Difference iteration method of tool arc Z-direction compensation for stabilizing X-axis

稳定 X 轴的刀具圆弧 Z 向补偿差值迭代法 Difference iteration method of tool arc Z -direction compensation for stabilizing X -axis 1 first-author 陈宝华（1990-），男，江苏泰州人，实验师，2016年于苏州大学获得硕士学位，主要从事光学仪器加工与检测方面的研究。E-mail： chenbaohua@mail.usts.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415616&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415622&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415618&type= 22.01332855 32.00401306 陈宝华 （1990-），男，江苏泰州人，实验师，2016年于苏州大学获得硕士学位，主要从事光学仪器加工与检测方面的研究。E-mail： chenbaohua@mail.usts.edu.cn chenbaohua@mail.usts.edu.cn 1 corresp E-mail： wqycyh@mail.usts.edu.cn E-mail： wqycyh@mail.usts.edu.cn 吴泉英（1965-），女，江苏苏州人，教授，2006年于苏州大学获得博士学位，主要从事光学仪器设计、加工与检测方面的研究。E-mail： wqycyh@mail.usts.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415627&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415632&type= 22.01332855 32.00399780 吴泉英 （1965-），女，江苏苏州人，教授，2006年于苏州大学获得博士学位，主要从事光学仪器设计、加工与检测方面的研究。E-mail： wqycyh@mail.usts.edu.cn wqycyh@mail.usts.edu.cn 1 1 2 3 苏州科技大学 物理科学与技术学院，江苏 苏州 215009 苏州科技大学 物理科学与技术学院，江苏 苏州 215009 School of Physical Science and Technology， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou 215009， China School of Physical Science and Technology， Suzhou University of Science and Technology， Suzhou 215009， China 江苏省研究生工作站 苏州苏大明世光学股份有限公司，江苏 苏州 215028 江苏省研究生工作站 苏州苏大明世光学股份有限公司，江苏 苏州 215028 Graduate Practice Station in Soochow Mason Optics Co.， Ltd.， Suzhou 215028， China Graduate Practice Station in Soochow Mason Optics Co.， Ltd.， Suzhou 215028， China 江苏省研究生工作站 苏州德创测控科技有限公司，江苏 苏州 215009 江苏省研究生工作站 苏州德创测控科技有限公司，江苏 苏州 215009 Graduate Practice Station in Dechuang Measurement & Control Technology Co.， Ltd.， Suzhou 215009， China Graduate Practice Station in Dechuang Measurement & Control Technology Co.， Ltd.， Suzhou 215009， China 为了改进自由曲面刀具路径规划中刀具圆弧 Z 向补偿的计算方法，降低车床克服 X 轴惯性带来的跟踪误差，提高切削速度和效率，基于超精密车削下的慢刀伺服技术提出一种差值迭代法。以理想刀位点极径和由给定刀触点计算出的实际刀位点极径作差值运算，判断差值是否小于车床导轨分辨率，若低于分辨率，则输出刀位点；若超过，将差值补偿给初始刀触点重新计算补偿刀位点，再与理想极径作差值，此为一次迭代，通过多次迭代，即可完成最终刀位点输出。通过实验分析证明：三次迭代后的刀位点极径即可满足阿基米德螺线渐变，车床 X 轴稳定进给，同时对 Z 轴的补偿量较少，加工精度达PV0.226 λ @632.8 nm。该差值迭代法无需复杂的方程组求解和曲面拟合，可操作性好，加工精度和效率高。 This paper proposes a difference iteration method based on slow tool servo technology to accurately determine the Z -direction of the tool arc as well as the compensation in planning the free-form surface tool path. Further， the proposed approach aims to reduce the tracking error caused by the inertia of the X -axis and hence improve the cutting efficiency. First， the polar diameter of the ideal tool point is compared with that of the actual tool point， which is calculated from the given tool contact， to determine whether the difference is less than the resolution of the lathe guide rail. If the difference is smaller， the tool point is adopted. However， if the resolution is exceeded， the difference value is compensated into the initial tool contact， the compensated tool position is recalculated， and the resulting polar diameter is then compared with the ideal polar diameter. This is an iteration， and the final tool position can be established through multiple iterations. The experimental analysis proves that the polar diameter and position of the tool point can meet the gradient of the Archimedean spiral after three iterations， after which the X -axis of the lathe is fed stably， the Z -axis compensation is smaller， and the final machining accuracy is up to PV0.226 λ @632.8 nm. The difference iterative method does not require complex equations and surface fitting， making it simple， accurate， and efficient. 光学加工 自由曲面 稳定 X 轴 Z 向补偿 差值迭代 optical fabrication free-form surface stabilize X -axis Z -direction compensation difference iteration 1 引　言 1 随着现代光学技术的迅猛发展，自由曲面光学元件凭借其较高的优化自由度和像差校正能力在照明系统、光束整形及虚拟现实等领域有着广泛的应用，是先进光学系统朝着轻量化、小型化和高性能方向发展的组成部分之一 ［ 1 1 - 3 3 1-3 ］ 。自由曲面加工通常可以借助由直线进给轴—— X 轴和 Z 轴，加上一个回转主轴 C 轴组成的单点金刚石车床慢刀伺服车削实现。但由于加工时车床的跟踪误差大、刀具路径规划方法不完善等问题，其光学面形难以达到很高的精度，特别是面形曲率变化较大的自由曲面，表现更为明显。因此，如何减小加工误差、合理规划刀具路径是实现高精度自由曲面制造的必然要求 ［ 4 4 ］ 。 目前，在刀具路径规划中刀具圆弧半径补偿是其重要组成部分。该补偿方式一般分为两种，一是基于面法线方向，即 XZ 方向的补偿 ［ 5 5 ］ 。对于给定的刀触点，计算该点位的法向量，结合刀具圆弧半径可以很方便得出补偿刀位点，这也是大部分编程软件输出刀具路径所采用的主流方法。但是对非旋转对称的自由曲面而言， X 方向的补偿量会随着曲面上给定刀触点的曲率变化增大或减小，导致在同一回转周期内，作为车床承重轴的 X 轴往复多次，跟踪误差较大，尤其是曲率变化较大的面形，误差可达几十纳米。为了稳定 X 轴，减小误差，人们提出第二种刀具圆弧半径补偿方式，即 Z 方向补偿 ［ 6 6 ］ 。该补偿方式的核心思想是不补偿 X 方向，将补偿量全部集中在 Z 方向，这样就能解决 X 轴往复运动问题。但该补偿算法较为复杂，一是需要计算出刀触面的等距面，在等距面上直接做刀具路径，而等距面是由刀触点通过面法线补偿后的离散刀位点构成，在做刀具路径前还需将离散点拟合成曲面方程才可保证 X 方向不变，增大误差的同时还增加了计算量；二是通过几何方程组，根据给定刀触点、面法线、切线方程和刀具圆弧半径等已知条件直接求解未知刀位点的 Z 向坐标，但此方法只能求得近似解，且存在一定的曲线拟合，若面型复杂多变，反而增加解方程的难度，实施较为困难 ［ 7 7 ］ 。 为了改进刀具路径规划中刀具圆弧 Z 向补偿的计算方法，降低车床克服惯性带来的跟踪误差，提高切削速度和效率，本文结合 XZ 方向补偿方式提出一种差值快速迭代法。以设定的理想刀位点极径和由初始刀触点计算出的补偿刀位点极径作差值，判断差值是否小于车床导轨分辨率，若低于此分辨率，则输出刀位点；若超过，将差值补偿给初始刀触点重新计算补偿刀位点，再与理想极径作差值，此为一次迭代，通过多次迭代，即可完成最终刀位点输出。 2 模型建立 1 以超环面为例，在笛卡尔 x-y-z 坐标系中，超环面方程为： <math display="block" id="M1"><mtable><mtr><mtd><mi>Z</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mroot><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mroot><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><msubsup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>,</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mo>≤</mo><mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>D</mi></mrow><mo>/</mo><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415646&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415641&type= 67.30999756 23.11400032 其中： c 1 = 1/ R 1 ， c 2 = 1/ R 2 ， R 1 和 R 2 是超环面子午和弧矢方向上的顶点曲率半径， k 1 和 k 2 是圆锥系数， D 是待加工面的直径。定义 <math id="M2"><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415658&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415653&type= 16.67933464 3.64066648 和 <math id="M3"><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415666&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415663&type= 15.83266735 3.72533321 ，即可将（ x，y，z ）坐标转为柱面坐标 <math id="M4"><mo stretchy="false">(</mo><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mi>Z</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415675&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415670&type= 13.20800018 3.89466691 。其中， ρ 是面上点在 xy 平面上的投影与原点的极径， θ 是极角， Z 是曲面矢高。 <math id="M5"><mi>ρ</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>,</mo><mi>Z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415684&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415679&type= 9.65200043 3.64066648 还分别是单点金刚石车床 X 轴的行程坐标，主轴 C 的回转角度和刀具 Z 轴的行程坐标 ［ 8 8 ］ 。 当 c 1 和 c 2 等参数不同时，曲面失去旋转对称性， 图1 图1 （a）是非旋转对称的超环面。其中，刀触线定义为在极角 θ 时刀具所在平面与曲面的交线。在规划完整刀具路径前需要对刀触线上的刀触点作刀具圆弧半径补偿，如 图1 图1 （b）是 XZ 方向补偿示意图， r 是刀具圆弧半径， <math id="M6"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415693&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415688&type= 4.48733330 4.57200003 是刀触点极径， <math id="M7"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415712&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415709&type= 5.41866684 4.57200003 是补偿后的刀位点极径。由于超环面上各点的曲率呈周期性变化，同一路径圈中的不同极角 θ 1 ， θ 2 和 θ 3 下，补偿后的极径 <math id="M8"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415712&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415709&type= 5.41866684 4.57200003 出现类似正弦波动的现象，如 图1 图1 （c）所示。因此， X 轴在一个加工周期过程中往复多次，车床为了克服惯性造成大的跟踪误差，且这种波动振幅会随着 c 1 和 c 2 的差异增大而增加，不利于曲面的高精度加工 ［ 9 9 ］ 。 为了稳定 X 轴，采用刀具圆弧的 Z 向补偿方式，将补偿量全部集中在响应频率高、惯性较小的 Z 轴上。如 图2 图2 所示，以给定曲面上刀触点 P 作为刀具圆弧的中心，刀具圆弧沿着 P 点的 Z 方向移动 <math id="M9"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415744&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415740&type= 4.82600021 2.79399991 的矢高距离，并与刀触线相切，此时新的刀位点 P mk 则是理想刀位点，距离 <math id="M10"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415744&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415740&type= 4.82600021 2.79399991 是补偿值，其大小与刀具圆弧半径和刀触点处的曲率相关。从图中可看出，补偿后的刀具圆弧（虚线）刀位点 P mk 的极径与给定刀触点 P 的极径一致，而刀触点极径则是参照阿基米德螺线采样得到的，用这种方式即可解决车床 X 轴往复波动的问题。但距离 <math id="M11"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>Z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415753&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415748&type= 4.82600021 2.79399991 是未知量，想要通过方程组精确计算出该值实属不易，若曲面面形更加复杂，还需要曲线拟合，只能求得近似解，又会造成精度误差，实施较为困难。 为了精确获得刀具 Z 向补偿方式的理想刀位点，并兼顾效率和可操作性，拟定一种差值快速迭代法。此迭代算法的实现分为如下三步： 步骤一，依照阿基米德螺旋线，先设定第 m 路径圈的各个理想刀位点 P mk 的极径为： <math display="block" id="M12"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></mfrac><mo>·</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mo>,</mo><mi>N</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415776&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415772&type= 28.70199966 13.80066681 ， 其中 N =2π/Δ θ ，Δ θ 是等角度采样间隔，Δ l 是相邻路径圈步长。从 式（2） 式（2） 可知，第 m 路径圈上的极径 ρ mk 以 k 为系数线性递减，将 N +1个极径写成矩阵形式： ρ mk = ［ ρ m ， ρ m 1 ， ρ m 2 ，…， ρ mk ］. 虽已给定理想刀位点 P mk 的极径，但其完整的柱面坐标无法算出，原因是矢高 Z mk 是个未知量。 参照理想极径组 ρ mk ，先暂定第 m 路径圈的刀触点 P 的极径为： ρ = ［ ρ 0 ， ρ 1 ， ρ 2 ，…， ρ k ］. 未迭代前可令极径矩阵 ρ=ρ mk ，即两矩阵中各个元素相等。由于刀触点 P 是曲面上的点，其具体点位通过 式（1） 式（1） 计算得出。 步骤二，根据已知刀触点 P ，曲面方程 Z （ x ， y ）及刀具圆弧半径 r ，按面法线方式（ XZ 方向）作刀具圆弧半径补偿得到补偿后的刀位点 P c ，如 图2 图2 所示。 <math display="block" id="M13"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415785&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415780&type= 26.24666595 10.07533360 ， <math display="block" id="M14"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">n</mi><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">n</mi><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415793&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415788&type= 28.27866554 4.48733330 ， 其中： <math id="M15"><mi mathvariant="bold-italic">n</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>Z</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>y</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415803&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415799&type= 34.12067032 9.90600014 ，为刀触点 P 的面法向量，各个分量可由 式（1） 式（1） 偏微分求解； <math id="M16"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>θ</mi><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415813&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415808&type= 32.85066605 4.48733330 ，是 C 轴转动 <math id="M17"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415820&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415817&type= 1.77800000 2.79399991 角时刀具所在平面的面法向量； φ 是 <math id="M18"><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415829&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415825&type= 2.11666679 2.79399991 与 <math id="M19"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">n</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415837&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415834&type= 2.87866688 3.72533321 的夹角 ［ 10 10 ］ 。 此时刀位点 P c 的极径为： ρ c = ［ ρ c0 ， ρ c1 ， ρ c2 ， <math display="block" id="M20"><mo>⋯</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415845&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415841&type= 3.97933316 2.79399991 ， ρ ck ］. 步骤三， 图3 图3 （b）将理想极径 ρ mk 与补偿后的刀位点极径 ρ c 作差值运算： Δ ρ = ρ mk - ρ c =［Δ ρ 0 ，Δ ρ 1 ，Δ ρ 2 ， <math display="block" id="M21"><mo>⋯</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415855&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=25415852&type= 3.97933316 2.79399991 ，Δ ρ k ］. 判断Δ ρ 中的最大值是否小于车床 X 轴的导轨分辨率： Max（Δ ρ ） < 10 - 6 mm. 条件满足，则输出此时的刀位点，理想刀位点的 Z mk 即等于此时刀位点的 Z c ，刀具路径规划完成。 若不满足，则令： ρ ′= ρ + Δ ρ . 将差值Δ ρ 补偿给步骤一设定的刀触极径 ρ ，生成新的刀触极径 ρ ′，并返回步骤二中重新完成上述流程，此为迭代一次，多次迭代计算后即可得到理想刀位点。具体流程如 图4 图4 所示。 从 图4 图4 可以看出，最终输出的刀位点 P c 实质就是理想刀位点 P mk ，而在此运算期间涉及到的最复杂公式为刀具圆弧半径常规面法线（ XZ ）方式补偿，避免了烦琐方程组求解和曲面拟合，提高精度的同时，可操作性好。该方法的迭代次数与曲面面形和初始选择的刀触点极径大小相关，经验得知即使更为复杂多变的高阶自由曲面，迭代次数也在5次以内。 若给定超环面如 表1 表1 中的各项参数，由此分析迭代前后该曲面的刀具路径趋势。 图5 图5 （a）中曲线显示的是不同迭代次数下， C 轴回转角 θ 与刀位点极径 ρ 之间的关系。未迭代前的初始刀位点极径呈周期性波动，在 C 轴回转90°和180°时极径 ρ 分别达到最大值24.164 mm和最小值23.955 mm，幅度波动差值约为0.2 mm，第一次迭代后此波动差值降至0.03 mm。第二次迭代后波动差值为0.94×10 - 6 mm，已达到 X 轴导轨分辨率极限，满足要求。 图5 图5 （b）是不同迭代次数下， C 轴回转角 θ 与刀位点 Z 向矢高之间的关系。同样地，未迭代前的刀位点矢高 Z 在回转90°和180°时分别达到最小值和最大值，而每次的迭代计算都是对当前刀位点矢高 Z 的一次补偿。例如在 C 轴回转180°时，初始矢高 Z 值为6.624 mm，迭代一次后6.811 mm，补偿0.187 mm；第二次迭代后为6.794 mm，补偿 - 0.017 mm。因此未迭代前和两次迭代后， Z 值的总补偿量为0.17 mm，对响应频率高、惯性小的刀具 Z 轴影响很小。 Para c 1 / mm -1 c 2 / mm -1 k 1 k 2 D/ mm Value 0.02 0.01 -1 -1 50 1,2; 图6 图6 分析了车床在采用不同迭代次数下的刀具路径时， X 轴、 Z 轴与 C 轴联动时的加速度曲线。由 图6 图6 （a）可知，迭代前的 X 轴加速度呈周期性波动，最大值是0.8×10 - 3 mm /θ 2 ，两次迭代后加速度降至0，表明 X 轴在加工过程中以固定速度平稳进给。 图6 图6 （b）显示，迭代前后的 Z 轴切削加速度曲线变化不明显，在峰值处由1.78×10 - 3 mm /θ 2 增加至1.82×10 - 3 mm /θ 2 ，变化量仅为0.04×10 - 3 mm /θ 2 。因此为了稳定惯性大的 X 轴，将补偿量集中到惯性较小的 Z 轴是可行的。 1,2; 3 实　验 1 为了验证该迭代补偿方式的精度，考虑到超环面检测不易，实验选用面形都为球面的双子镜做试刀对象。如 图7 图7 所示，单个子镜的口径是25 mm，曲率半径是50 mm。在刀具路径规划时，由于双子镜之间区域存在平面过渡区，为了减少计算量，可先迭代出子镜曲面上的刀位点，再以边缘刀位点的 Z 向矢高为基准直线插补出平面过渡区刀位点即可 ［ 11 11 ］ 。本次加工实验的超精密车床为美国Moore 250UPL，加工时的切削参数如 表2 表2 所示，待加工口径 D= 76 mm，单晶刀具曲率半径 r =0.4 mm，其波纹度受控于100 nm，相邻路径间隔Δ l= 6 μm，采用等角度离散加工，角度采样间隔Δ θ= 0.4°，切削深度Δ s =2.5 μm，加工转速 R =120 circle/min。 Para r / mm D / mm Δ l / μm Δ θ/ （°） Δ s/ μm R/ （circle·min -1 ） Value 0.4 76 6 0.4 2.5 120 图8 图8 是车床 X 轴在刀具圆弧 XZ 补偿和 Z 向补偿方式下的跟踪误差，所获数据由车床内部给出。从 图8 图8 可以看出，若采用 XZ 方向补偿方式加工反射镜，在一个回转周期内， X 轴的跟踪误差最大值在±15 nm，若此误差累积至车削完成，将对整个面形造成一定的损伤；而采用 Z 向补偿时 X 轴的跟踪误差降至±4 nm左右，且误差曲线无较大波动，由此可见 X 轴已稳定进给。 图9 图9 是切削示意图，双子镜位于回转主轴 C 轴整体安置于 X 轴，以极角 θ 顺时针回转，同时 X 轴沿着 X 方向以极径 ρ 大小进给， Z 轴带动单晶刀具沿着 Z 方向以矢高 Z 进给。 图10 图10 是Zygo干涉仪检测结果。对于左侧球面子镜其PV值达到0.226 λ @632.8 nm，此精度完全满足大部分民用光学系统的成像要求，右侧子镜的精度与左侧差距不大。在实际加工过程中，由于 X 轴平稳运行，还可在 Z 轴最大响应频率内提高加工时的转速，最大可能提升切削效率。在波面图中还存在导致曲面光洁度降低的刀纹，如 图10 图10 的中心区域，这是由圆弧刀具加工时的残留误差或者相对切削速度不高引起的，这些都是慢刀伺服模式下普遍存在的问题。 4 结　论 1 本文提出的自由曲面刀具圆弧 Z 向补偿的差值快速迭代法，以理想刀位点极径和实际刀位点极径的差值为目标，通过多次迭代运算后即可输出精度极高的刀具路径。从初始模型分析到最后实验，其优点可总结为：（1）基于传统的 XZ 法线方式补偿，精度损失小；（2）无复杂方程组求解和曲面拟合，可操作性好。实验表明，该方法的加工精度可达0.226 λ @632.8 nm，满足大部分成像光学系统，且由于 X 轴进给稳定，还可适当提高加工转速，提升效率，为任意轨迹的刀具刀位点路径规划提供了新的优化方案。 参考文献 ELLIOTT ， ERIN ， NORTON ， et al . Freeform Optics Design： Optical design challenges in virtual and augmented reality ［J］. Laser Focus World： The Magazine for the Photonics & Optoelectronics Industry ， 2018 ， 54 （ 4 ）： 45 - 48 . Freeform Optics Design： Optical design challenges in virtual and augmented reality 叶井飞 ， 徐凯迪 ， 杨明珠 ， 等 . 基于自由曲面的离轴两反头戴显示光学系统设计 ［J］. 光学学报 ， 2018 ， 38 （ 7 ）： 281 - 288 . doi: 10.3788/aos201838.0722003 http://dx.doi.org/10.3788/aos201838.0722003 基于自由曲面的离轴两反头戴显示光学系统设计 YE J F ， XU K D ， YANG M ZH ， et al . Design of off-axis head-mounted display optical system based on two reflective optical free-form surfaces ［J］. Acta Optica Sinica ， 2018 ， 38 （ 7 ）： 281 - 288 . （in Chinese） . doi: 10.3788/aos201838.0722003 http://dx.doi.org/10.3788/aos201838.0722003 Design of off-axis head-mounted display optical system based on two reflective optical free-form surfaces BENÍTEZ P ， MIÑANO J C ， GRABOVICKIC D ， et al . Freeform optics for virtual reality applications ［C］. International Optical Design Conference ， 2017 ： ITu2A.1 . doi: 10.1364/iodc.2017.itu2a.1 http://dx.doi.org/10.1364/iodc.2017.itu2a.1 Freeform optics for virtual reality applications FANG F Z ， ZHANG X D ， WECKENMANN A ， et al . Manufacturing and measurement of freeform optics ［J］. CIRP Annals ， 2013 ， 62 （ 2 ）： 823 - 846 . doi: 10.1016/j.cirp.2013.05.003 http://dx.doi.org/10.1016/j.cirp.2013.05.003 Manufacturing and measurement of freeform optics 吴庆玲 . 光学自由曲面快速刀具伺服车削误差的补偿 ［J］. 光学 精密工程 ， 2015 ， 23 （ 9 ）： 2620 - 2626 . doi: 10.3788/ope.20152309.2620 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20152309.2620 光学自由曲面快速刀具伺服车削误差的补偿 WU Q L . Error compensation of optical freeform surfaces in fast tool servo diamond turning ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2015 ， 23 （ 9 ）： 2620 - 2626 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20152309.2620 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20152309.2620 Error compensation of optical freeform surfaces in fast tool servo diamond turning 关朝亮 ， 戴一帆 ， 尹自强 . 自由曲面光学元件的慢刀伺服车削加工技术 ［J］. 激光与光电子学进展 ， 2010 ， 47 （ 2 ）： 022202 . doi: 10.3788/lop47.022202 http://dx.doi.org/10.3788/lop47.022202 自由曲面光学元件的慢刀伺服车削加工技术 GUAN CH L ， DAI Y F ， YIN Z Q . Freeform surface optical components machining by slow tool servo diamond turning ［J］. Laser & Optoelectronics Progress ， 2010 ， 47 （ 2 ）： 022202 . （in Chinese） . doi: 10.3788/lop47.022202 http://dx.doi.org/10.3788/lop47.022202 Freeform surface optical components machining by slow tool servo diamond turning WANG D F ， SUI Y X ， YANG H J ， et al . Adaptive spiral tool path generation for diamond turning of large aperture freeform optics ［J］. Materials ， 2019 ， 12 （ 5 ）： 810 . doi: 10.3390/ma12050810 http://dx.doi.org/10.3390/ma12050810 Adaptive spiral tool path generation for diamond turning of large aperture freeform optics 赵亮 ， 程凯 ， 丁辉 ， 等 . 超精密慢刀伺服金刚石车削加工的关键工艺问题研究 ［J］. 制造技术与机床 ， 2020 （ 5 ）： 85 - 88 . 超精密慢刀伺服金刚石车削加工的关键工艺问题研究 ZHAO L ， CHENG K ， DING H ， et al . Investigation on key enabling process variables ultraprecision diamond turning using slow tool servo ［J］. Manufacturing Technology & Machine Tool ， 2020 （ 5 ）： 85 - 88 . （in Chinese） Investigation on key enabling process variables ultraprecision diamond turning using slow tool servo 徐领娣 ， 房安利 ， 于建海 ， 等 . 微晶材质自由曲面反射镜精密超声铣磨加工技术 ［J］. 光学 精密工程 ， 2019 ， 27 （ 12 ）： 2564 - 2570 . doi: 10.3788/ope.20192712.2564 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192712.2564 微晶材质自由曲面反射镜精密超声铣磨加工技术 XU L D ， FANG A L ， YU J H ， et al . Ultrasonic-vibration assisted grinding of a zerodour freeform optical mirror ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2019 ， 27 （ 12 ）： 2564 - 2570 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20192712.2564 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192712.2564 Ultrasonic-vibration assisted grinding of a zerodour freeform optical mirror ZHANG X D ， FANG F Z ， WU Q Q ， et al . Coordinate transformation machining of off-axis aspheric mirrors ［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology ， 2013 ， 67 （ 9/10/11/12 ）： 2217 - 2224 . doi: 10.1007/s00170-012-4642-x http://dx.doi.org/10.1007/s00170-012-4642-x Coordinate transformation machining of off-axis aspheric mirrors LI Z X ， FANG F Z ， CHEN J J ， et al . Machining approach of freeform optics on infrared materials via ultra-precision turning ［J］. Optics Express ， 2017 ， 25 （ 3 ）： 2051 - 2062 . doi: 10.1364/oe.25.002051 http://dx.doi.org/10.1364/oe.25.002051 Machining approach of freeform optics on infrared materials via ultra-precision turning 10.37188/OPE.20223005.0594 O439 A 1004-924X（2022）05-0594-08 陈宝华,吴泉英,唐运海等.稳定 X 轴的刀具圆弧 Z 向补偿差值迭代法[J].光学精密工程,2022,30(05):594-601. 陈宝华,吴泉英,唐运海等.稳定X轴的刀具圆弧Z向补偿差值迭代法[J].光学精密工程,2022,30(05):594-601. CHEN Baohua,WU Quanying,TANG Yunhai,et al.Difference iteration method of tool arc Z -direction compensation for stabilizing X -axis[J].Optics and Precision Engineering,2022,30(05):594-601. CHEN Baohua,WU Quanying,TANG Yunhai,et al.Difference iteration method of tool arc Z-direction compensation for stabilizing X-axis[J].Optics and Precision Engineering,2022,30(05):594-601. 国家自然科学基金资助项目（No.61875145，No.11804243）；江苏省十三五重点学科项目资助（No.20168765）；苏州市重点实验室资助项目（No.SZS201202，No.SZS201611，No.SZS201712）；江苏省高等学校自然科学研究重大项目（No.18KJA470004）；苏州市科技计划项目（No.SYG202013） 2021-05-31 2021-07-30 2022-03-10 2022-03-25 光学精密工程 5 30