Comparison of design methods for negative lenticular lens

负缩镜片设计方法对比 Comparison of design methods for negative lenticular lens 1 corresp first-author E-mail： xiang3845242@usst.edu.cn E-mail： xiang3845242@usst.edu.cn 项华中（1986-），男，安徽安庆人，博士，副教授，2012年、2016年于上海理工大学分别获得硕士、博士学位，主要从事非球面和自由曲面镜片设计等方面的研究。E-mail： xiang3845242@usst.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848299&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848295&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848299&type= 25.39999390 33.59729004 项华中 （1986-），男，安徽安庆人，博士，副教授，2012年、2016年于上海理工大学分别获得硕士、博士学位，主要从事非球面和自由曲面镜片设计等方面的研究。E-mail： xiang3845242@usst.edu.cn xiang3845242@usst.edu.cn 1 张　露（1993-），女，江苏徐州人，硕士研究生，2018年于上海理工大学获得学士学位，主要从事医学光学与视光学的研究。E-mail： zhanglumg@outlook.com 张　露（1993-），女，江苏徐州人，硕士研究生，2018年于上海理工大学获得学士学位，主要从事医学光学与视光学的研究。E-mail： zhanglumg@outlook.com zhanglumg@outlook.com 1 1 1 2 上海理工大学 医疗器械与食品学院 教育部医用光学技术与 仪器重点实验室，上海 200093 上海理工大学 医疗器械与食品学院 教育部医用光学技术与 仪器重点实验室，上海 200093 Engineering Research Center of Optic Instrument and System， Ministry of Education， School of Medical Instrument and Food Engineering ， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China Engineering Research Center of Optic Instrument and System， Ministry of Education， School of Medical Instrument and Food Engineering ， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China 上海理工大学 上海市介入医疗器械工程研究中心，上海 200093 上海理工大学 上海市介入医疗器械工程研究中心，上海 200093 Shanghai Engineering Research Center of Interventional Medical Device， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China Shanghai Engineering Research Center of Interventional Medical Device， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China 通过对比3种负缩透镜优化设计方法来选择易精密加工、质量减轻和佩戴美观的高度近视镜片。在相同的光学参数下，运用双三次样条插值法、高阶多项式和几何构造法设计了3组 - 10 m -1 的负缩镜片，对比了矢高和光焦度的分布，加工了设计的负缩镜片，比较了3种设计镜片的中心定焦区、最大厚度和边缘厚度。几何构造法镜片中心定焦区面积与双三次样条插值法相同，比高阶多项式大20.99%，最大厚度较高阶多项式法薄0.7%，比双三次样条插值法薄13.26%。同时，几何构造法边缘厚度较高阶多项式法薄80.3%，比双三次样条插值法薄92.42%；双三次样条插值法的中心光焦度与仿真结果的差值为0.06 m -1 ，几何构造法的差值为0.11 m -1 ，高阶多项式的差值为0.15 m -1 。几何构造法设计的镜片能够满足佩戴者的需求，亦适用于其他类型光学元件的设计。 The purpose of this study was to compare three different design methods for negative lenticular lenses and identify lenses for high myopia that can be fabricated precisely and easily， are low weight， and are aesthetically pleasing. Three optimized design methods for negative lenticular lenses—the bicubic spline interpolation， high-order polynomial， and geometric construction methods—were proposed. Using identical optical parameters， three groups of - 10 m -1 negative lenticular lenses were designed， and the sagitta and the power distribution map were compared. The designed negative lenticular lenses were then fabricated， and the central optical area， maximum thickness， and edge thickness were compared. The central optical area obtained via the geometric construction method was equal to that obtained via the bicubic spline interpolation method； however， this area was 20.99% greater than that obtained using the high-order polynomial method. Furthermore， the maximum thickness obtained using the geometric construction method is 0.7% less than that obtained via the high-order polynomial method， which， in turn， is 13.26% less than that afforded by the bicubic spline interpolation method. The edge thickness under the geometric construction method is 80.3% less than that under the higher-order polynomial method， which， in turn， is 92.42% less than that obtained via the bicubic spline interpolation method. The differences between the central optical power in the simulation and the central optical power afforded by the bicubic spline interpolation， geometric construction， and high-order polynomial methods are 0.06， 0.11， and 0.15 m -1 ， respectively. Thus， it was concluded that the geometric construction method meets the requirements of the wearers. These methods are also suitable for designing other types of optical components. 光学设计 高度近视 眼镜 负缩镜片 曲面拟合 双三次样条 optical design high myopia spectacles negative lenticular lens surface fitting bicubic spline 1 引　言 1 屈光不正是眼睛的轴向长度和光度不匹配的结果，会造成视力模糊。世界卫生组织将屈光不正列为全球视力受损的主要原因之一，约占比为44% ［ 1 1 ］ 。未矫正的屈光不正是导致中、重度视力损害的主要原因。全世界有1.012亿人患有失明，其中视力低于0.05的有680万人 ［ 2 2 ］ 。过去60年，中国年轻人的近视患病率从10%~20%发展到90%，约19.5%为高度近视 ［ 3 3 ］ 。高度近视的特点是眼轴长度的延长，而眼球后侧后眼壁的伸长会引起各种并发症，包括白内障、视网膜脉络膜的萎缩、黄斑裂孔伴或不伴视网膜脱离、近视中央凹或视神经头改变等。这些并发症对视力构成威胁，并会导致不可逆的视网膜光感受器损伤，从而丧失中枢视力 ［ 4 4 - 5 5 4-5 ］ 。 配戴光学框架眼镜是近视矫正最常见的方法之一。传统的球面镜片边缘厚度会随着近视度数的增加而变得越来越厚，镜片的质量也随之增加。高度近视患者长时间佩戴会增加鼻梁的压迫感，同时影响美观。负缩镜片可以有效地减少镜片边缘厚度，减轻镜片的质量，实现镜片的精密加工，提升高度近视患者佩戴的舒适度。传统光学制造强国在负缩透镜设计领域有着深入的研究。Jalie等 ［ 6 6 ］ 在设计非球面镜片时采用多项式设计镜片表面面形，此方法至今仍被广泛使用。Juan等 ［ 7 7 ］ 在透镜边缘设计混合区域，在连接处混合区域保证可导并连续，且两个表面的导数在混合点处匹配。同时，他还提出了适当缩小直径可以减薄镜片边缘厚度。我国在负缩镜片设计和加工领域也进行了相关研究。唐瓦等 ［ 8 8 ］ 提出采用多项式构建镜片面形，陈利等 ［ 9 9 ］ 通过控制几何移心量和选择不同的折射率来减薄负缩镜片的厚度，但设计方法距国外技术水平还有一定的差距。 本文对比了双三次样条插值法、高阶多项式和几何构造法3种负缩镜片设计方法。其中，双三次样条插值法针对设计的目标厚度与原来矢高之间的函数变化进行插值，以提高函数的光滑性 ［ 10 10 ］ ，实现镜片表面平滑连接；高阶多项式 ［ 11 11 ］ 在镜片不同位置设定不同的减薄量，通过解减薄量和高阶多项式的关系，根据该关系表达式重新构建镜片后表面面形；几何构造法在镜片边缘构建相切圆，因为相切圆的导数值在切点处相同 ［ 12 12 ］ ，可以通过两个相切圆的连接保证镜片在连接处导数相等且连续。在得到3组负缩镜片面形的基础上，对比了3组负缩镜片的仿真光焦度和矢高分布，分析了不同设计方法下镜片光学性能的差异。最后加工了3组镜片，并将仿真和测量结果进行对比，结果表明几何构造法得到的镜片性能最佳。 2 负缩镜片设计方法 1 人眼的舒适视域为60°，故镜片的常用区域为20 mm半径范围内 ［ 13 13 ］ 。负缩镜片参数如 表1 表1 所示，负缩镜片中心定焦区为40 mm，40 mm以外为边缘减薄区，如 图1 图1 所示。 折射率 屈光力/m -1 中心厚度/mm 前表面曲率半径/mm 有效孔径/mm 镜片直径/mm 1.67 -10 1.2 1250 40 60 2.1　高阶多项式设计法 2 采用高阶多项式设计镜片时，计算公式为 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ ： <math display="block" id="M1"><mtable><mtr><mtd><mi>z</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mroot><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>+</mo><mi>B</mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>C</mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msup><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>D</mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>E</mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>…</mo><mtext>  </mtext><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848352&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848347&type= 68.24134064 15.74800014 式中： R 为非球面顶点处的曲率（半径的倒数）， k 为二次曲面的圆锥系数， y 为非球面上任一点到光轴的距离， B ， C ， D ， E 等为高阶项系数，通过改变高阶项系数来减薄边缘的厚度。 在镜片边缘定义4个不同的位置 y 1 ， y 2 ， y 3 ， y 4 及厚度减薄量 z 1 ，z 2 ，z 3 ，z 4 ，得到： <math display="block" id="M2"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>B</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>C</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>D</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>E</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>B</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>C</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>D</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>E</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>B</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>C</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>D</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>E</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>B</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>C</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>D</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>E</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848366&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848358&type= 57.15000153 21.84399986 . 中心定焦区以内 <math id="M3"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848375&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848371&type= 3.04800010 4.57200003 （ <math id="M4"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848387&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848381&type= 18.28800011 4.57200003 ）为球镜，因此 <math id="M5"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848402&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848391&type= 9.73666668 3.72533321 。 y 1 ~ y 4 为减薄区。在已知4个厚度减薄量的情况下，根据方程组（2）可以求得 B ， C ， D ， E ，得到负缩镜片后表面的面形。 2.2　双三次样条插值法 2 图2 图2 为双三次样条插值法矢高设计示意图。 根据球面矢高计算公式 ［ 8 8 ］ 可得前表面矢高为： <math display="block" id="M6"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mroot><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848432&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848426&type= 30.14133072 5.24933338 . 后表面原矢高为： <math display="block" id="M7"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>R</mi><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mroot><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo><msup><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848439&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848436&type= 43.77266693 10.24466610 ， 其中： r 1 为前表面的半径， y 为镜片半径， R 为内表面的曲率半径， k 为二次曲面的圆锥系数。 由 图2 图2 可知： <math display="block" id="M8"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>d</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848449&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848445&type= 23.79133224 3.80999994 ， 其中： d 为中心厚度， t e 为边缘厚度。设减薄的厚度比上边缘的厚度为减薄的倍数 N ，重新构建后的边缘矢高为： <math display="block" id="M9"><mi>z</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>×</mo><mi>N</mi><mo>-</mo><mi>d</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848457&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848453&type= 30.64933395 3.80999994 . 如 图2 图2 所示，定义 A 点为镜片边缘新矢高（即为 z ）， B 点横坐标为中心定焦区的半径20 mm，在 A 点和 B 点之间使用双三次样条插值法构建样条曲线，得出圆弧 AB ，可以得到边缘减薄区矢高，从而得到整个镜片的面形。 2.3　几何构造法 2 图3 图3 为几何构造法矢高设计示意图。几何构造法是在负缩镜片边缘区域构建两个相切圆，由 图3 图3 可知： A 为球镜后表面的圆心， <math id="M10"><mi>B</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848465&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848461&type= 24.80733490 4.48733330 为圆弧 BD 与球镜的切点， C 为圆弧 BD 的圆心， <math id="M11"><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">30</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848476&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848472&type= 25.14599991 4.48733330 为圆弧 BD 和圆弧 DF 的切点， E 为圆弧 DF 的圆心。 AC 和 CG 的夹角为 α ， CE 和 CF 的夹角为 β 。球镜的半径为 AB = r 1 ，圆弧 BD 半径为 <math id="M12"><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mi>C</mi><mi>D</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848485&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848480&type= 22.77533340 3.72533321 ，圆弧 DF 半径为 <math id="M13"><mi>D</mi><mi>E</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848495&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848491&type= 12.95400047 3.72533321 。若 A 点坐标为（0， r 1 ）， B 点坐标为（ <math id="M14"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848508&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848503&type= 8.12800026 4.57200003 ）， D 点坐标为（ <math id="M15"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848517&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848512&type= 8.12800026 4.57200003 ），则 C 点坐标为（ <math id="M16"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>α</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848527&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848523&type= 24.63800049 4.23333359 <math id="M17"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mroot><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>α</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848537&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848533&type= 43.68799973 5.24933338 ）， E 点坐标为（ <math id="M18"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>β</mi><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>β</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848548&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848544&type= 46.65133286 4.74133301 ）。 利用分段函数分段构建 图3 图3 中曲线，分段函数如公式（7）所示，通过旋转此曲线得到一个曲面。通过改变半径 r 2 ， r 3 和相切位置 x 1 ，x 2 ，可以改变负缩镜片的减薄量。 <math display="block" id="M19"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>≤</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn mathvariant="normal">20</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>α</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mroot><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>α</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mo><</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false">[</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>β</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>y</mi><mo>-</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>β</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo>≤</mo><mn mathvariant="normal">30</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848572&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16848568&type= 71.28932953 29.12533188 . （7） 3 结果与分析 1 3.1　仿真分析 2 采用Optotech GmbH OMM-60仿真软件（明月镜片股份有限公司）对3组 - 10 m -1 负缩镜片进行仿真，其中心到边缘的光焦度分布结果如 图4 图4 所示。由仿真结果可知，高阶多项式法和双三次样条插值法设计的负缩镜片在边缘20 mm附近且位于中心定焦区内，屈光焦度有明显的梯度变化。几何构造法设计的负缩镜片在20 mm定焦区以内，光焦度无明显的梯度变化，但光焦度变化不平坦。其中，几何构造法和双三次样条插值的中心定焦区半径约为18 mm，高阶多项式法的中心定焦区半径约为16 mm。因此，几何构造法的镜片中心定焦区面积与双三次样条插值法相同，比高阶多项式大 20.99%。同时，还对镜片矢高进行了对比。 1;2;3; 由 图5 图5 可知，在孔径40 mm以内3种设计方法的矢高几乎一致。在半径20~30 mm处，3种设计方法的边缘矢高均发生了变化，有不同程度的减薄。 由 图6 图6 （a）和6（b）可知，几何构造法一阶导数和二阶导数的变化量均小于另外两种方法，高阶多项式法一阶导数和二阶导数的变化量均大于另外两种方法。由 图4 图4 （a）可知，高阶多项式法导数变化较大时，光焦度梯度变化也较大。由 图4 图4 （b）可知，双三次样条插值法的导数变化程度优于高阶多项式法，其光焦度梯度变化也较小。由 图4 图4 （c）可知，几何构造法的导数变化程度最小，其光焦度不存在明显的梯度变化。但由于导数在20 mm和30 mm处均发生跳变，光焦度图在20 mm处的变化明显不平坦。其原因在于几何构造法采取分段函数构建矢高分布，跳变发生点为分断点，这种现象可能会导致加工困难。 1;2; 3.2　测量结果分析 2 本文采用自由曲面加工机床对3组镜片进行加工，每组加工1片，镜片成品如 图7 图7 所示，1号为双三次样条插值法设计的镜片，2号为高阶多项式设计的镜片，3号为几何构造法设计的镜片。 采用VM2000自由曲面检测仪（明月镜片股份有限公司）检测镜片面形。此自由曲面测量仪由法国Briot-Visionix公司生产，基于Shack-Hartmann偏折法原理，测量精度为0.02 m - 1 。通过输入镜片前后表面的曲率半径、中心厚度和折射率等参数进行测量，得到光焦度分布。本文主要测量了3组镜片，检测直径为30 mm，检测结果如 图8 图8 所示。由 图8 图8 可知，高阶多项式法的中心定焦区小于另外两种方法，且镜片边缘区域存在明显的光焦度变化，最大变化量为 - 4.0 m - 1 ；双三次样条插值法和几何构造法在孔径30 mm以内的光焦度分布较为均匀，变化量为 - 0.5 m - 1 。几何构造法由于边缘变化陡度较大，检测仪器有部分未测出，但整体光度良好。 1;2;3; 由 表2 表2 可知，双三次样条插值法的中心光焦度为 - 9.94 m - 1 ，与仿真差值为0.06 m - 1 ，几何构造法差值为0.11 m - 1 ，高阶多项式差值为0.15 m - 1 ；几何构造法镜片的最大厚度和边缘厚度均小于另外两种方法。其中，几何构造法的最大厚度较高阶多项式法薄0.7%，比双三次样条插值法薄13.26%；其边缘厚度较高阶多项式法薄80.3%，比双三次样条插值法薄92.42%。在控制最大边厚接近的情况下，几何构造法的边缘厚度远远小于另外两种方法，因此在减薄镜片边缘方面，几何构造法优于另外两种方法。 方　法 中厚/mm 最大厚度/mm 边缘厚度/mm 中心光 焦度/m -1 高阶多项式 1.20 4.48 3.57 -10.15 双三次样条插值法 1.20 5.04 3.81 -9.94 几何构造法 1.20 4.45 1.98 -9.89 4 结　论 1 本文针对高度近视患者佩戴传统球面框架镜片边缘较厚，佩戴不舒适和不美观等问题，分析比较了双三次样条插值法、高阶多项式和几何构造法3种优化负缩镜片的设计方法。在相同的光学参数下，设计了3组 - 10 m - 1 的负缩镜片，比较了仿真光焦度和矢高分布图，完成了负缩镜片加工，并比较3种设计镜片的中心定焦区、最大厚度和边缘厚度。结果表明，3种方法均有一定程度的减薄。其中，几何构造法的镜片中心定焦区面积与双三次样条插值法相同，比高阶多项式大20.99%。双三次样条插值法的中心光焦度为 - 9.94 m - 1 ，与仿真差值为0.06 m - 1 ，几何构造法差值为0.11 m - 1 ，高阶多项式差值为0.15 m - 1 ；几何构造法的最大厚度和边缘厚度均小于另外两种方法，几何构造法的最大厚度较高阶多项式法薄0.7%，比双三次样条插值法薄13.26%；边缘厚度较高阶多项式法薄80.3%，比双三次样条插值法薄92.42%。因此，几何构造法满足加工容易，质量减轻和佩戴美观的设计需求。同时，几何构造法还可以扩展到其他类型光学元件的加工，具有一定的应用前景。 参考文献 ELISE N. HARB ， CRISTINE F. WILDSOET . Origins of refractive errors： environmental and genetic factors ［J］. Annu. Rev. Vis. Sci ， 2019 ， 5 ： 47 - 72 . Origins of refractive errors： environmental and genetic factors SUN J ， ZHOU J ， ZHAO P ， et al . High prevalence of myopia and high myopia in 5060 Chinese university students in Shanghai ［J］. Investigative Ophthalmology & Visual Science ， 2012 ， 53 （ 12 ）： 7504 - 7509 . High prevalence of myopia and high myopia in 5060 Chinese university students in Shanghai IKUNO Y . Overview of the complications of high myopia ［J］. Retina （Philadelphia， Pa） ， 2017 ， 37 （ 12 ）： 2347 - 2351 . Overview of the complications of high myopia FLITCROFT D I . The complex interactions of retinal， optical and environmental factors in myopia aetiology ［J］. Progress in Retinal and Eye Research ， 2012 ， 31 （ 6 ）： 622 - 660 . The complex interactions of retinal， optical and environmental factors in myopia aetiology 马思齐 ， 巩岩 ， 李丽 ， 等 . 应用于眼轴参数测量的光学相干层析系统 ［J］. 光学 精密工程 ， 2019 ， 27 （ 6 ）： 1318 - 1326 . 应用于眼轴参数测量的光学相干层析系统 MA S Q ， GONG Y ， LI L ， et al . Optical coherence tomography system for measurement of eye axial parameters ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2019 ， 27 （ 6 ）： 1318 - 1326 . （in Chinese） Optical coherence tomography system for measurement of eye axial parameters JALIE SMSAM . Principles of Ophthalmic Lenses ［M］. Association of Dispensing Opticians ， 1984 . Principles of Ophthalmic Lenses DURSTELER J C . Aspherics in spectacle lenses ［J］. Advanced Optical Technologies ， 2016 ， 5 ： 461 - 469 Aspherics in spectacle lenses 唐瓦 ， 邓伟杰 ， 李锐钢 ， 等 . 离子束抛光高陡度离轴非球面的去除函数修正 ［J］. 光学 精密工程 ， 2015 ， 23 （ 6 ）： 1572 - 1579 . 离子束抛光高陡度离轴非球面的去除函数修正 TANG W ， DENG W J ， LI R G ， et al . Correction of removal function of ion beam figuring highly steep off-axis asphere ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2015 ， 23 （ 6 ）： 1572 - 1579 . （in Chinese） Correction of removal function of ion beam figuring highly steep off-axis asphere 陈利 ， 杨红 ， 刘波 ， 等 . 超高度近视镜片边缘厚度优化的对比分析研究 ［J］. 激光杂志 ， 2015 ， 36 （ 5 ）： 14 - 16 . 超高度近视镜片边缘厚度优化的对比分析研究 CHEN L ， YANG H ， LIU B ， et al . Comparative analysis of high myopia lens edge thickness optimization ［J］. Laser Journal ， 2015 ， 36 （ 5 ）： 14 - 16 . （in Chinese） Comparative analysis of high myopia lens edge thickness optimization 许小勇 ， 钟太勇 . 三次样条插值函数的构造与Matlab实现 ［J］. 兵工自动化 ， 2006 ， 25 （ 11 ）： 76 - 78 . 三次样条插值函数的构造与Matlab实现 XU X Y ， ZHONG T Y . Construction and realization of cubic spline interpolation function ［J］. Ordnance Industry Automation ， 2006 ， 25 （ 11 ）： 76 - 78 . （in Chinese） Construction and realization of cubic spline interpolation function 孟晓辉 ， 王永刚 ， 李文卿 ， 等 . Φ 420 mm高次非球面透镜的加工与检测 ［J］. 光学 精密工程 ， 2016 ， 24 （ 12 ）： 3068 - 3075 . Φ420 mm高次非球面透镜的加工与检测 MENG X H ， WANG Y G ， LI W Q ， et al . Fabricating and testing of Φ 420 mm high-order aspheric lens ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2016 ， 24 （ 12 ）： 3068 - 3075 . （in Chinese） Fabricating and testing of Φ420 mm high-order aspheric lens LI X M ， ZHANG J C . A joint method for the maximum inscribed circle and minimum circumscribed circle ［J］. Measurement . 2016 ， 87 ： 189 - 193 . A joint method for the maximum inscribed circle and minimum circumscribed circle 解兰昌 . 谈谈标准镜头和人眼视角 ［J］. 照相机 ， 2002 （ 10 ）： 61 . 谈谈标准镜头和人眼视角 XIE L CH . Talk about standard lens and human eye ［J］. Camera Magezine Inc ， 2002 （ 10 ）： 61 . （in Chinese） Talk about standard lens and human eye 李昂 ， 王永刚 ， 邬志强 ， 等 . 光学加工过程中高次非球面的三坐标测量数据处理 ［J］. 中国光学 ， 2020 ， 13 （ 2 ）： 302 - 312 . 光学加工过程中高次非球面的三坐标测量数据处理 LI A ， WANG Y G ， WU ZH Q ， et al . Data processing of high-order aspheric surface measurements using CMM in optical fabrication ［J］. Chinese Journal of Optics ， 2020 ， 13 （ 2 ）： 302 - 312 . （in Chinese） Data processing of high-order aspheric surface measurements using CMM in optical fabrication 徐领娣 ， 房安利 ， 于建海 ， 等 . 微晶材质自由曲面反射镜精密超声铣磨加工技术 ［J］. 光学 精密工程 ， 2019 ， 27 （ 12 ）： 2564 - 2570 . 微晶材质自由曲面反射镜精密超声铣磨加工技术 XU L D ， FANG A L ， YU J H ， et al . Ultrasonic-vibration assisted grinding of a zerodour freeform optical mirror ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2019 ， 27 （ 12 ）： 2564 - 2570 . （in Chinese） Ultrasonic-vibration assisted grinding of a zerodour freeform optical mirror 10.37188/OPE.2020.0500 TB133 A 1004-924X（2021）05-0967-08 项华中,张露,高健东等.负缩镜片设计方法对比[J].光学精密工程,2021,29(05):967-974. 项华中,张露,高健东等.负缩镜片设计方法对比[J].光学精密工程,2021,29(05):967-974. XIANG Hua-zhong,ZHANG Lu,GAO Jian-dong,et al.Comparison of design methods for negative lenticular lens[J].Optics and Precision Engineering,2021,29(05):967-974. XIANG Hua-zhong,ZHANG Lu,GAO Jian-dong,et al.Comparison of design methods for negative lenticular lens[J].Optics and Precision Engineering,2021,29(05):967-974. 国家自然科学基金青年基金资助项目（No. 61605114） 2020-10-03 2020-11-20 2021-05-15 2021-06-24 光学精密工程 5 29