Thermal error prediction for grinding machine spindle based on heat conduction and convolutional neural network

基于热传导和卷积神经网络的磨床主轴热误差预测 Thermal error prediction for grinding machine spindle based on heat conduction and convolutional neural network first-author 王培桐（1992-），男，博士研究生，主要从事机床精度设计、机床几何误差和热误差的研究。E-mail：504789981@qq.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555009&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555018&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555015&type= 22.01332855 32.00400162 王培桐 （1992-），男，博士研究生，主要从事机床精度设计、机床几何误差和热误差的研究。E-mail： 504789981@qq.com 504789981@qq.com corresp E-mail： jwfan@bjt.edu.cn E-mail： jwfan@bjt.edu.cn 范晋伟（1965-），男，博士，教授，主要从事数控技术、精密加工、伺服控制的研究。E-mail：jwfan@bjt.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555025&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555035&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555031&type= 22.01332855 32.00400543 范晋伟 （1965-），男，博士，教授，主要从事数控技术、精密加工、伺服控制的研究。E-mail： jwfan@bjt.edu.cn jwfan@bjt.edu.cn 北京工业大学 先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124 北京工业大学 先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124 Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Beijing University of Technology， Beijing 100124， China Beijing Key Laboratory of Advanced Manufacturing Technology， Beijing University of Technology， Beijing 100124， China 热变形是影响磨床加工精度的主要因素，严重制约了机床精度的进一步提高。为了提高热误差预测的精度，提出了一种基于热传导和卷积神经网络的磨床主轴热误差预测方法。根据热传导理论推导出主轴表面和外部环境的温差和热变量的映射关系，揭示了材料热变形本质。然后，建立了以温差为输入和主轴热变形量为输出的神经网络热误差预测模型。该模型拥有4个神经网络层，分别对应温差、热能增量、时间变量以及热变形量。运用反向传播算法对该预测模型进行训练并计算模型参数。最后，基于SINUMERIK 840D数控控制器开发了一套磨床主轴热误差补偿系统，并在某一数控磨床上进行了验证。结果表明，通过主轴热误差补偿后，磨床的加工精度提升了41.7%，验证了本文提出的主轴热误差预测模型的有效性和可行性。 Thermal deformation is the main factor affecting the machining accuracy of grinding machines， which severely limits further improvements in the accuracy of machine tools. However， only a few studies have investigated thermal error prediction， and the prediction accuracy has been low. Therefore， this paper proposes a method to predict the thermal error of grinding machine spindles based on the heat conduction theory and a convolutional neural network. First， according to the heat conduction theory， the mapping relationship between the thermal variables and the temperature difference between the surface of the main axis of Chu and the external environment is deduced， revealing the thermal deformation nature of the materials. Second， a neural network model for thermal error prediction with temperature difference as the input and thermal deformation of the main shaft as the output is established. The model has four neural network layers corresponding to temperature difference， thermal energy increment， time variable， and thermal deformation. The back-propagation algorithm is then used to train the prediction model and calculate the model parameters. Finally， based on the SINUMERIK 840D CNC controller， a set of thermal error compensation systems for grinding machine spindles are developed and verified using a CNC grinding machine. The results show that the machining accuracy of the grinder is improved by 41.7% following thermal error compensation for the spindle， thus confirming the validity and feasibility of the spindle thermal error prediction model proposed in this paper. 热传导 热误差 反向传播算法 神经网络 磨床主轴 heat conduction thermal error back propagation algorithm neural network grinder spindle 1 引 言 1 数控机床加工精度的影响因素很多，如热误差、几何误差、伺服误差等。其中，热误差是影响加工精度的主要因素 ［ 1 1 ］ 。为了进一步提高数控机床的加工精度，热误差建模和补偿方法成为近些年来的研究热点。 目前，经验建模法是热误差建模的常用方法，其模型是基于机床的实验测量。不同的模型结构已被用于机床热误差的预测，如多元回归分析（MRA） ［ 2 2 - 4 4 2-4 ］ 、人工神经网络（ANN） ［ 5 5 - 6 6 5-6 ］ 、模糊逻辑 ［ 7 7 - 9 9 7-9 ］ 、自适应神经模糊推理系统 ［ 10 10 - 11 11 10-11 ］ 、灰色系统理论 ［ 9 9 ］ 和不同建模方法的组合 ［ 12 12 - 13 13 12-13 ］ 。Chen等 ［ 5 5 ］ 使用多元回归分析模型和人工神经网络模型来补偿卧式加工中心的热误差。Zhang等 ［ 6 6 ］ 采用主分量法对建模变量进行优化，以避免温度敏感点之间多重共线性的影响。该方法预测机床热误差取得了较好的效果。章等 ［ 7 7 ］ 以某精密邸式加工中心为研究对象，利用智能温度传感器和位移传感器检测机床温度和主轴热变形。它通过新陈代谢模型对温度测点的数据进行前瞻预测。该方法改善了补偿滞后性的问题，从而提高了模型预测精度。Eskandari等 ［ 14 14 ］ 提出了一种利用离线技术补偿三轴数控铣床的位置、几何和热诱导误差的方法，热误差采用MRA，ANN和ANFIS 3种经验模型。为了更精准地建立预测模型，他们每10分钟收集一次实验数据，同时将实验数据分为训练数据集和检查数据集，模型预测精度得到了明显的提升，精度平均提高41%。Abdulshahed等 ［ 15 15 ］ 使用带有模糊c均值聚类的ANFIS建立了热误差模型。实验结果表明，所建立的热误差补偿模型可以将热误差降低到小于2 m。Wang等 ［ 16 16 ］ 通过模糊聚类方法对分布在机床上的20个温度传感器进行了优化，最终选取3个测点作为建模变量。不同种类的神经网络热变形预测方法与其他经验模型相比，具有较强的信息处理能力、并行处理能力和自学习能力。然而，单一神经网络热误差预测模型的缺点也很明显，如需要大量的学习样本、训练计算时间长，特别是“黑盒子”结果是不可解的。此外，机床工况条件一般是复杂的，热误差预测结果容易受到外界干扰。 针对上述局限性，本文提出了一种的基于热传导和卷积神经网络热误差的预测方法。首先基于热传导理论，推导出温差、热能增量以及热变形量的映射关系。通过主轴热仿真分析，揭示了主轴前后轴承端为主轴实际热误差源。然后，建立了以主轴表面温差为输入和主轴前后轴承端热变形量为输出的神经网络主轴热误差预测模型。最后，运用反向传播算法对该预测模型进行训练并确定最优参数。基于此方法，对磨床主轴进行了热误差补偿。该方法能够有效地预测主轴热误差，进而显著地提升数控机床的加工精度。 2 热变形本质 1 热变形的实质是物质体积随其所含热能的增加而增大的性质。根据热传导原理，单元体在 t 时刻的温度 T （ t ）可表示为： <math display="block" id="M1"><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>ρ</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555042&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555039&type= 26.07733345 9.39799976 ， 其中： V （ t ）表示 t 时刻单元体的体积， <math id="M2"><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555048&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555045&type= 7.70466709 3.55599999 和 <math id="M3"><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555055&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555052&type= 7.61999989 3.55599999 分别代表 t 时刻的温度和热能， <math id="M4"><mi>ρ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555061&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555057&type= 2.11666679 3.64066648 和 C 代表材料的密度和比热容系数， <math id="M5"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>z</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555070&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555064&type= 30.14133072 3.97933316 分别代表材料的长度、宽度和高度。 t 2 时刻，单元体在 x 方向上的长度可表示为： <math display="block" id="M6"><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>α</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555080&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555074&type= 66.04000092 4.48733330 ， 其中α代表热变形系数。 单元体 t 1 到 t 2 时刻在 x 方向上的热变形量可表示为： <math display="block" id="M7"><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>α</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo 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stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>≈</mo><mfrac><mrow><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>ρ</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555103&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555100&type= 55.88000107 14.73200035 由 式（3） 式（3） 可知，从 t i 时刻到 t i +1 时刻，总温度增量可表示为： <math display="block" id="M9"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>ρ</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555112&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555108&type= 33.78200150 9.39799976 . 根据 式（3） 式（3） 和 式（5） 式（5） ， t i +1 时刻总的热变形量为： <math display="block" id="M10"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>α</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>α</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>ρ</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>C</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555119&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555115&type= 73.15200043 9.39799976 . 式（6） 式（6） 揭示了热能增量、温度和材料单元微小热变形之间的关系。热能的增量不仅取决于材料表面温度，还取决于材料表面与其周围环境的温差。因此，至少应该放置一对传感器来测量材料表面与其周围环境之间的温差，将温差作为输入变量，而不仅仅是表面温度。 2.1　主轴热变形分析模型 2 磨床主轴的具体结构参数如 图2 图2 所示。它包括前后轴承、冷却导管和中心轴等部件。主轴总长为266.2 mm，外径为 <math id="M11"><mi>ϕ</mi><mn mathvariant="normal">80</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555127&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555124&type= 5.92666674 3.64066648 mm，中心轴直径为 <math id="M12"><mi>ϕ</mi><mn mathvariant="normal">11</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555135&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555131&type= 5.92666674 3.64066648 mm，轴承内径为 <math id="M13"><mi>ϕ</mi><mn mathvariant="normal">12</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555140&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555138&type= 5.92666674 3.64066648 mm。 为了准确地建立主轴热变形分析模型，将主轴等距地分为9段，每段间隔25 mm，如 图3 图3 所示。第2段和第6段的表面与轴承内圈接触，第1，3，4，5，7，8，9段的表面与周围环境空气接触。沿主轴各段表面布置传感器对。内部传感器用于获取相关轴段表面的温度，外部传感器用于获取相邻环境的温度。 这里需要注意的是，主轴热误差预测模型忽略了不同轴段之间的直径差异。根据热变形、热能与材料温度的关系，主轴各段的热量增量可表示为： <math display="block" id="M14"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555176&type= 9.56733322 4.06400013 表示 t i 时刻主轴第 j 段表面相邻的环境温度。由 式（7） 式（7） 可知， k 到 k +1的热能增量由三部分组成。第一部分是热量的内部交换，内部的增减变化对总热能没有影响；第二部分代表主轴两端与其邻近环境的热量交换；第三部分代表每段轴表面的主轴与其邻近环境的热量交换。由此可见，主轴的热量增量还是由主轴表面与其周围环境的温差决定的。热能增加时，主轴各段的温差为： <math display="block" id="M17"><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo 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℃的环境下，然后以1 500 r/min的转速驱动主轴运行100 min，最后使主轴自然冷却。仿真过程的采样频率为20 Hz， α =1.2×10 - 5 /℃，材料密度 ρ =7.85×10 - 6 kg/mm 3 ，比热容系数 C =460 J/（kg·℃），材料内部热能传导系数 λ =5.02×10 - 2 J/（mm·℃·s），在材料表面及其相邻空气处，热能传导系数 λ a =0.025×10 - 3 J/（mm·℃·s），传感器对间距离 d =25 mm，主轴直径为11 mm，轴向传感器间隔25 mm。 轴承的摩擦在轴承内部几乎全部转化成热量，因而致使轴承温度升高，轴承热量 Q 计算如下： <math display="block" id="M19"><mi>Q</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1.05</mn><mo>×</mo><msup><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>×</mo><mi>M</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555193&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555190&type= 41.65599823 3.47133350 ， 其中： n 为转速， M 为摩擦力矩。前轴承的摩擦力矩为54.5 N·m，后轴承的摩擦力矩为52.5 N·m。 图 4 4 （a）~ 4 4 （c）为0~12 000 s内各主轴段与其相邻环境之间的温度变化和温差变化。仿真结果表明，虽然主轴各部分表面温度基本相同，但各部分的环境温度变化较大。由此可见，主轴第2段和第6段的温度偏差高于其他主轴段。这是因为主轴段的第2和第6分别代表前轴承的后端面和后轴承的前端面。砂轮的定位精度取决于前后轴承的定位精度。这意味着前后轴承的综合热误差是主轴的热误差源，而不是整个主轴的热伸长量。 图4 图4 （d）展示了主轴和2~6段的热变形。当主轴转速为1 500 r/min时，主轴和2~6段的热变形趋势大致相同。因此，研究主轴2~6段的热变形对主轴热误差的预测具有重要意义。 1,2;3,4; 3 基于热传导卷积的神经网络热误差建模方法 1 3.1　基于卷积热传导的神经网络模型要素架构 2 从第2.1节可知，主轴表面与其周围环境的温度差作为输入变量，它代表主轴输入的热能。然后内部的热能在主轴内部从高向低传导。热能的外在表现为主轴的温度和变形具有固定的关系。因此，在构建来自主轴不同部位的神经网络模型时，应以主轴各段与其周围环境的温差作为输入。主轴的前部、中部和后部对应于不同的神经节点。在这里输入的温差应首先转化为热能，而不是在主轴中进行热交换时的相互混合。考虑到热能传导的迟滞性，这意味着需要建立卷积神经网络模型。为了使热能更均匀地分布，该模型需要利用另一神经网络层使热能更大幅度地混合，然后使混合的热能转变为主轴的温升和热变形。最后，神经网络的输出层应以时间为变量，来预测主轴在不同时间下总的热变形量。 3.2　热误差预测模型架构 2 主轴热误差预测模型如 图5 图5 所示。除了第0层外，模型总共有3层。在第0层，有9个输入Δ T i （ t ）（ i =1~9）。随后，每个输入的温差被转化为一个热能增量在这里进行卷积处理。在第1层中，有9个输入节点对应于9个主轴节段，每个热量增量混合并输入，使第2层中各个轴段的热量充分交互。第2层有3个节点，对应的前，中和后部分的主轴，积累的热能增量会在这里充分混合，然后热能增量以热变形量作为第2层的输出。在第3层中，通过混合和放大第2层的各输出参数，同时考虑热能随时间的指数变形规律，最终给出了预测的热误差值。 <math id="M20"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555242&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555238&type= 5.24933338 3.97933316 和 <math id="M21"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555250&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555246&type= 2.87866688 4.57200003 分别代表第 i 项采样数据， <math id="M22"><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">]</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555262&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555256&type= 39.79333496 4.65666676 ， <math id="M23"><mi>Y</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555270&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555266&type= 36.23733139 4.91066647 则分别代表一组 M 个数据样本。然后用矩阵 <math id="M24"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555350&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555347&type= 5.67266655 3.04800010 表示神经网络中第 j +1层输入和第 j 层输出。 第0层的输入放大因子矩阵 <math display="block" id="M25"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555290&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555285&type= 6.18066692 3.04800010 可表示为： <math display="block" id="M26"><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi>D</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>l</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd><mi>λ</mi></mtd><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><mi>λ</mi></mtd><mtd/><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd><mtd/><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd><mtd/></mtr><mtr><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd/><mtd><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555298&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555293&type= 67.05599976 48.34466553 . 第0层的输出矩阵 <math id="M27"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555318&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555314&type= 5.75733376 3.04800010 可表示为： <math display="block" id="M28"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555328&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555323&type= 22.35199928 3.97933316 . 在主轴热误差的实际预测中，考虑到第 i 组温度偏差数据会受到第 i- 1组温差数据的累积影响，层0处的第 i 组输出 <math id="M29"><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555335&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555332&type= 6.09600019 3.97933316 可以表示为： <math display="block" id="M30"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><mi>M</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555343&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555340&type= 57.48867035 14.30866718 第 j （ j =1，2，3）层的输出 <math id="M31"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555350&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555347&type= 5.67266655 3.04800010 可表示为： <math display="block" id="M32"><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555359&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555355&type= 45.88933182 3.80999994 . 第1~3层的放大因子如下： <math display="block" id="M33"><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555366&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555363&type= 12.69999981 3.04800010 ， <math display="block" id="M34"><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>a</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>ρ</mi><msup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>l</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555373&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555369&type= 23.45266724 8.97466660 ， <math display="block" id="M35"><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555381&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555377&type= 12.53066730 3.04800010 ， 其中需要优化参数 k 。 从 式（11） 式（11） 可以看出，神经网络第1层的输入是每个轴段温差转换成的热能增量。这些累积起来的混合热能会在神经网络第二层转化成热变形量。神经网络的第三层将混合热变形乘以一个放大因子，最终得到热误差预测值。 3.3　反向传播算法 2 本文采用反向传播算法来确定热误差预测模型参数的最优值。如 图6 图6 所示，初始参数为每个前轴承的摩擦力矩为54.5 N·m，每个实际轴承的摩擦力矩为52.5 N·m。热变形系数 α =1.2×10 - 5 /℃，材料密度 ρ =7.85×10 -6 kg/mm 3 ，比热容系数 C =460 J/（kg·℃），内部材料的热能传导系数 λ =5.02×10 - 2 J/（mm·℃·s），在材料表面及其邻近空气的热能传导系数 λ a =0.025×10 - 3 J/（mm·℃·s）。 为了确定预测模型的参数值，引入损失函数 L 和总的损失函数 J ，分别为： <math display="block" id="M36"><mi>L</mi><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>,</mo><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>Y</mi><mo>-</mo><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555399&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555395&type= 48.68333054 3.80999994 ， <math display="block" id="M37"><mi>J</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msubsup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555406&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555402&type= 29.46400070 8.55133343 . 通过实测输入和输出数据，利用反向传播算法对建立的神经网络模型进行学习和训练，以此来调整分布权重 <math id="M38"><msup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555412&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555409&type= 7.02733374 3.04800010 ，偏差 <math id="M39"><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555421&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555416&type= 4.74133301 3.04800010 和激活函数 <math id="M40"><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555430&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555424&type= 6.01133299 3.04800010 。对激活函数、权重和偏差进行修改如下： <math display="block" id="M41"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>L</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>L</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>L</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">]</mo></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555438&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555435&type= 37.50733566 30.14133072 ， 其中 <math id="M42"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555445&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555442&type= 2.03200006 3.72533321 表示学习步长。当损失函数 L < ζ 或者学习步长大于 <math id="M43"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555454&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555450&type= 2.03200006 3.72533321 ，该程序终止。 4 实 验 1 4.1　实验仪器 2 在主轴热变形实验中收集主轴各段表面与其周围环境的温差。电热偶传感器如 图7 图7 （a）所示。利用红外仪器采集主轴各段的离散温度数据，如 图7 图7 （b）所示。然后，使用YanHua 8211总线温控数据采集模块将收集到的温控数据发送到计算机。最后，采用电容式传感器来测量主轴的热变形系数，如 图7 图7 （c）所示。测量仪器参数列于 表1 表1 。 1,2,3; 实验器材 模 块 参数设置 RS485热采集模块 YanHua 8211 12个温度输入接口和采样精度±0.01 ℃ 红外仪器 Fluke TV46 测量范围：-20~150 ℃，精度为“A”级（0.15℃+ 0.002 t） IEC-751标准 电容传感器 Displacement HA-100 最大采样频率为50 kHz；线性测量精度±0.5×10 -6 4.2　热误差预测模型验证 2 首先进行热特性实验，工况如 表2 表2 和 表3 表3 所示，在不同转速下收集主轴各段表面与其周围环境的温差和主轴变形情况。为了提高实验准确性，保持室温在（20±1） ℃，每次主轴运转之后自然冷却100 min。通过采集各时段温差变化和测量主轴轴向形变量来训练模型参数。然而，不同转速下温差数据的采集量大且增加模型训练时长。为了简化模型训练过程，经过实验计算，主轴转速在1 500 r/min时采集的温差范围已覆盖实验范围且预测效果较好。因此，本文选取这组数据来训练热误差预测模型。热误差预测模型的预测结果如 图8 图8 所示。 转速/（r·min -1 ） 运转时间/min 冷却时间/min 环境温度/℃ 总时间 /min 应用 1 500 100 100 20±1 200 训练 500 100 100 20±1 200 实验 1 000 100 100 20±1 200 实验 1 500 100 100 20±1 200 实验 2 000 100 100 20±1 200 实验 2 500 100 100 20±1 200 实验 3 000 100 100 20±1 200 实验 转速/（r·min -1 ） 时间/min 500 40 1 500 40 1 000 40 1 500 40 0 40 1;2,3;4,5;6,7; 由实验结果可以看出，当转速为3 000 r/min时，主轴热变形预测的最大残差仅为5.7 μm，其他转速下的预测残差均小于4.3 μm。特别是在综合试验中，热变形的最大预测残差甚至小于2.7 μm。也就是说，主轴的运行时间越长，热变形的预测精度就会更高。因此，最大热变形量取决于主轴转速，转速越高，最大热变形量越大。本文提出的热误差预测模型的精度较高。 4.3　热误差补偿实验 2 在验证1~2段主轴热变形预测模型有效性的基础上，进行了轴类零件磨削热误差补偿实验。从 图9 图9 可以看出，选择磨削加工的轴。在实验中，对 <math id="M44"><mi>A</mi><mi>C</mi><mo>,</mo><mi>A</mi><mi>D</mi><mo>,</mo><mi>A</mi><mi>E</mi><mo>,</mo><mi>E</mi><mi>D</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555581&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39555579&type= 27.51666832 3.21733332 的尺寸误差进行检测，以验证热误差补偿的有效性。 图10 图10 为热误差补偿系统，该系统主要包括控制器和驱动两个模块。对象链接和嵌入技术是计算机中不同软件间数据交换的应用。过程控制OLE（OPC）是一种国家标准，用于控制器与计算机之间的信息交换。OPC统一体系结构（OPC UA）是由SINUMERIK 840D数控控制器基于SIMATIC网络服务器和PROFINET（过程现场总线网）的技术。在热误差补偿研究中，开发了一套OPC UA客户端软件。其中，由NCU的MC插值器组织块92［OB92］计算 Z 轴位置设定点。其补偿原理是将 Z 轴的理论位置设定点值和当前时间预测热变形值之和作为当前 Z 轴设定点。考虑到插值器［OB92］每2 ms运行一次，热误差预测程序每隔50 ms运行一次，意味着插值器应将其设定的插值间隔增加25倍，以达到相同的频率。当热误差预测程序更新热误差值时，插值器将选择新的热误差值作为补偿值。考虑到热误差的变化速度足够慢，热误差补偿的精度足够高。 图11 图11 为轴类磨削实验现场。采用两种热误差预测方法对磨床主轴进行补偿，方法一为单一神经网络热误差预测方法 ［ 7 7 ］ ，方法二为本文提出的热误差预测方法。 通过不同主轴热误差补偿后磨床的加工精度如 表4 表4 所示。结果表明，工件的加工尺寸 AE 在 Z 方向上的加工误差由0.004 3 mm减小到0.002 3 mm。方法二相较于方法一，补偿精度提高了46.5%。 AC 和 AD 的绝对位置分别减小了0.001 0 mm和0.001 6 mm，加工精度分别提高了41.7%和43.2%。工件的加工精度得到了明显提升。因此，实验证明了本文提出的热误差预测方法比单一神经网络热误差预测方法的预测精度更高，热补偿效果更好。 误差值 方法一 方法二 提 升 AE /mm 0.004 3 0.002 3 46.5% AC /mm 0.002 4 0.001 4 41.7% AD /mm 0.003 7 0.002 1 43.2% 5 结 论 1 本文提出了一种基于热传导和卷积神经网络的主轴热误差预测方法。首先，利用温度传感器测量主轴表面与其周围环境的温差，将输入温度差乘以热传导参数转化为热能增量。然后，将每个轴段获得的热能增量彼此混合。最后将第2~6段主轴热变形量作为输出。根据热传导理论，建立了主轴温差、热能增量以及热变形量之间的映射模型，并通过仿真确定了主轴前后轴承是实际的热误差源。在此基础上，基于神经网络法建立了主轴热误差预测模型。实验结果表明，综合测试中模型预测的最大残差小于2.7 μm。将提出的热误差预测方法和单一神经网络热误差预测方法应用到实时热误差补偿中。比较补偿结果可以得出，本文提出的主轴热误差预测精度较高，且补偿后机床加工精度得到明显提升。本文提出的主轴热误差预测方法不仅局限于磨床，对其他类型的机床也同样适用。 参考文献 谢春 ， 张为民 . 车铣复合加工中心综合误差检测及补偿策略 ［J］. 光学 精密工程 ， 2014 ， 22 （ 4 ）： 1004 - 1011 . doi: 10.3788/OPE.20142204.1004 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20142204.1004 车铣复合加工中心综合误差检测及补偿策略 XIE CH ， ZHANG W M . Comprehensive measurement errors of 5-axis turning-milling centers and their compensation strategies ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2014 ， 22 （ 4 ）： 1004 - 1011 . （in Chinese） . doi: 10.3788/OPE.20142204.1004 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20142204.1004 Comprehensive measurement errors of 5-axis turning-milling centers and their compensation strategies MIAN N S ， FLETCHER S ， LONGSTAFF A P ， et al . Efficient estimation by FEA of machine tool distortion due to environmental temperature perturbations ［J］. Precision Engineering ， 2013 ， 37 （ 2 ）： 372 - 379 . doi: 10.1016/j.precisioneng.2012.10.006 http://dx.doi.org/10.1016/j.precisioneng.2012.10.006 Efficient estimation by FEA of machine tool distortion due to environmental temperature perturbations 何振亚 ， 傅建中 ， 陈子辰 . 基于球杆仪检测五轴数控机床主轴的热误差 ［J］. 光学 精密工程 ， 2015 ， 23 （ 5 ）： 1401 - 1408 . doi: 10.3788/ope.20152305.1401 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20152305.1401 基于球杆仪检测五轴数控机床主轴的热误差 HE ZH Y ， FU J ZH ， CHEN Z CH . Thermal error measurement of spindle for 5-axis CNC machine tool based on ball bar ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2015 ， 23 （ 5 ）： 1401 - 1408 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20152305.1401 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20152305.1401 Thermal error measurement of spindle for 5-axis CNC machine tool based on ball bar ABDULSHAHED A M ， LONGSTAFF A P ， FLETCHER S ， et al . Thermal error modelling of a gantry-type 5-axis machine tool using a Grey Neural Network Model ［J］. Journal of Manufacturing Systems ， 2016 ， 41 ： 130 - 142 . doi: 10.1016/j.jmsy.2016.08.006 http://dx.doi.org/10.1016/j.jmsy.2016.08.006 Thermal error modelling of a gantry-type 5-axis machine tool using a Grey Neural Network Model CHEN J S ， YUAN J ， NI J . Thermal error modelling for real-time error compensation ［J］. 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