Interferometric coherence imaging aberration due to non-rotationally symmetric secondary wavefront degradation

非回转对称次波前退化下的干涉相干成像像差 Interferometric coherence imaging aberration due to non-rotationally symmetric secondary wavefront degradation 1 2 first-author 吕思达（1996-），男，吉林通化人，硕士研究生，2019年于长春理工大学获得学士学位，主要从事光学检测方面的研究。E-mail：lvsd9612@163.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965925&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965929&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965927&type= 22.01332855 32.00399780 吕思达 （1996-），男，吉林通化人，硕士研究生，2019年于长春理工大学获得学士学位，主要从事光学检测方面的研究。E-mail： lvsd9612@163.com lvsd9612@163.com 1 2 1 corresp E-mail： hhx@ciomp.ac.cn E-mail： hhx@ciomp.ac.cn 胡海翔（1990-），男，安徽淮南人，博士，副研究员，硕士生导师，主要从事先进光学系统制造前沿技术的研究工作。E-mail： hhx@ciomp.ac.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965934&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965932&type= 22.01332855 32.00399780 胡海翔 （1990-），男，安徽淮南人，博士，副研究员，硕士生导师，主要从事先进光学系统制造前沿技术的研究工作。E-mail： hhx@ciomp.ac.cn hhx@ciomp.ac.cn 1 corresp xuedl@ciomp.ac.cn xuedl@ciomp.ac.cn 薛栋林（1979-），男，江苏靖江人，研究员，博士生导师，主要从事光学检测和空间光学系统设计等方面的研究。E-mail：xuedl@ciomp.ac.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965936&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965941&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965938&type= 22.01333618 32.00400162 薛栋林 （1979-），男，江苏靖江人，研究员，博士生导师，主要从事光学检测和空间光学系统设计等方面的研究。E-mail： xuedl@ciomp.ac.cn xuedl@ciomp.ac.cn 1 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所 中国科学院光学系统先进制造技术重点实验室，吉林 长春 130033 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所 中国科学院光学系统先进制造技术重点实验室，吉林 长春 130033 Key Laboratory of Optical System Advanced Manufacturing Technology， Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， Chinese Academy of Sciences， Changchun 130033， China Key Laboratory of Optical System Advanced Manufacturing Technology， Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， Chinese Academy of Sciences， Changchun 130033， China 中国科学院大学，北京 100049 中国科学院大学，北京 100049 University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China 干涉补偿检测系统中检测波前在补偿光路传播中发生退化，不可避免地引入了干涉相干成像像差，使得仪器的传递函数在高频段急剧下降，严重限制了检测精度。建立了一种干涉相干成像像差模型来揭示波前空间频率信息受干涉相干成像像差影响的退化机制，提出了非回转对称波前传播理论来阐述非回转对称波前的演化机理。然后，结合细光束追迹与波前演化的混合分析方法建立了干涉相干成像像差的数学模型，实现了次波前非回转对称传播条件下调频函数的数值化，进一步建立离焦量与波前分布的函数关系。最后，利用干涉补偿检测系统完成模型的实验验证。实验结果表明，实际值与预计值的残差结果均小于0.05 waves，模型的对称平均绝对百分比误差（SMAPE）为8.26%，平均相对误差（MRE）为3.35%，相比亚利桑那大学提出的基于Talbot效应与菲涅尔衍射分析得到的理论模型有更好的契合度。由此验证了该模型的准确性与预测性，该模型对于提高干涉补偿检测的检测精度有重要意义。 The degradation of the detected wavefront during the propagation of the compensation optical path in the interferometric compensation detection system inevitably introduces interferometric coherent imaging aberration， causing the instrument transfer function to degrade sharply in the high frequency band and severely limiting the detection accuracy of interferometric compensation detection. In this study， an interferometric coherence imaging aberration model is developed to reveal the degradation mechanism of wavefront spatial frequency information caused by interferometric coherence imaging aberration. First， a non-rotationally symmetric wavefront propagation theory is proposed to describe the evolution mechanism of the non-rotationally symmetric wavefront. Second， the mathematical model of interferometric coherent imaging aberration is established by combining the hybrid analysis method of fine beam tracing and wavefront evolution， and the numerical value of the FM function under the condition of non-rotationally symmetric secondary wavefront propagation is realized to further establish the function relationship between the out-of-focus amount and wavefront distribution. Finally， the experimental verification of the model is completed using the interference compensation detection system. The experimental results show that the residuals of the actual and expected values are less than 0.05 waves， the symmetric mean absolute percentage error （SMAPE） of the model is 8.26%， and the mean relative error （MRE） is 3.35%； therefore， the proposed model has a better fit than the theoretical one based on Talbot effect and Fresnel diffraction analysis proposed by the University of Arizona. The accuracy and predictability of the proposed model， which is important for improving the detection accuracy of interference compensation detection， are verified. 光学检测 干涉补偿检测 次波前退化 干涉相干成像像差 optical test interferometric compensation detection subwavefront degradation interferometric coherent imaging aberration 1 引 言 1 近年来，随着大口径光学元件需求的不断增大，大口径光学元件精度指标的要求越来越高，传统的加工与检测手段难以应对复杂的大口径自由曲面。干涉检测具有精度高、非接触测量等优点，广泛应用于大口径反射镜的检测，在实际的工程中具有重要的应用价值 ［ 1 1 - 2 2 1-2 ］ 。 按照补偿器的类型，干涉补偿检测可分为折射式、反射式和衍射式补偿法。其原理都是利用补偿元件对相位进行定量补偿，在提高检测精度 ［ 3 3 - 5 5 3-5 ］ 的同时，又可以对各种复杂面形进行高精度检测。例如，非回转对称表面进行干涉补偿检测时，需要设计出对应的计算机生成全息图（Computer Generated Hologram， CGH），入射波前经过CGH补偿后，得到非回转对称波前，实现了对非回转对称表面的高精度零位补偿检测。然而，CGH在补偿波前相位的同时，却引入了干涉相干成像像差，检测结果会受到影响，这种像差并不是由于制造精度产生的，而是因为补偿器存在衍射效应。尤其在大口径长焦距的光学元件检测中，成像像差与面形误差相互耦合，不能准确反馈原有的面形信息。而这种问题在小口径反射镜中影响较小，一般情况下其像差的影响域会通过焦深与景深来补偿。随着被检光学元件口径的增长，其检测光路越来越长。衍射效应带来的误差已经无法通过检测系统的景深与焦深来弥补，检测精度下降，严重影响整个检测系统中仪器的传递函数。传统干涉检验的误差分析仅考虑干涉和外界条件的情况 ［ 6 6 - 8 8 6-8 ］ ，往往忽略了衍射效应带来的成像像差，所以这种误差的影响还未有较为完善的理论分析。 研究发现 ［ 9 9 - 10 10 9-10 ］ ，干涉检测中衍射效应产生的误差主要表现为波前退化产生的像差，其主要表现为引入补偿器的同时，引入了成像像差，使得最终检测结果中所呈现的干涉条纹图案出现定位误差、相位模糊和振荡。Zhao等利用Talbot效应在一维情况下解释了成像像差产生振荡的原因，但这种方法只能进行定性分析，无法进行定量分析 ［ 9 9 - 11 11 9-11 ］ 。 本文从标量衍射理论出发，建立了非回转对称的次波前传播理论，并结合点源微扰的思想，基于微分几何原理建立了干涉相干成像像差模型 ［ 12 12 ］ ，定量分析干涉相干成像像差对于检测结果的影响，为提高检测精度提供了新的思路。 2 非回转对称的次波前传播理论 1 2.1　次波前退化的理论推导 2 次波前退化引起的干涉成像像差会使得检测结果出现偏差。 图1 图1 所示为一个2 m口径非球面的干涉补偿检测结果，其中像差具体表现为当对一个方向上对焦时，其他方向上呈现模糊的状态，即无法找到一个成像位置能获得全口径的理想成像。 由菲涅尔-惠更斯理论可知，波前传递可以理解为波前上的每一点都为一个小的点光源发散出球面波，此后的波前可以看作这些点光源发出球面波的“包络“形成的。因此，每个波前可以看作是次波前上每一点干涉叠加的结果。由标量衍射的角谱理论可知，在自由空间传播的传递函数如下： ［ 13 13 ］ <math display="block" id="M1"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>z</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>λ</mi><mi>z</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">e</mi><mi 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是标量衍射理论中描述球面波的波前传递情况。当引入CGH补偿器之后，球面波虽然相位信息得到了补偿，但却引入了成像像差。这个像差主要表现为沿着CGH表面的径向与轴向产生了场曲，使得通过CGH的光束在成像空间上汇聚在了子午与弧矢两个焦点上。所以，针对非球面波传播上述的传递函数并不能描述其波前的传播情况，为了定量分析其波前传播情况，采用点源微扰的思想进行分析。由于常见的非球面分布都满足二阶连续可微的曲面，取其传播波前上的微元点进行分析，基于微分几何的原理，波前上任意一点的曲率可以看作两个正交曲率方向的矢量组合而成。而不同的曲率会导致其在光轴上的成像位置不同，这就不同于几何光学的假设前提，这里认为光线不仅仅只是一条理想的线，而是由一个点光源产生的一个很小角度锥体的光束。那么子午与弧矢两个方向的曲率在两方向上的光焦度不同，那么波前在成像面的光轴上出现两个焦点，即子午与弧矢方向的焦点，利用两焦点与像面位置之差（子午与弧矢方向上的离焦量）来构建其传递函数表达式，进而可以定量分析次波前的退化过程，如 图2 图2 所示。 基于标量衍射理论，对球面波传递函数的角谱表达式进行菲涅尔近似处理后，得到： <math display="block" id="M2"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>ξ</mi><mo>,</mo><mi>η</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn 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stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mfrac><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>i</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>λ</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><msup><mrow><mi>η</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965971&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965968&type= 58.67399979 7.45066643 ， 其中 z t0 ， z s0 为子午与弧矢焦点所在的位置。利用Mathematica对 式（3） 式（3） 进行傅里叶逆变换，得到传递函数的空域表达式： <math display="block" id="M4"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mn 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mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965989&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965986&type= 10.07533360 3.72533321 设为子午与弧矢的离焦量 <math id="M7"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965995&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965992&type= 7.02733374 4.14866638 。引入子午与弧矢方向的离焦量后非回转对称的传递函数表达式如下： <math display="block" id="M8"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mo 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所示。观察其结果发现，仿真后所得到的调频函数的相位在边缘处的振荡十分剧烈，这就会导致最终像平面内存在过多的无效高频信息，而由于狄拉克采样，其振幅为常数，无法通过振幅的分布来截取其无效的高频部分，与实际情况不相符。 3.2　调频函数的数值化 2 为了抑制相位振荡的影响，采用改变卷积核的采样方式。由于高斯函数可以看作狄拉克函数的展宽，在保留其有效信息的同时，可以使其卷积核的振幅收敛，从而更好地解决其相位振荡的问题。所以，利用高斯采样的形式对卷积核进行数值化处理，如下： <math display="block" id="M9"><mi>F</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mo>,</mo><mi>v</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>∬</mo><mi>G</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">*</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>u</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>v</mi><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn 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为了提高计算的精确度，在考虑卷积核采样的同时，利用离散形式的高斯积分采样来代替原有的调频函数的表达式，即利用区域积分形式代替离散点采样形式，从而在保证计算精度的同时保证了计算速度。在新卷积核表达式的推导过程中，用误差函数代替积分取值的结果，进而在减小运算时间的同时保证计算精度。推导后得到其卷积核的最终表达式： <math display="block" id="M11"><mtable><mtr><mtd><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∬</mo><mrow><mi>Ω</mi></mrow><mrow/></munderover></mstyle><mrow><mi>K</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mi>E</mi><mi>r</mi><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mroot><mrow><mfrac><mrow><mi>j</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi 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mm，主区域半径为70 mm，厚度为7 mm，其特征尺寸为15.2 <math id="M16"><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32966122&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32966118&type= 4.99533367 3.64066648 ，焦距为420 mm。在靠经柱面镜处放置一个十字光阑（用于观察其子午与弧矢方向的分布）。其工作原理与实际光路如 图10 图10 所示。 通过几何光学的光线追迹，算得子午与弧矢方向相对于干涉仪焦面的离焦量分别为 z t =5 mm， z s = - 1.4 mm，调节干涉仪的焦距，来模拟两个方向不同对焦的情况，基于干涉相干成像像差模型的仿真结果如 图11 图11 所示。 对不同位置进行检测，实验结果如 图12 图12 所示，并进一步分析得到它在子午与弧矢方向上的分布情况。 1;2; 将实验结果与仿真结果进行对比，由于背景噪声等原因，获得的面形有一定的差异，选取实验结果的一部分作为验证结果。如 图13 图13 所示，实测结果与模型的残差分布，其残差结果均小于0.05waves。通过计算模型结果与实测结果的均方误差可得，其MSE为0.001 1waves 2 ，通过计算其对称平均绝对百分比误差（SMAPE）的值为8.26%，平均相对误差（MRE）为3.35%，由此说明该模型可以预测像差的影响情况。 1;2; 对比基于Talbot效应与菲涅尔衍射积分分析方法得到的理论结果 ［ 7 7 ］ （ 图14 图14 ），通过计算求得理论值与实际检测值之间的对称平均绝对百分比误差（SMAPE）为10.23%，平均相对误差（MRE）为15.2%。显然，本文提出的模型的契合度更高，由此也验证了模型的正确性与准确性。模型的建立也从理论上分析出干涉相干成像像差的形成原因。那么对应干涉相干成像像差的解耦只需要对上述模型进行逆运算即可反解出真实的面形信息，也为干涉相干成像像差的解耦提供了新的思路。 5 结 论 1 本文对干涉补偿检测中干涉相干成像的像差进行了建模与仿真，提出了非回转对称波前传播理论，阐述了非回转对称波前的演化机理。结合细光束追迹与波前演化的混合分析方法，采用高斯积分采样的形式建立了干涉相干成像像差模型，从而获得子午与弧矢方向上离焦量与退化后波前分布的函数关系。实验结果表明，实测结果与模型的残差均小于0.05 waves，模型的均方误差（MSE）为0.001 1 waves 2 ，对称平均绝对百分比误差（SMAPE）为8.26%，平均相对误差（MRE）为3.35%，模型的拟合结果明显优于亚利桑那大学提出的理论结果，由此验证了模型的准确性。本文提出的干涉相干成像像差模型不仅可以建立精确的干涉补偿检测结果的预测模型，也可以用于像差解耦，有助于提高高频处仪器的传递函数。 参考文献 张学军 ， 樊延超 ， 鲍赫 ， 等 . 超大口径空间光学遥感器的应用和发展 ［J］. 光学 精密工程 ， 2016 ， 24 （ 11 ）： 2613 - 2626 . doi: 10.3788/OPE.20162411.2613 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20162411.2613 超大口径空间光学遥感器的应用和发展 ZHANG X J ， FAN Y CH ， BAO H ， et al . 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