Academy of Space Technology， Beijing 100094， China Institute of Spacecraft System Engineering， China Academy of Space Technology， Beijing 100094， China 北京卫星制造厂有限公司，北京 100094 北京卫星制造厂有限公司，北京 100094 Beijing Satellite Manufacturing Limited Company， Beijing 100094， China Beijing Satellite Manufacturing Limited Company， Beijing 100094， China 为了通过改变刚度的途径提高一种面向在轨装配的索并联机构的工作性能，提出了变刚度控制算法，并进行了仿真与实验验证。首先建立了所要研究的索并联机构的完整刚度模型。其次，分析了绳索张力分布对不同方向刚度的影响。然后，考虑影响绳索张力分布的矢量 <math id="M1"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184937&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184936&type= 1.60866666 2.37066650 的安全边界，建立了变刚度控制算法，该算法消除了刚度模型中对整体影响较小的耦合刚度，提高了计算效率，并且可以通过分配权重的方式对不同方向的刚度进行不同优先级的控制。最后，通过仿真与实验的方式对变刚度控制算法的效果进行了验证。以旋拧操作为例，仿真结果表明：在对运动平台施加一定扰动力时，采用变刚度控制算法求解出的索力分布可以使薄弱方向的振动降低35%，样机实验结果表明，在对索并联机构样机进行刚度控制后，刚度的测量值与理论值具有较强的拟合性，误差分别为16.3%和14.6%。变刚度控制算法可以通过改变索并联机构的刚度的方式提高其工作性能，具有较强的实用性，并且可以用于不同类型的冗余索并联机构。 In order to improve the performance of a cable-driven parallel mechanism（CDPM） for on-orbit assembly through changing its stiffness， a variable stiffness control algorithm is proposed. The specific effect was verified by simulation and experiment. First， the complete stiffness model of the CDPM is established. Secondly， the influence of tension distribution on the stiffness in different directions is analyzed and studied. Then， considering the safety margin of the vector <math id="M2"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184755&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184754&type= 1.86266661 2.79399991 which affects the tension distribution， a variable stiffness control algorithm for the CDPM is established. The algorithm eliminates the coupling stiffness that has a small effect on the overall stiffness in the stiffness model， improves the calculation efficiency， and can assign weights to control the stiffness in different directions with different priority. Finally， the effect of the variable stiffness control algorithm is verified through simulation and experiment. Taking the screwing operation as an example， the simulation results show that when disturbing force is applied to the moving platform， the tension distribution obtained by the variable stiffness control algorithm can reduce the vibration in the weak direction by 35%， the prototype experiment results show that after the stiffness control of the CDPM prototype， the measured value of the stiffness has a strong fit with the theoretical value， and the errors are 16.3% and 14.6%， respectively. The proposed variable stiffness control algorithm can improve the performance of the CDPM by changing the stiffness of it. It has strong practicability and can be used for different types of redundant CDPM.. 索并联机构 冗余 刚度 振动 cable-driven parallel mechanism redundant stiffness vibration 1 引　言 1 随着航天技术的发展，航天器的结构尺寸越来越大。很多大型航天器如空间天线、大型SAR卫星等，其结构尺寸超出了运载火箭所能提供的可用装载体积。因此，需要采用在轨装配的方式对大型空间结构进行在轨构建 ［ 1 1 ］ 。按照有无人直接参与，在轨装配可分为有人在轨装配和无人在轨装配两种类型 ［ 2 2 ］ 。有人在轨装配是指由航天员操纵工具直接进行在轨装配作业，由于在此过程中航天员身体会暴露在恶劣的空间环境中，因此该方式具有很大的危险性。无人在轨装配是指借助空间机器人或机械臂采用遥操作或自主操作的方式进行在轨装配作业。该方式具有良好的安全性，同时可以满足长期工作要求，因此成为了在轨装配的主要方式。 目前针对空间操作任务所采用的机械臂多为杆支撑串联机械臂 ［ 3 3 ］ 。这种机械臂的特点是控制方便，但是当关节数量较多时质量会极大地增加，提高了系统的能耗。此外，当臂杆较长时，机械臂的刚度会降低。这些特点使其难以满足大跨度、高速精度的在轨装配需求。相对于杆支撑串联机构，索并联机构结合了绳索驱动的优势和并联机构 ［ 4 4 - 5 5 4-5 ］ 的特性，具有结构简单、易于构建、质量轻、工作空间大以及承载能力强的特点 ［ 6 6 ］ ，其在起重 ［ 7 7 ］ 、天文观测 ［ 8 8 ］ 、飞行器风洞试验 ［ 9 9 ］ 等领域的应用被广泛研究。由于具有这些特点，索并联机构在空间在轨装配领域具有良好的应用前景。 索并联机构的刚度是影响其工作性能的一项重要指标，其在提高系统稳定性以及降低系统振动方面扮演着重要角色。绳索作为柔性体具有弹性，这不可避免地对系统的刚度产生了消极的影响，尤其是在绳索较长的情况下。这种影响造成机构定位精度下降。但是另一方面，较低的刚度会提高机构的柔顺性，这对于一些接触性作业是有利的。Verhoeven等对索并联机构的工作空间、刚度和奇异性进行了研究，并通过仿真分析了不同位置处机构的刚度性能，但在研究过程中忽略了绳索拉力对机构刚度的影响 ［ 10 10 ］ 。事实上，由于应力刚化原理 ［ 11 11 ］ ，绳索拉力对索并联机构的刚度具有重要影响。王克义等对一种索牵引康复机器人进行了研究，在运动学和动力学方程的基础上，通过仿真分析了绳索弹性对机器人运动控制的非线性影响，但在绳索弹性对机器人影响机理方面缺乏更为深入的研究 ［ 12 12 ］ 。隋春平等根据微分变换原理对一种3自由度索驱动并联操作臂的刚度进行了分析，发现操作臂的刚度与绳索拉力有关，在此基础上通过位置和张力混合控制策略对操作臂进行了刚度控制 ［ 13 13 ］ ，但该方法只针对所研究的具有一个冗余度的四索三自由度并联机构，对于更多冗余度的索并联机构的刚度控制有待研究。Behzadipour等首先建立了单根绳索的刚度模型，然后进一步建立了多根绳索组成的索并联机构的刚度模型 ［ 14 14 ］ 。该研究在建立索并联机构完整刚度模型的基础上，重点研究了机构稳定性与刚度模型的关系，而未对机构的变刚度问题进行深入研究。刘欣等基于微分变换和线几何理论，建立了包含关节弹性变形以及绳索张力等因素的索并联机器人刚度模型，通过大射电望远镜5 m缩尺模型试验对模型进行了验证 ［ 15 15 ］ ，但未在该模型的基础上进行刚度控制方面的研究。Yeo等研究了索并联机构的变刚度特性，考虑到在绳索张力范围较小的情况下，通过改变绳索张力难以使机构刚度产生有效的变化，因此设计了一种由扭矩弹簧组成的变刚度机构，但该机构的引入增加了系统设计和控制的复杂性 ［ 16 16 ］ 。Jamshidifar等设计了一种冗余运动学约束的索并联机构，对冗余绳索张力对机构刚度的影响进行了研究，并且以期望方向的刚度最大化为目标对机构进行了刚度控制 ［ 17 17 ］ ，但在控制过程中只考虑了绳索拉力约束限制，未进一步考虑避免外界扰动力导致绳索过度张紧或松弛的安全边界。Nelson提出了一种提高索并联机构刚度的新的方法，即将绳索与运动平台铰接点变为滑轮，绳索穿过该滑轮后再与支架固连，这种方法可以使实际绳索数量增加为原来的一倍，显著提高了机构的刚度 ［ 18 18 ］ ，但该方法增加了滑轮的数量，且一定程度上也增加了绳索的数量，提高了系统的复杂性，同时也会导致机构的工作空间有所减小。Picard E等提出了一种面向刚度的索并联机构张力分布算法，用来降低运动平台因外力干扰导致的位移，通过仿真和实验验证了算法的有效性 ［ 19 19 ］ ，但该研究只考虑了机构某单一方向（侧向）的刚度，未能建立考虑多个方向刚度的张力分布算法，在应用中具有一定的局限性。 以上研究中有些对影响索并联机构刚度的因素考虑不全面，导致刚度模型建立不完整，从而限制了其在控制中的应用；有些改变机构刚度的策略只能应用于某一种特定构型的机构，具有很大的局限性；还有一些研究提出了用来改变机构刚度的设计方案，但增加了机构元件的数量，提高了系统的复杂性。本文针对大型空间结构的在轨装配任务，提出了大跨度索并联机构的方案，即通过驱动多根绳索牵引执行器进行在轨装配作业。针对该冗余索并联机构的刚度展开研究，为了提高其在不同工况下的工作性能，提出了一种变刚度控制算法，该算法避免了通过增加一些元件达到变刚度的效果从而导致机构设计和控制复杂性提高的缺点，通过直接调节绳索张力的方式使期望方向的刚度达到理想要求，同时该算法考虑了机构不同方向的刚度，通过分配权重的方式可以对多个方向的刚度进行不同优先级的控制。仿真与实验的方式验证了该变刚度控制算法尤其在改变索并联机构薄弱方向的刚度方面具有良好的效果。本文所提的变刚度控制算法也可应用于不同类型的冗余索并联机构。 2 机构描述及刚度模型建立 1 2.1　机构描述 2 图1 图1 为面向在轨装配的索并联机构示意图，主要由框架、驱动单元、绳索以及运动平台组成。驱动单元包含电机、减速器、滑轮等元件，通过驱动绳索牵引运动平台实现大范围的运动。运动平台上面安装有各种适配器 ［ 20 20 ］ ，用于执行在轨装配过程中的夹持、旋拧等操作。 本文所设计的索并联机构预期安装空间为一长方体区域，运动平台形状为长方体，其几何参数如 表1 表1 所示。由于绳索具有单向受力性，因此索并联机构必须采用冗余驱动的方式，即绳索数量必须大于运动平台的自由度数，从而实现对运动平台的完全约束 ［ 21 21 ］ 。在轨装配作业中，运动平台需要实现空间内6个自由度的运动。为了满足机构约束要求，同时使布局具有对称性，选取绳索数量为8，其构型如 图2 图2 所示。 几何参数 数值 框架尺寸长 L 1 （m）×宽 L 2 （m）×高 L 3 （m） 50×50×25 运动平台尺寸长 L 4 （m）×宽 L 5 （m）×高 L 6 （m） 1.5×1×1 本构型采用绳索上下交叉布局的方式，即顶部的四个出绳点通过绳索与运动平台底部的四个顶点相连，底部的四个出绳点与运动平台上部相连。为了避免绳索发生干涉，运动平台上部的四个绳索连接点并不位于顶点位置，而是向中间移动一段距离。这种构型可以使机构具有更大的承载能力，同时可以使运动平台实现更大的倾转角度 ［ 22 22 ］ 。 在空间环境中，绳索不会产生由于重力作用导致的悬链线变形，因此可以直接建立为直线模型。 图2 图2 中， <math id="M3"><mi>O</mi><mi>X</mi><mi>Y</mi><mi>Z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184765&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184764&type= 10.66800022 2.87866688 为全局坐标系， <math id="M4"><mi>P</mi><mi>x</mi><mi>y</mi><mi>z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184767&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184766&type= 7.87400007 3.72533321 为局部坐标系。点 <math id="M5"><mi>P</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184769&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184768&type= 2.45533323 2.79399991 为局部坐标系原点。 B i 和 P i （ i =1，2，...，8）分别表示绳索出线点和运动平台连接点。 <math id="M6"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184771&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184770&type= 4.31799984 4.48733330 为出绳点在全局坐标系中的位置矢量， <math id="M7"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184773&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184772&type= 4.14866638 4.40266657 为局部坐标系原点在全局坐标系中的位置矢量， <math id="M8"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184775&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184774&type= 2.70933342 4.57200003 为绳索与运动平台连接点在局部坐标系中的位置矢量， <math id="M9"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184777&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184776&type= 6.01133299 4.48733330 为局部坐标系到全局坐标系的旋转矩阵。 单位绳索矢量可表示为 <math display="block" id="M10"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><mo>-</mo><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><mo>-</mo><mmultiscripts><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mi>P</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">8</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184779&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184778&type= 65.36266327 9.90600014 ， 令 <math id="M11"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">8</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184781&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184780&type= 35.98332977 4.48733330 为绳索拉力矢量， <math id="M12"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184783&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184782&type= 1.86266661 3.72533321 为绳索拉力值， <math id="M13"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">f</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184785&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184784&type= 2.37066650 4.57200003 为运动平台所受外力， <math id="M14"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184959&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184958&type= 2.79399991 3.72533321 为运动平台所受外力矩。由力平衡条件可得： <math display="block" id="M15"><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">f</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184789&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184788&type= 21.16666603 8.38199997 ， <math display="block" id="M16"><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184791&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184790&type= 31.07266808 8.38199997 ， 式（2） 式（2） 和 式（3） 式（3） 可合并为： <math display="block" id="M17"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184793&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184792&type= 20.99733353 3.13266683 ， 其中： <math id="M18"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184795&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184794&type= 3.72533321 3.04800010 为结构矩阵， <math id="M19"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184797&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184796&type= 49.44533539 9.39799976 。 <math id="M20"><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184799&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184798&type= 2.62466669 2.79399991 为绳索拉力矩阵， <math id="M21"><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184801&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184800&type= 28.70199966 4.74133301 ； <math id="M22"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184803&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184802&type= 2.62466669 2.79399991 为运动平台所受外力旋量， <math id="M23"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">f</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184805&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184804&type= 21.59000015 5.50333309 。 2.2　刚度矩阵 2 当作用在运动平台上一个微小外力旋量d F 时，必然导致运动平台产生一个微小位姿变化d X 。因此索并联机构的刚度可表示为： <math display="block" id="M24"><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184807&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184806&type= 13.63133430 7.53533268 ， 式中， K 称为索并联机构的刚度矩阵。把 式（4） 式（4） 代入 式（5） 式（5） ，得 <math display="block" id="M25"><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184809&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184808&type= 69.51132965 7.78933382 ， 可以看到索并联机构的刚度矩阵由两部分组成，将这两部分分别设为 K 1 和 K 2 。对 K 1 进行计算： <math display="block" id="M26"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184811&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184810&type= 73.99867249 31.66533470 ， <math display="block" id="M27"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184813&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184812&type= 22.35199928 7.53533268 ， 索并联机构的雅可比矩阵为： <math display="block" id="M28"><mi mathvariant="bold-italic">J</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184815&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184814&type= 16.08666801 7.53533268 ， 其与索并联机构的结构矩阵互为转置。式中， L 为绳索长度矩阵， <math id="M29"><mi mathvariant="bold-italic">L</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184817&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184816&type= 33.61266708 4.74133301 。 把 式（9） 式（9） 代入 式（8） 式（8） ，得： <math display="block" id="M30"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184819&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184818&type= 21.16666603 7.53533268 ， 令 k i 为绳索 i 的刚度，则： <math display="block" id="M31"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184821&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184820&type= 16.25600052 8.46666718 ， 式中， E i 为绳索 i 的弹性模量， A i 为绳索 i 的截面面积， l oi 为绳索 i 的初始长度。则 式（10） 式（10） 中： <math display="block" id="M32"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">L</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184823&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184822&type= 62.39933777 9.56733322 ， 把 式（12） 式（12） 代入式（10）， <math display="block" id="M33"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184825&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184824&type= 67.30999756 9.56733322 ， 于是得到索并联机构的完整刚度矩阵： <math display="block" id="M34"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow/><mrow><mi>O</mi></mrow></mmultiscripts><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">p</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">T</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi>d</mi><mi>i</mi><mi>a</mi><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>o</mi><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184827&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184826&type= 58.33533096 21.84399986 . 3 索并联机构变刚度控制策略 1 由 式（14） 式（14） 可以看出，索并联机构的刚度不仅与绳索刚度有关，还与绳索张力有关，因此，与绳索刚度有关的 K 2 称为被动刚度，与绳索张力有关的 K 1 称为主动刚度 ［ 15 15 ］ 。在索并联机构的位姿确定的情况下，通过调节绳索张力可以改变索并联机构的刚度，实现机构的变刚度控制。对 式（4） 式（4） 进行求解，得： <math display="block" id="M35"><mi mathvariant="bold-italic">T</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><mo>+</mo></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">N</mi><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184829&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184828&type= 29.97200012 3.21733332 ， 式中， J T+ 为 J T 的Moore-Penrose逆， J T+ F 为 式（4） 式（4） 的特解。 N= null（ J T ）为结构矩阵 J T 的零空间， <math id="M36"><mi mathvariant="bold-italic">N</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184831&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184830&type= 14.30866718 3.38666677 ， <math id="M37"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184833&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184832&type= 21.84399986 3.64066648 为任意矢量。 <math id="M38"><mi mathvariant="bold-italic">N</mi><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184835&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184834&type= 4.74133301 2.96333337 为 式（4） 式（4） 的齐次（零空间）解，其表现为索并联机构的内力，对运动平台整体不产生力作用。由于绳索只能受拉而不能受压，因此绳索张力必须大于零。而在求解过程中，并不能保证特解 J T+ F 的所有元素为正，这将违反绳索张力大于零的要求，因此可以通过设置任意矢量 <math id="M39"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 的值来调节齐次解部分，使整体绳索拉力大于零。 在实际应用过程中，为了避免绳索发生虚牵，索并联机构的绳索拉力应高于一个最小值 <math id="M40"><munder><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>̲</mo></munder></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184872&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184871&type= 1.10066664 3.38666677 。此外，受驱动器最大驱动力矩以及绳索许用拉力（与绳索抗拉强度、绳索横截面积等有关）限制，绳索拉力存在上限值 <math id="M41"><mover><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184874&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184873&type= 1.10066664 3.38666677 。因此，绳索拉力约束条件为： <math display="block" id="M42"><mn mathvariant="normal">0</mn><mo><</mo><munder><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>̲</mo></munder><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≤</mo><mover><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mtext>  </mtext><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mn mathvariant="normal">8</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184843&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184842&type= 43.26466751 4.23333359 ， 于是，求解索并联机构绳索拉力矩阵 T 的问题可以简化为求解 <math id="M43"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 ，使之满足绳索拉力约束条件 式（16） 式（16） 。 令满足约束条件的矢量 <math id="M44"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 的集合为 <math id="M45"><mi mathvariant="normal">Λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184921&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184920&type= 2.70933342 2.79399991 ，其在二维空间内呈现为多边形，如 图3 图3 所示。 综上，当索并联机构的位姿确定时，在满足绳索拉力约束条件的情况下，通过调节任意矢量 <math id="M50"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 可以改变绳索拉力分布，从而实现对机构的变刚度控制。 刚度矩阵中的主对角线元素分别为机构沿 x ， y ， z 轴的平动刚度 K x ， K y ， K z 以及绕各轴的旋转刚度 <math id="M51"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184864&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184863&type= 3.97933316 3.72533321 ， <math id="M52"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184866&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184865&type= 3.97933316 3.72533321 ， <math id="M53"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184966&type= 3.97933316 3.72533321 ，非对角线元素为不同方向的耦合刚度，如 式（17） 式（17） 所示。 <math display="block" id="M54"><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184870&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184869&type= 59.26666260 28.53266525 . 由于非对角线元素相对整个刚度矩阵的影响很小，因此在研究中通常只针对主对角线元素进行分析。以运动平台位姿 X =［0 0 12.5 0 0 0］ T 为例，设置绳索拉力下限值 <math id="M55"><munder><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>̲</mo></munder></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184872&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184871&type= 1.10066664 3.38666677 和上限值 <math id="M56"><mover><mrow><mi>t</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184874&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184873&type= 1.10066664 3.38666677 分别为100 N和2 000 N，绳索采用直径为2 mm的Dyneema绳，当运动平台所受外力为0时，计算得到不同绳索拉力分布对索并联机构刚度的影响，如 表2 表2 所示。 绳索张力分布（N） K 1 K 2 <math id="M57"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mn>101.63</mn><mtext> </mtext><mn>100.47</mn><mtext> </mtext><mn>101.63</mn><mtext> </mtext><mn>100.47</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mn>100.60</mn><mtext> </mtext><mn>100.60</mn><mtext> </mtext><mn>100.60</mn><mtext> </mtext><mn>100.60</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184876&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184875&type= 35.81399918 7.19666624 <math id="M58"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mn>12.23</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.03</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0.02</mn></mtd><mtd><mn>0.03</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>0.03</mn></mtd><mtd><mn>12.33</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.61</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.02</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>19.14</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0,02</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.61</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>198.14</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.77</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0.03</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.02</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.77</mn></mtd><mtd><mn>130.90</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>614.07</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184878&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184877&type= 62.31467056 22.01333237 <math id="M59"><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184886&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184885&type= 56.64199829 21.67466736 <math id="M60"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mn>997.58</mn><mtext> </mtext><mn>987.99</mn><mtext> </mtext><mn>997.58</mn><mtext> </mtext><mn>987.99</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mn>988.36</mn><mtext> </mtext><mn>988.36</mn><mtext> </mtext><mn>988.36</mn><mtext> </mtext><mn>988.36</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184882&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184881&type= 35.56000137 7.19666624 <math id="M61"><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184883&type= 50.79999924 21.67466736 <math id="M62"><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184886&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184885&type= 56.64199829 21.67466736 <math id="M63"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mn>1995.2</mn><mtext> </mtext><mn>1976.0</mn><mtext> </mtext><mn>1995.2</mn><mtext> </mtext><mn>1976.0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mn>1976.7</mn><mtext> </mtext><mn>1976.7</mn><mtext> </mtext><mn>1976.7</mn><mtext> </mtext><mn>1976.7</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184888&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184887&type= 35.64466476 7.19666624 <math id="M64"><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184889&type= 50.79999924 21.67466736 <math id="M65"><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msup><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mn>3.21</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>0.02</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>3.17</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0.21</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0.90</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0.21</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>2.22</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mn>0.02</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>1.88</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd><mtd><mn>0.11</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184892&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184891&type= 56.64199829 21.67466736 由 表2 表2 可以看出，主动刚度 K 1 与被动刚度 K 2 相比较小。以绳索张力约为100 N时为例，索并联机构由主动刚度 K 1 产生的三个平动方向的刚度（ K 1 （1，1）， K 1 （2，2）， K 1 （3，3））远小于被动刚度 K 2 的三个平动方向刚度（ K 2 （1，1）， K 2 （2，2）， K 2 （3，3））。随着索并联机构的张力增加，主动刚度 K 1 的值显著增大，但与被动刚度 K 2 相比仍然具有很大差距。因此，在被动刚度较大的情况下，通过改变绳索张力的方式调整机构整体刚度不会产生明显的效果。值得注意的是，在被动刚度较小的方向（绕 z 轴的旋转刚度 <math id="M66"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184966&type= 3.97933316 3.72533321 ），通过增大绳索拉力可以显著提高该方向的刚度。在绳索拉力约为100 N时，绕 z 轴的旋转刚度 <math id="M67"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1714</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">N</mi><mo>/</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">d</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184898&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184897&type= 26.50066566 4.14866638 ，当绳索张力增加到约1 000 N和2000N时，该方向的旋转刚度分别达到7 130 N/rad和13 200 N/rad，因此，在索并联机构刚度较低的方向，通过改变绳索张力的方式可以取得良好的变刚度效果。此外，由表中也可以发现非主对角线元素位置的耦合刚度相对极小，对整体刚度的影响可以忽略。 进一步分析矢量 <math id="M68"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 变化对旋转刚度 <math id="M69"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184966&type= 3.97933316 3.72533321 的影响，如 图4 图4 所示。可以发现随矢量 <math id="M70"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 变化，旋转刚度 <math id="M71"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184966&type= 3.97933316 3.72533321 具有显著变化，且刚度极值发生在绳索约束条件的极限部分。 考虑到在矢量 <math id="M76"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 集合 <math id="M77"><mi mathvariant="normal">Λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184921&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184920&type= 2.70933342 2.79399991 的可行多边形边界位置处，绳索拉力处于约束条件的极限值，此时在有外力扰动的情况下，绳索会发生过度张紧或松弛使得绳索拉力超出约束条件的边界值，导致系统失效或破坏。为了避免这种情况，定义了可行多边形的安全边界 ［ 19 19 ］ 如 图5 图5 所示。图中， <math id="M78"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184985&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184984&type= 4.65666676 3.72533321 为可行多边形的质心， <math id="M79"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184925&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184924&type= 3.80999994 3.72533321 和 <math id="M80"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>M</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184927&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184926&type= 4.91066647 3.72533321 分别是可行多边形边界和安全边界上的点，且 <math id="M81"><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>S</mi><mi>M</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi>ξ</mi><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184929&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184928&type= 33.95133591 4.91066647 ， <math id="M82"><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185011&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185010&type= 1.60866666 3.64066648 为介于 <math id="M83"><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184933&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184932&type= 8.46666718 3.55599999 之间的系数，用于限定安全边界所包含区域的范围。 为提高计算效率，消除刚度矩阵中对整体影响极小的耦合项，只保留主对角线元素，将其改写为矢量形式： <math display="block" id="M86"><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184942&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184941&type= 54.94866943 4.74133301 ， 期望刚度可表示为： <math display="block" id="M87"><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msub></mrow><mo>̃</mo></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>y</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>z</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>α</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>β</mi></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184944&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184943&type= 63.41533279 4.74133301 . 期望刚度与实际刚度的差值表示为 <math display="block" id="M88"><mi mathvariant="normal">d</mi><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mo>=</mo><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mo>-</mo><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi></mrow></msub></mrow><mo>̃</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184946&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184945&type= 21.84399986 4.48733330 . 于是索并联机构的变刚度控制可转化为优化问题如 式（21） 式（21） ，即在满足安全边界条件的情况下，通过调节矢量 <math id="M89"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 来改变绳索张力，从而使实际刚度最大程度接近期望刚度。 <math display="block" id="M90"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext>  </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">W</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s</mi><mo>.</mo><mi>t</mi><mo>.</mo><mtext>  </mtext><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>≤</mo><mi>ξ</mi><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184950&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184949&type= 36.99933624 10.49866676 ， 式中， W 为权重对角矩阵， <math id="M91"><mi mathvariant="bold-italic">W</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋯</mo></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd><mtd><mo>⋮</mo></mtd><mtd><mo>⋱</mo></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">66</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184952&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184951&type= 42.16400146 19.04999924 ，且 <math id="M92"><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184954&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184953&type= 16.34066582 8.38199997 。由于使索并联机构所有方向的刚度均达到期望刚度值是不可能也是不必要的，因此，可以通过分配权重的方式使机构某个方向的刚度优先被控制，从而达到理想的变刚度效果。关于该优化问题的求解算法如 图6 图6 所示： 4 仿真与实验 1 4.1　ADAMS仿真 2 以运动平台搭载适配器进行旋拧操作为例，如 图7 图7 所示。操作时，运动平台需要承受 z 向的扰动力 f p 和扰动力矩 <math id="M93"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184959&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184958&type= 2.79399991 3.72533321 ，因此要求机构在这两个方向上具有较强的刚度。设在位姿 X =［0 0 12.5 0 0 0］ T 处， z 方向平动刚度的期望值 K dz =8 000 N/m，转动刚度期望值 <math id="M94"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>d</mi><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184961&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184960&type= 5.07999992 3.72533321 =12 000 N/rad，由 表2 表2 知 z 方向的平动刚度较大，且绳索拉力分布对其影响不明显，因此只考虑 z 方向旋转刚度的控制，取权重对角矩阵 W 的元素 w 66 =1，其余元素为0，安全边界系数 <math id="M95"><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185011&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185010&type= 1.60866666 3.64066648 设为0.8，则通过变刚度控制算法计算得出绳索张力分布为 T =［1 574 1 400 1 574 1 400 1 480 1 480 1 480 1 480］ T N。此时 K z =9 309 N/m， <math id="M96"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184966&type= 3.97933316 3.72533321 =10 091 N/rad。由于受安全边界限制，为了避免绳索张力在扰动力的作用下超出约束条件，转动刚度值 <math id="M97"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184966&type= 3.97933316 3.72533321 未能达到期望值，而在安全边界处达到最大值。 在ADAMS环境下采用绳索模块建立索并联机构的模型，如 图8 图8 所示。对八根绳索分别施加由变刚度控制算法得出的拉力分布值，通过在运动平台上施加微小载荷，求解载荷方向的变形量的方法测量索并联机构的实际刚度，计算结果与理论结果如 表3 表3 所示。 刚度方向 理论值 测量值 误差 z 方向平动刚度 K z （N/m） 9 309 8 878.63 4.62% z 方向转动刚度 <math id="M98"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>γ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184975&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184974&type= 3.47133350 3.21733332 （N/rad） 10 091 9 759.32 3.29% 对比刚度的测量值与理论值，发现测量值相对理论值较小，这是由于在ADAMS环境中建模时，为了使绳索可以绕过滑轮，对绳索进行了一定程度的延长，从而降低了机构的刚度，此外，引入滑轮使得出线点的实际位置相对理论位置发生了较小的变化，带来了一定的误差。整体来看，测量值与理论值能够较强地吻合，验证了刚度模型的正确性。 在该模型的基础上，进一步验证变刚度控制的性能。在运动平台的 z 方向施加扰动力 f pz （ t ）和扰动力矩 <math id="M99"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">τ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>z</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184979&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184978&type= 3.72533321 3.72533321 （ t ）如 式（22） 式（22） ： <math display="block" id="M100"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">100</mn><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">30</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">8</mn><mi>π</mi><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">100</mn><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">50</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>π</mi><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184981&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184980&type= 40.13199997 10.07533360 ， 分别对八根绳索施加采用本文提出的变刚度控制算法求解出的绳索张力以及未考虑变刚度的质心法（即 <math id="M101"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 取值为可行多边形质心 <math id="M102"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184985&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19184984&type= 4.65666676 3.72533321 ［ 23 23 ］ ）求解出的绳索张力，分析施加上述扰动时运动平台的振动情况，如 图9 图9 所示。 1;2; 由 图9 图9 （a）可以看出，两种不同求解方法求解得到的绳索张力在抵抗z向扰动力方面的作用没有明显区别，这是由于本文所研究的索并联机构在z向具有较强的被动刚度，因此在该方向上，由绳索张力产生的主动刚度对整体刚度改变无显著影响。而对于z向转动刚度，由于该方向的被动刚度较弱， 因此通过改变绳索张力的方法可以使其得到明显改善。由图（b）可以看出，对绳索施加由未考虑刚度的绳索张力分布算法得出的绳索张力时，运动平台在扰动力矩的作用下产生较强的振动。而在该方向设定较强的期望刚度时，对绳索施加通过变刚度控制算法得出的绳索张力后，运动平台的振幅明显减弱，由2°降为1.3°，振动降低了35%。因此，本文提出的变刚度控制算法可以有效改变索并联机构薄弱方向的刚度，使该方向的刚度满足期望要求，从而极大地改善系统的性能。 4.2　样机实验 2 本文所提出的索并联机构变刚度控制算法不只适用于冗余度为2的索并联机构，也可适用于冗余度为1或更高冗余度的索并联机构，其区别在于当冗余度为1时， <math id="M103"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 可行多边形降维成一条线段，而对于冗余度较高的索并联机构， <math id="M104"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 可行多边形转化为空间三维多面体或更高维度的超多面体，其安全边界也会因此发生相应变化。本文在已有的一种四索并联机构样机（ 图10 图10 ）的基础上，对变刚度控制算法的性能进行实验验证。该四索并联机构由四台伺服电机驱动卷轴转动，进而带动绳索牵引运动平台进行运动。每根绳索一端与卷轴连接，另一端绕过拉力传感器与运动平台相连。拉力传感器可以对绳索拉力进行实时测量，用于样机的力反馈过程。样机的相关参数如 表4 表4 所示。 1;2; 技术参数 数值 框架长度 L 1 1 600 框架宽度 L 2 1 100 运动平台长度 L 3 160 运动平台长度 L 4 160 绳索直径 d 1 mm 计算得出该索并联机构在竖直方向上（ z 向）的被动刚度为0，因此，可以通过控制绳索拉力的方式提高其 z 向主动刚度，从而提高该方向的整体刚度。以运动平台处于中心位置为例，设置绳索拉力范围为 <math id="M105"><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">10,300</mn><mo stretchy="false">]</mo><mi mathvariant="normal">N</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185009&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185008&type= 18.28800011 3.55599999 ，只考虑 z 向刚度，取权重对角矩阵 W 的元素 w 33 =1，其余元素为0，安全边界系数 <math id="M106"><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185011&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185010&type= 1.60866666 3.64066648 设为0.9，通过变刚度控制算法使其 z 向理论刚度值分别达到800 N/m和1 000 N/m。将运动平台悬空放置，通过在 z 向施加一系列不同大小的力，测量其微小位移量的方式计算得出实际刚度值。实验结果如 图11 图11 所示。 1,2; 通过 图11 图11 的测量结果可以看出，四索并联机构样机在 z 方向的刚度测量值小于理论值，这是由于每根绳索实际长度大于理论长度。此外，卷轴受力后也产生了一定的变形量，这也是造成样机的刚度测量值降低的一个重要因素 ［ 19 19 ］ 。两种情况下刚度的测量值相对理论值的误差分别为16.3%和14.6%，整体上具有较强的吻合性，结合文献［ 19 19 ］，该误差具可接受性。因此，本文的变刚度控制方法可以有效改变索并联机构薄弱方向的刚度，使其达到预期刚度值。这对于提高系统的性能具有重要的意义。 5 结　论 1 本文对一种面向在轨装配的冗余索并联机构的刚度进行了分析，建立了其完整刚度模型。其次，分析了绳索张力分布对不同方向刚度的影响。然后，考虑影响绳索张力分布的矢量 <math id="M107"><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=19185020&type= 1.86266661 2.79399991 的安全边界，建立了索并联机构的变刚度控制算法，该算法消除了刚度模型中对整体影响较小的耦合刚度，提高了计算效率，并且可以通过分配权重的方式对不同方向的刚度进行不同优先级的控制。最后，通过仿真与实验的方式对变刚度控制算法的效果进行了验证。以旋拧操作为例，仿真结果表明：在对运动平台施加扰动力时，相较于未考虑变刚度的索力分布，采用变刚度控制算法求解出的索力分布可以使薄弱方向的振动降低35%，样机实验结果表明，在对索并联机构样机进行刚度控制后，刚度的测量值与理论值具有较强的拟合性，误差分别为16.3%和14.6%。 参考文献 李团结 ， 马小飞 ， 华岳 ， 等 . 大型空间天线在轨装配技术 ［J］. 载人航天 ， 2013 ， 19 （ 1 ）： 86 - 90 . 大型空间天线在轨装配技术 LI T J ， 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