Neural network-based computational holographic encryption image reconstruction scheme for chaotic iris phase mask

基于神经网络的混沌虹膜相位掩模计算全息加密图像恢复 Neural network-based computational holographic encryption image reconstruction scheme for chaotic iris phase mask 1 2 first-author 胡 涛（1997-），男，安徽宣城人，硕士研究生，主要研究方向为光学图像加密和深度学习。E-mail： 1458156169@qq.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927364&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927368&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927366&type= 22.01332855 32.00399780 胡 涛 （1997-），男，安徽宣城人，硕士研究生，主要研究方向为光学图像加密和深度学习。E-mail： 1458156169@qq.com 1458156169@qq.com 1 2 1 2 corresp E-mail： jhjinwm@163.com E-mail： jhjinwm@163.com 金伟民（1965-），男，浙江金华人，教授，研究生导师，1986年于中山大学获得学士学位，主要研究方向为全息技术和光学信息处理。E-mail： jhjinwm@163.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927370&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927374&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927372&type= 22.01333618 32.00400543 金伟民 （1965-），男，浙江金华人，教授，研究生导师，1986年于中山大学获得学士学位，主要研究方向为全息技术和光学信息处理。E-mail： jhjinwm@163.com jhjinwm@163.com 浙江师范大学 物理与电子信息工程学院 信息光学研究所，浙江 金华 321004 浙江师范大学 物理与电子信息工程学院 信息光学研究所，浙江 金华 321004 Institute of Information Optics， College of Physics and Electronic Information Engineering， Zhejiang Normal University， Jinhua 321004， China Institute of Information Optics， College of Physics and Electronic Information Engineering， Zhejiang Normal University， Jinhua 321004， China 浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室，浙江 金华 321004 浙江省光信息检测与显示技术研究重点实验室，浙江 金华 321004 Key Laboratory of Optical Information Detecting and Display Technology in Zhejiang Province， Jinhua 321004， China Key Laboratory of Optical Information Detecting and Display Technology in Zhejiang Province， Jinhua 321004， China 为了拓展对计算全息加密图像的解密方法，针对非法攻击难度大的对称-非对称混合加密系统，提出了一种利用神经网络恢复混沌虹膜相位掩模计算全息加密图像的方案。对明文图像进行加密，生成计算全息的密文图像，制作大量的密文明文图像对作为数据集。通过搭建神经网络不断地训练和测试，训练完成后的神经网络可以拟合出密文图像到明文图像的映射关系，解密时不再使用公钥和私钥对密文图像进行解密。实验结果表明：通过神经网络恢复出的图像与明文图像相比，平均互相关系数为0.984，平均峰值信噪比为61.0 dB，平均结构相似性为0.77；对密文图像进行噪声污染，也可以恢复出较高质量的图像，实现了通过神经网络对密文图像解密的目的，方案是可行的并具有较好的鲁棒性。 To expand the decryption method of computational holographic encrypted images for a symmetric-asymmetric hybrid encryption system that cannot be easily attacked illegally， a scheme involving the use of a neural network to restore chaotic iris phase mask computational holographic encrypted images is proposed. First， a plaintext image is encrypted and a ciphertext image of a computational hologram is generated. Next， numerous ciphertext image pairs are generated as datasets. Subsequently， they are continuously trained and tested by using them to build a neural network. Results show that the trained neural network can fit the mapping relationship from the ciphertext image to the plaintext image and that the public or private key is no longer used to decrypt the ciphertext image during decryption. Additionally， the average cross-correlation coefficient is 0.984， the average peak signal-to-noise ratio is 61.0 dB， and the average structural similarity is 0.77， which indicate better performances compared with the performances of a plaintext image recovered by the neural network. By polluting the ciphertext image with noise， a higher quality image is obtained. The purpose of decrypting a ciphertext image via a neural network is achieved， and the scheme is shown to be feasible and robust. 计算全息 光学加密 深度学习 生物密码 混沌 残差网络 computational holography optical encryption deep learning biological cryptography chaos residual network 1 引 言 1 随着现代信息技术的发展，图像因其信息量丰富的优点，经常作为信息传递的载体。信息安全是信息传递中一个重要课题，为了对图像进行加密，学者们提出了种类各异的加密方法。其中，光学图像加密具有并行性、速度快、多维度等优点 ［ 1 1 - 2 2 1-2 ］ ，因此倍受研究人员的青睐。1995年， Refregier和Javidi提出了基于4 f 系统的双随机相位编码（Double Random Phase Encryption， DRPE）方法 ［ 3 3 ］ ，此后分数傅里叶变换域、菲涅耳变换域、小波变换域等光学图像加密技术被提出 ［ 4 4 - 6 6 4-6 ］ 。 一般的光学图像加密结果往往是复数，全息记录方式才能同时记录强度信息和相位信息，而传统的全息记录材料存储不便于在网络中传输。为了便于存储和网络传输，需要对加密信息进行数字化，最有效的数字化技术是数字全息和计算全息 ［ 7 7 - 9 9 7-9 ］ 。计算全息图像除了有数字化的特点外，还可以任意设置系统参数，记录虚拟物体。一般的加密方法需要将作为密钥的随机相位掩模与加密图像一起发送给接收方，信息量较大，不利于传输。针对这一问题，人们提出了基于混沌系统的改进方法 ［ 10 10 - 13 13 10-13 ］ 。在这基础上，科研人员利用计算全息和混沌理论对图像进行光学加密和解密 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ 。在这些改进方法中，利用混沌函数产生随机相位掩模，混沌函数的初始值和控制参数作为密钥，大大降低了密钥的信息量，改善了传输密钥的问题。 由于大多数的光学加密系统是对称的，明文与密文是线性关系，容易被攻破，QIN和PENG等提出了一种基于相位截断傅里叶变换的非对称加密系统 ［ 16 16 ］ ，该系统使用两个与加密密钥完全不同的解密密钥来恢复原始文本，提高了系统的安全性。由于密钥通常与其所有者没有紧密的联系，如果密钥被盗或者丢失，加密系统的安全性会受到威胁。生物特征作为密钥，具有唯一性和不可变更性，可以避免这类威胁，提高加密系统的安全性，近些年被广泛应用于图像加密领域 ［ 17 17 - 19 19 17-19 ］ 。本课题组也曾提出对称-非对称混合的加密方案 ［ 15 15 ， 20 20 ］ ，它是结合混沌映射、虹膜相位掩模和计算全息术的图像加密方案。 随着计算机硬件和人工智能技术的飞速发展，深度学习近几年在各个领域取得了突破性的进展。研究人员提出Visual Geometry Group Network ［ 21 21 ］ （VGGNet）、 GoogLeNet ［ 22 22 ］ 、残差网络 ［ 23 23 ］ （Residual Network，ResNet）等多种神经网络结构。神经网络拥有自学习与自适应性的特点，当神经网络输入训练样本，网络能够自动调整结构参数，改变映射关系，从而对特定的输入产生相应的期望输出。根据这一特性，神经网络可以应用于全息图像的重建 ［ 24 24 - 26 26 24-26 ］ 。 在光学图像加密中，密文图像和明文图像是一种映射关系。近年来，研究人员开始将神经网络应用于光学图像加解密中。HAI等使用卷积神经网络破解了DPRE的光学图像加密系统 ［ 27 27 ］ 。徐昭等使用神经网络破解混沌加密系统、相位截断傅里叶变换非对称加密系统，成功恢复出明文图像 ［ 28 28 - 29 29 28-29 ］ 。LEE等采用编码掩模对场景进行光学加密，并利用深度神经网络进行计算解密 ［ 30 30 ］ ，能有效地进行图像重建和分类，但在解密的通用性方面还有提高空间。LIAO等针对DRPE提出了两步深度学习框架 ［ 31 31 ］ ，先从密文的自相关中去除散斑噪声，再从无噪声的自相关中检索明文，能够从截获的未知密文中单独检索明文，但局限是泛化能力有限，只有当测试图像与训练数据集中的图像相似时，才能发挥良好的效果。WANG等提出了利用卷积神经网络解密光学加密图像 ［ 32 32 ］ ，构建了一个基于U-net的神经网络结构来评估密码系统的安全性。为了利用深度学习解密彩色光学加密图像，JIN等提出了一种利用深度学习与基于干涉原理的光学彩色图像解密方法 ［ 33 33 ］ 。WANG等提出基于神经网络和多稳态超混沌网络的图像加密方案 ［ 34 34 ］ ，该方案对灰度图像和彩色图像都有良好的抗剪切攻击和鲁棒性。以上方法都是利用神经网络恢复光学加密图像的研究，是利用神经网络拟合密文与明文之间的映射关系，才能成功恢复出密文图像。WANG等则提出了一种针对光学图像加密系统的可逆加密网络 ［ 35 35 ］ ，加解密使用同一密钥，安全性和非对称性不强。在光学三维图像领域，LI和ZHANG等提出了M-cGAN网络对光学三维图像进行加密与重建 ［ 36 36 ］ 。 目前，深度学习在光学加密领域的应用越来越多，但利用深度学习解密具有光学特征的全息加密图像，特别是针对计算全息加密系统的研究还比较少 ［ 37 37 ］ 。本文利用深度学习对计算全息加密系统进行恢复，以进一步丰富和拓展深度学习在光学加密领域的应用。 混沌虹膜相位掩模计算全息加密系统既具有高安全性、低信息量特征，又有计算全息的优点。本文利用神经网络恢复混沌虹膜相位掩模计算全息加密图像，一方面拓展了计算全息加密图像的解密方法，避免了密钥在传输过程中泄露的问题；另一方面，在设计加密系统时不需考虑能否逆向解密，有利于提升加密系统的复杂性和抗攻击性。该方案中密文图像和明文图像是端到端的对应关系，最适合的网络结构为残差网络。残差网络可以简化学习的目标和难度，提升优化的效率，使得神经网络能够更加高效地学习输入与输出之间的逻辑关系，最终成功恢复出所对应的明文图像。 2 基本原理 1 2.1　混沌虹膜相位掩膜计算全息图像加密 2 2 . 1 . 1　生成混沌虹膜相位掩膜 3 在密码体系中，logistic混沌映射是使用最为广泛的混沌系统之一，通常是用来统计人口变化的数学模型，其表达式为： <math display="block" id="M1"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>μ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927378&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927376&type= 30.39533424 4.82600021 ， 其中 <math id="M2"><mi>μ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927381&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927380&type= 2.11666679 3.64066648 为系统参数。当3.569 945 6 < <math id="M3"><mi>μ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927386&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927384&type= 2.11666679 3.64066648 ≤4时，logistic映射正处于混沌状态，此时所生成的混沌序列具有随机分布特性，是一种颇为良好的伪随机序列。 首先选取一张虹膜图像 <math id="M4"><mi>g</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927390&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927388&type= 11.93799973 4.82600021 ，将该虹膜图像与第一个混沌随机相位 <math id="M5"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927394&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927392&type= 15.57866764 4.82600021 相乘，并进行第一次傅里叶变换，得到频谱： <math display="block" id="M6"><mi>G</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927399&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927396&type= 55.28733826 4.82600021 . 对频谱提取相位，生成第一个混沌虹膜相位掩膜： <math display="block" id="M7"><mi>C</mi><mi>I</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>G</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>φ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927406&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927403&type= 71.03533173 5.58799982 ， 其中： <math id="M8"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">{</mo><mo>•</mo><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927411&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927408&type= 9.65200043 4.48733330 表示相位保留或振幅截断。 随后，对频谱提取振幅： <math display="block" id="M9"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>G</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>G</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927415&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927413&type= 44.61933517 5.58799982 ， 其中： <math id="M10"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">{</mo><mo>•</mo><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927421&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927418&type= 9.73666668 4.48733330 表示相位截断或振幅保留。 然后与第二个混沌随机相位 <math id="M11"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927426&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927423&type= 15.57866764 4.82600021 相乘，并再一次进行傅里叶变换得到新的频谱： <math display="block" id="M12"><mi>G</mi><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>G</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927432&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927429&type= 61.04467010 5.58799982 . 再次提取相位，生成第二个混沌虹膜相位掩膜： <math display="block" id="M13"><mi>C</mi><mi>I</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" 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这时可以得到两个混沌虹膜相位掩膜板CIPM 1 和CIPM 2 。整个流程如 图1 图1 所示。 2 . 1 . 2　生成计算全息加密图像 3 将待加密图像 <math id="M14"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927451&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927449&type= 14.64733315 4.82600021 与第一个混沌虹膜相位掩膜板CIPM 1 相乘，接着进行一次菲涅尔变换，得到： <math display="block" id="M15"><mtable><mtr><mtd><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="normal">j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927457&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927454&type= 56.13399887 10.66800022 其中： <math id="M16"><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mi>T</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mo>•</mo></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927464&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927460&type= 9.48266602 3.97933316 表示菲涅尔变换， Z 1 表示菲涅尔衍射距离。然后对其进行相位截断和相位保留： <math display="block" id="M17"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927470&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927467&type= 44.28066635 5.58799982 ， <math display="block" id="M18"><mi>R</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927476&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927473&type= 69.59600067 5.58799982 . 保存RPM 1 ，并作为解密过程的第一个私钥。 相位截断后与第二个混沌虹膜相位掩膜板CIPM 2 相乘，再进行一次菲涅尔变换，得到： <math display="block" id="M19"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="normal">j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927482&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927479&type= 72.81333160 4.91066647 ， 其中 Z 2 表示菲涅尔衍射距离。再进行一次相位截断和相位保留，得到： <math display="block" id="M20"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927487&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927485&type= 44.02666473 5.58799982 ， <math display="block" id="M21"><mi>R</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927494&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927491&type= 69.59600067 5.58799982 . 将RPM 2 保存，并作为解密过程的第二个私钥。相位截断后，此时图像可作为制作菲涅尔计算全息图的原始图像，接着制作菲涅尔计算全息图。再经过距离 Z 3 的菲涅耳衍射，在输出平面得到复振幅分布： <math display="block" id="M22"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>r</mi><mi>T</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927500&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927497&type= 46.48199844 5.58799982 . 最后引入参考光 <math id="M23"><mi>R</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927504&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927502&type= 14.98600006 4.82600021 与 <math id="M24"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927509&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927506&type= 14.73200035 4.82600021 进行干涉， 二者存在一定的夹角，是离轴全息。在输出平面得到加密全息图的光强分布： <math display="block" id="M25"><mi>I</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>R</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927514&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927511&type= 55.62599945 6.26533365 . 整个加密过程如 图2 图2 所示。 2.2　基于神经网络的加密图像恢复 2 一般来说，随着神经网络层数的增加，整个系统恢复出的效果会更好，但实际上会出现梯度消失或者网格退化的现象，即随着网络层数的增加，训练损失前期下降，最后却会趋于饱和，此时再增加网络深度，训练损失反而会增大，这和过拟合是不一样的。为了解决这个问题，可以尝试将浅层网络的特征传到高层网络，以达到最终的训练目的。最早提出具体方法的是何凯明，他在2015年提出了残差网络模型 ［ 23 23 ］ 。 与传统的卷积神经网络相比，残差网络最大的特点就是存在跳转连接层，如 图3 图3 所示。利用此跳转连接层可以将一个残差模块的输入和输出进行元素方式的堆叠，这种对元素的加法不会增加网络计算负担，也不会额外增加参数，相反还会通过将浅层的信息直接传到更深的网络层，极大地提高整个模型的训练速度和精度。经过实践，由于网络模型层数不断加深而导致训练误差增大的现象被消除，并且在测试集的表现会更加优异，因此该跳转链接能够很好地解决网格退化的问题。 本文基于残差网络对密文进行恢复，通过大量密文明文对进行训练，直至网络模型学习到明文密文对之间的逻辑关系。通过残差网络结构可以看出，模型的输入和输出是一一对应的，即输入一幅密文图，输出即该密文图所对应的明文图。明文到密文的关系式为： <math display="block" id="M26"><mi>A</mi><mo>=</mo><mi>F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>B</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927535&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927533&type= 16.76399994 3.97933316 ， 其中： A 表示密文图， B 表示明文图，函数 F 可近似为加密过程，并且是不对称加密。那么本设计即是拟作该加密过程的逆过程，关系式为： <math display="block" id="M27"><mi>C</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mi>A</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927541&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927538&type= 19.21933365 3.97933316 ， 其中 C 为通过神经网络恢复出的图像。 神经网络的输入图像为64×64的灰度加密图像，第一层网络为卷积层，卷积核尺寸为3×3，数量为64个，步进为1，填充方式为SAME，以保证输入输出尺寸一致，利用卷积层可以提取输入端的特征。随后进入激活层，采取的激活函数为ReLU。在神经网络中添加ReLU函数后，能极大地缓解梯度消失的现象，并且可以提高收敛速度。第三层网络为池化层，加入池化层是为了防止过拟合。接下来进入残差模块，整个神经网络包含5个残差模块，如 图4 图4 所示，残差模块由2个卷积层、2个批量归一化层（Batch Normalization，BN）和2个激活层构成。BN层在线性层和卷积层后面，能够加速网络收敛速度，可以使用较大的学习率来训练网络，提高整个网络的泛化能力。 需要指出的是，第一层卷积所得到的特征同样作用到了最后一个残差模块之后，再经过2次激活层和3次卷积层后得到一幅64×64的输出图像，神经网络结构如 图5 图5 所示。 为了更好地提高输出图像的质量，网络中的优化器引入的是Adam优化算法。该算法是一个寻找全局最优点的优化算法，并且引入了二次梯度校正。网络采用的均方差（Mean Squared Error，MSE）损失函数如下： <math display="block" id="M28"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>×</mo><mi>N</mi></mrow></mfrac><msup><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow/><mrow><mi>M</mi><mo>×</mo><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927569&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927566&type= 52.15466690 9.14400005 ， 其中： I output 为输出图像真值， I target 为对应目标图像真值， M 和 N 代表图像的高度和宽度。训练过程中损失值趋于动态稳定时，神经网络完成训练。 2.3　评价方法 2 为了检验解密质量，使用明文图像和密文图像间的峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio， PSNR）、互相关系数（Cross Correlation， CC）和结构相似性（Structural Similarity Index， SSIM）验证研究效果。其公式分别为： <math display="block" id="M29"><mtable><mtr><mtd><mi>P</mi><mi>S</mi><mi>N</mi><mi>R</mi><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">10</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mfrac><mrow><msup><mrow><mn mathvariant="normal">255</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>×</mo><mi>N</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn 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largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></mrow></mrow></mrow><mrow><mroot><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mrow/></mroot><mroot><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927580&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927578&type= 104.90200043 19.81200027 ， 其中： <math display="block" id="M31"><mover accent="true"><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>×</mo><mi>N</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927586&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927583&type= 50.79999924 8.63599968 ， <math display="block" id="M32"><msup><mrow><mover accent="true"><mi>f</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi><mo>×</mo><mi>N</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>M</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927593&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927590&type= 52.23933029 8.63599968 ， <math display="block" id="M33"><mtable><mtr><mtd><mi>S</mi><mi>S</mi><mi>I</mi><mi>M</mi><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo 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mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mtext> </mtext><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927599&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927596&type= 71.28932953 16.84866714 式中： <math id="M34"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927662&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927658&type= 12.61533356 3.97933316 和 <math id="M35"><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927667&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927665&type= 13.29266548 4.14866638 分别为明文图像和密文图像的像素值， M 和 N 为图像的宽和高的像素数， <math id="M36"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927614&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927612&type= 8.63599968 4.57200003 和 <math id="M37"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927618&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927617&type= 8.55133343 4.57200003 分别是 <math id="M38"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927662&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927658&type= 12.61533356 3.97933316 和 <math id="M39"><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927667&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927665&type= 13.29266548 4.14866638 的均值， <math id="M40"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927634&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927632&type= 8.21266651 3.72533321 和 <math id="M41"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927638&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927635&type= 8.12800026 3.72533321 分别是 <math id="M42"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927662&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927658&type= 12.61533356 3.97933316 和 <math id="M43"><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927667&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927665&type= 13.29266548 4.14866638 的标准差， <math id="M44"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>f</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927655&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927653&type= 15.15533447 3.72533321 是 <math id="M45"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927662&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927658&type= 12.61533356 3.97933316 和 <math id="M46"><mi>f</mi><mtext> </mtext><mi>'</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927667&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927665&type= 13.29266548 4.14866638 的协方差， <math id="M47"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>L</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927673&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927670&type= 18.20333290 4.65666676 和 <math id="M48"><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>L</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927678&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39927675&type= 18.20333290 4.65666676 是用于维持稳定的常数，使 式（20） 式（20） 的分母任意时刻都不为0， k 1 为0.01， k 2 为0.03， L 是像素值的动态范围，本实验中 L 为255。 3 仿 真 1 实验硬件采用的CPU为Intel Core i5-11400，频率为2.60 GHz，16 G内存，GPU为GeForce GTX3050。实验软件环境为matlab2019b和PyCharm，编程语言使用的是Python3.7，深度学习平台为Tensorflow-gpu 2.5.0。整个实验分为加密部分和解密部分两部分。实验使用的数据集为FASHION-MNIST数据集，原图像是28×28的灰度图像，但在实验过程中发现，在经过几次卷积后所提取到的特征较少，因此使用imresize函数，利用最近邻插值算法将图像放大为64×64。加密过程在matlab中完成，将明文图像批量进行加密，制成六万对明文密文对为训练集，独立于训练集的六千对明文密文对为验证集，独立于训练集和验证集的六百对明文密文对为测试集。为了提高训练精度，整个数据集各类服装图像保持均匀配比。 解密部分在PyCharm软件中完成，批量导入数据集后，将密文图像作为输入，对神经网络进行训练。整个训练过程分为两部分，前期学习率设置为0.000 1，batch size为15，当training loss不再收敛时，整个时长约10小时；再将学习率设置为0.000 01，batch size设置为20，直至training loss趋于平稳，整个时长约10小时。 实验结果如 图6 图6 所示。每一幅解密图像与明文图像的CC，PSNR和SSIM如 表1 表1 所示。对比观察恢复图像与明文图像，二者基本一致，同时分析 表1 表1 ，CC，PSNR和SSIM比较理想，由此表明，本文提出的神经网络具备恢复计算全息加密图像的能力。 Image CC PSNR/dB SSIM 1 0.990 70.057 0.913 2 0.983 60.958 0.687 3 0.990 53.535 0.772 4 0.978 62.872 0.686 5 0.981 57.591 0.792 4 实验及结果分析 1 4.1　鲁棒性测试 2 在传输过程中，加密图像不可避免会受到图像噪声污染。这里对加密全息图进行处理，以分析图像受到噪声污染时的解密质量。 4 . 1 . 1　抗椒盐噪声能力测试 3 为了测试系统的抗噪声能力，对测试集的密文进行污染，看是否仍然具有恢复密文的能力。 图7 图7 （a）为正常恢复出的图像，7（b）~7（f）为加入不同密度的椒盐噪声时恢复出的图像。对密文图像添加噪声污染后恢复图像的CC，PSNR和SSIM如 表2 表2 所示。通过对比可以看出，随着噪声比例的增加，恢复图像逐渐变模糊，但整体轮廓依然清晰可见，说明本系统具有一定的抗椒盐噪声能力。 2 Image 5 CC 5 PSNR/dB 5 SSIM 0.1% 0.2% 0.3% 0.5% 1% 0.1% 0.2% 0.3% 0.5% 1% 0.1% 0.2% 0.3% 0.5% 1% 1 0.971 0.979 0.979 0.921 0.898 55.63 60.70 63.63 49.76 47.84 0.872 0.878 0.876 0.721 0.678 2 0.977 0.976 0.967 0.863 0.861 60.80 63.91 60.71 49.57 50.13 0.677 0.661 0.663 0.525 0.518 3 0.987 0.975 0.874 0.887 0.744 53.50 51.14 44.88 45.12 40.48 0.733 0.682 0.548 0.435 0.289 4 0.977 0.939 0.952 0.884 0.836 63.17 55.20 55.81 48.71 46.65 0.685 0.593 0.579 0.441 0.416 5 0.981 0.948 0.966 0.933 0.871 57.54 63.24 57.94 56.05 49.79 0.790 0.732 0.664 0.674 0.561 4 . 1 . 2　抗高斯噪声能力测试 3 这里使用均值为0、方差为0.1%的高斯噪声，重建结果如 图8 图8 所示。 对密文图像添加高斯噪声污染后恢复图像的CC，PSNR和SSIM如 表3 表3 所示。通过对比明文图像和解密图像，添加高斯噪声后恢复出的图像变得模糊，相关评价系数也不是很理想，说明此系统对测试集中添加高斯噪声后的解密能力有限。 Image CC PSNR/dB SSIM 1 0.918 45.77 0.525 2 0.881 54.43 0.437 3 0.830 44.26 0.267 4 0.883 51.35 0.470 5 0.879 47.66 0.436 4.2　算法泛化能力测试 2 为了测试本算法的通用性，使用MNIST手写数字数据集进行实验。MNIST数据集的原图像是28×28的灰度图像，同样使用imresize函数，利用最近邻插值算法将图像放大为64×64。对手写数字图像加密并制成密文明文对数据集，一共生成了一万对明文密文对作为训练集，独立的一千对明文密文对作为验证集，独立的一百对明文密文对作为测试集。 实验结果如 图9 图9 所示。 图9 图9 中，每一幅解密图像与明文图像的CC，PSNR和SSIM如 表4 表4 所示。对比观察恢复图像与明文图像，CC，PSNR和SSIM比较理想，由此表明，本算法具备良好的通用性和一定的泛化能力。 Images CC PSNR/dB SSIM 1 0.989 72.551 0.877 2 0.843 60.818 0.626 3 0.927 56.275 0.666 4 0.913 60.020 0.677 5 0.876 56.546 0.698 4.3　与其他神经网络的对比测试 2 为了探索其他神经网络对光学加密图像的解密性能，本文选取经典卷积神经网络（Convolutional Neural Networks， CNN）结构和VGG13网络结构进行实验。输入端同样是64×64的密文图像，经过数层卷积层、激活层和池化层，学习率设置为0.000 1，batch size为15。为了适应本文数据集的特征和解密需要，在VGG13网络最后三层的全连接层的输出通道做了调整，输出通道分别为256，64和1。 最终的重建效果如 图10 图10 所示。观察 图10 图10 ，通过CNN恢复出的图像模糊不清，与明文图像有一定的差别；通过VGG13恢复出的图像尽管轮廓可以分辨，但仍与明文图像有一定的差别。 对比分析了CNN，VGG13和ResNet的训练时长和恢复结果。训练时长上，CNN由于层数较少，所以训练时长较短，约为8小时；VGG13网络由于参数量过于庞大，训练时长增加，迭代40万次约30小时；ResNet由于拥有跳转连接的优势，总训练时长可控制在20小时内。恢复结果上，3种网络结构所恢复图像的平均CC，PSNR和SSIM如 表5 表5 所示。测试结果表明，残差网络结构在恢复光学加密图像方面具有一定的优势。 Networks types CC PSNR/dB SSIM CNN 0.907 55.575 0.477 VGG13 0.945 58.553 0.611 ResNet 0.984 61.003 0.770 5 结 论 1 本文提出了基于神经网络对混沌虹膜相位掩模计算全息加密图像的恢复技术，能够有效地对加密图像进行恢复。原来的光学解密过程是将混沌虹膜相位掩膜板CIPM 1 和CIPM 2 、菲涅尔变换的距离、波长等公钥和RPM 1 ，RPM 2 等私钥作为解密密钥，恢复原图。该解密系统则是利用神经网络对大量的明文密文对进行训练，进而达到有效恢复明文图像的目标，不需要密钥的传输。在训练和调试过程中，不断探索优化神经网络架构，其中两次池化层的加入是本系统的特点，极大地优化了拟合结果，加快了训练误差的收敛，对计算全息密文图像的成功恢复起关键作用。实验结果表明，该方案是可行的，在密文信息受到噪声等攻击条件下对解密信息质量进行分析，当加入低密度的椒盐噪声时，平均CC为0.979，平均PSNR为58.13 dB，平均SSIM为0.752；当加入高密度的椒盐噪声时，平均CC为0.842，平均PSNR为46.98 dB，平均SSIM为0.492。但测试集添加高斯噪声后，恢复出的图像质量不够理想，说明该方案在抗椒盐噪声方面具有一定的鲁棒性。从恢复效果来看，该算法对复杂图案的恢复效果一般，下一步研究工作将改善网络结构，以提高系统的恢复能力；并尝试对彩色加密图像和全息3D加密图像利用神经网络进行恢复。 参考文献 PSALTIS D . Coherent optical information systems ［J］. Science ， 2002 ， 298 （ 5597 ）： 1359 - 1363 . doi: 10.1126/science.1078823 http://dx.doi.org/10.1126/science.1078823 Coherent optical information systems CHEN W ， JAVIDI B ， CHEN X D . Advances in optical security systems ［J］. Advances in Optics and Photonics ， 2014 ， 6 （ 2 ）： 120 - 155 . doi: 10.1364/aop.6.000120 http://dx.doi.org/10.1364/aop.6.000120 Advances in optical security systems REFREGIER P ， JAVIDI B . Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding ［J］. Optics Letters ， 1995 ， 20 （ 7 ）： 767 - 769 . doi: 10.1364/ol.20.000767 http://dx.doi.org/10.1364/ol.20.000767 Optical image encryption based on input plane and Fourier plane random encoding SITU G H ， ZHANG J J . Double random-phase encoding in the Fresnel domain ［J］. Optics Letters ， 2004 ， 29 （ 14 ）： 1584 - 1586 . doi: 10.1364/ol.29.001584 http://dx.doi.org/10.1364/ol.29.001584 Double random-phase encoding in the Fresnel domain CHEN L F ， ZHAO D M . Optical color image encryption by wavelength multiplexing and lensless Fresnel transform holograms ［J］. Optics Express ， 2006 ， 14 （ 19 ）： 8552 - 8560 . doi: 10.1364/oe.14.008552 http://dx.doi.org/10.1364/oe.14.008552 Optical color image encryption by wavelength multiplexing and lensless Fresnel transform holograms LI C L ， LI H M ， LI F D ， et al . Multiple-image encryption by using robust chaotic map in wavelet transform domain ［J］. Optik ， 2018 ， 171 ： 277 - 286 . doi: 10.1016/j.ijleo.2018.06.029 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijleo.2018.06.029 Multiple-image encryption by using robust chaotic map in wavelet transform domain MARRON J C ， KENDRICK R L ， SELDOMRIDGE N ， et al . Atmospheric turbulence correction using digital holographic detection： experimental results ［J］. Optics Express ， 2009 ， 17 （ 14 ）： 11638 - 11651 . doi: 10.1364/oe.17.011638 http://dx.doi.org/10.1364/oe.17.011638 Atmospheric turbulence correction using digital holographic detection： experimental results 王雪 ， 刘虹遥 ， 路鑫超 ， 等 . 无透镜全息显微细胞成像 ［J］. 光学 精密工程 ， 2020 ， 28 （ 8 ）： 1644 - 1650 . 无透镜全息显微细胞成像 WANG X ， LIU H Y ， LU X CH ， et al . Cell imaging by holographic lens-free microscopy ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2020 ， 28 （ 8 ）： 1644 - 1650 . （in Chinese） Cell imaging by holographic lens-free microscopy 纵浩天 ， 张运海 ， 王发民 ， 等 . 大视场线扫描共聚焦全息显微成像 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 1 ）： 1 - 9 . doi: 10.37188/OPE.20212901.0001 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212901.0001 大视场线扫描共聚焦全息显微成像 ZONG H T ， ZHANG Y H ， WANG F M ， et al . Large field of view line-scanning confocal holographic microscopy ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 1 ）： 1 - 9 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212901.0001 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212901.0001 Large field of view line-scanning confocal holographic microscopy SINGH N ， SINHA A . Optical image encryption using fractional Fourier transform and chaos ［J］. Optics and Lasers in Engineering ， 2008 ， 46 （ 2 ）： 117 - 123 . doi: 10.1016/j.optlaseng.2007.09.001 http://dx.doi.org/10.1016/j.optlaseng.2007.09.001 Optical image encryption using fractional Fourier transform and chaos SUI L S ， DUAN K K ， LIANG J L ， et al . Asymmetric double-image encryption based on cascaded discrete fractional random transform and logistic maps ［J］. Optics Express ， 2014 ， 22 （ 9 ）： 10605 - 10621 . doi: 10.1364/oe.22.010605 http://dx.doi.org/10.1364/oe.22.010605 Asymmetric double-image encryption based on cascaded discrete fractional random transform and logistic maps 金聪 ， 刘会 . 量子混沌与折叠算法的图像加密系统 ［J］. 光学 精密工程 ， 2017 ， 25 （ 3 ）： 749 - 755 . doi: 10.3788/ope.20172503.0749 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20172503.0749 量子混沌与折叠算法的图像加密系统 JIN C ， LIU H . An image encryption scheme based on quantum chaos and folding algorithm ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2017 ， 25 （ 3 ）： 749 - 755 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20172503.0749 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20172503.0749 An image encryption scheme based on quantum chaos and folding algorithm 郭媛 ， 王充 . 改进Zigzag遍历与哈希的Lorenz混沌构建 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 2 ）： 411 - 419 . doi: 10.37188/ope.20212902.0411 http://dx.doi.org/10.37188/ope.20212902.0411 改进Zigzag遍历与哈希的Lorenz混沌构建 GUO Y ， WANG CH . Improved Zigzag traversal and Lorenz chaotic construction of hash ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 2 ）： 411 - 419 . （in Chinese） . doi: 10.37188/ope.20212902.0411 http://dx.doi.org/10.37188/ope.20212902.0411 Improved Zigzag traversal and Lorenz chaotic construction of hash SUN X R ， HU T ， MA L H ， et al . The encryption and decryption technology with chaotic iris and compressed sensing based on computer-generated holography ［J］. Journal of Optics ， 2022 ， 51 （ 1 ）： 124 - 132 . doi: 10.1007/s12596-021-00750-7 http://dx.doi.org/10.1007/s12596-021-00750-7 The encryption and decryption technology with chaotic iris and compressed sensing based on computer-generated holography MA L H ， SUN X R ， JIN W M . Symmetric-asymmetric hybrid encryption and decryption system based on chaotic iris phase mask and computer-generated holography ［J］. Optical Engineering ， 2020 ， 59 （ 8 ）： 083106 . doi: 10.1117/1.oe.59.8.083106 http://dx.doi.org/10.1117/1.oe.59.8.083106 Symmetric-asymmetric hybrid encryption and decryption system based on chaotic iris phase mask and computer-generated holography QIN W ， PENG X . Asymmetric cryptosystem based on phase-truncated Fourier transforms ［J］. Optics Letters ， 2010 ， 35 （ 2 ）： 118 - 120 . doi: 10.1364/ol.35.000118 http://dx.doi.org/10.1364/ol.35.000118 Asymmetric cryptosystem based on phase-truncated Fourier transforms MA L ， WANG Y H ， TAN T N . Iris recognition using circular symmetric filters ［C］. 2002 International Conference on Pattern Recognition . 1115，2002 ， Quebec City ， QC， Canada . IEEE ， 2002 ： 414 - 417 . Iris recognition using circular symmetric filters TASHIMA H ， TAKEDA M ， SUZUKI H ， et al . Known plaintext attack on double random phase encoding using fingerprint as key and a method for avoiding the attack ［J］. Optics Express ， 2010 ， 18 （ 13 ）： 13772 - 13781 . doi: 10.1364/oe.18.013772 http://dx.doi.org/10.1364/oe.18.013772 Known plaintext attack on double random phase encoding using fingerprint as key and a method for avoiding the attack SOLIMAN R F ， BANBY G MEL ， ALGARNI A D ， et al . Double random phase encoding for cancelable face and iris recognition ［J］. Applied Optics ， 2018 ， 57 （ 35 ）： 10305 - 10316 . doi: 10.1364/ao.57.010305 http://dx.doi.org/10.1364/ao.57.010305 Double random phase encoding for cancelable face and iris recognition MA L H ， JIN W M . Symmetric and asymmetric hybrid cryptosystem based on compressive sensing and computer generated holography ［J］. Optics Communications ， 2018 ， 407 ： 51 - 56 . doi: 10.1016/j.optcom.2017.08.047 http://dx.doi.org/10.1016/j.optcom.2017.08.047 Symmetric and asymmetric hybrid cryptosystem based on compressive sensing and computer generated holography SIMONYAN K ， VEDALDI A ， ZISSERMAN A . Learning local feature descriptors using convex optimisation ［J］. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence ， 2014 ， 36 （ 8 ）： 1573 - 1585 . doi: 10.1109/tpami.2014.2301163 http://dx.doi.org/10.1109/tpami.2014.2301163 Learning local feature descriptors using convex optimisation SZEGEDY C ， LIU W ， JIA Y Q ， et al . Going deeper with convolutions ［C］. 2015 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition （CVPR）. 712，2015 ， Boston， MA， USA. IEEE ， 2015 ： 1 - 9 . doi: 10.1109/cvpr.2015.7298594 http://dx.doi.org/10.1109/cvpr.2015.7298594 Going deeper with convolutions HE K M ， ZHANG X Y ， REN S Q ， et al . Deep residual learning for image recognition ［C］. 2016 IEEE Conference on Computer Vision and Pattern Recognition （CVPR）. 2730，2016 ， Las Vegas， NV， USA. IEEE ， 2016 ： 770 - 778 . doi: 10.1109/cvpr.2016.90 http://dx.doi.org/10.1109/cvpr.2016.90 Deep residual learning for image recognition 刘航 ， 肖永亮 ， 田军龙 ， 等 . 基于深度学习的离轴菲涅耳数字全息非线性重构 ［J］. 光子学报 ， 2020 ， 49 （ 7 ）： 199 - 210 . doi: 10.3788/gzxb20204907.0709001 http://dx.doi.org/10.3788/gzxb20204907.0709001 基于深度学习的离轴菲涅耳数字全息非线性重构 LIU H ， XIAO Y L ， TIAN J L ， et al . Nonlinear reconstruction for off-axis Fresnel digital holography with deep learning ［J］. Acta Photonica Sinica ， 2020 ， 49 （ 7 ）： 199 - 210 . （in Chinese） . doi: 10.3788/gzxb20204907.0709001 http://dx.doi.org/10.3788/gzxb20204907.0709001 Nonlinear reconstruction for off-axis Fresnel digital holography with deep learning WANG K Q ， QIAN K M ， DI J L ， et al . Y4-Net： a deep learning solution to one-shot dual-wavelength digital holographic reconstruction ［J］. Optics Letters ， 2020 ， 45 （ 15 ）： 4220 - 4223 . doi: 10.1364/ol.395445 http://dx.doi.org/10.1364/ol.395445 Y4-Net： a deep learning solution to one-shot dual-wavelength digital holographic reconstruction YIN D ， GU Z Z ， ZHANG Y R ， et al . Digital holographic reconstruction based on deep learning framework with unpaired data ［J］. IEEE Photonics Journal ， 2019 ， 12 （ 2 ）： 1 - 12 . doi: 10.1109/jphot.2019.2961137 http://dx.doi.org/10.1109/jphot.2019.2961137 Digital holographic reconstruction based on deep learning framework with unpaired data HAI H ， PAN S X ， LIAO M H ， et al . Cryptanalysis of random-phase-encoding-based optical cryptosystem via deep learning ［J］. Optics Express ， 2019 ， 27 （ 15 ）： 21204 - 21213 . doi: 10.1364/oe.27.021204 http://dx.doi.org/10.1364/oe.27.021204 Cryptanalysis of random-phase-encoding-based optical cryptosystem via deep learning 徐昭 ， 周昕 ， 白星 ， 等 . 基于深度学习的相位截断傅里叶变换非对称加密系统攻击方法 ［J］. 物理学报 ， 2021 ， 70 （ 14 ）： 226 - 232 . doi: 10.7498/aps.70.20202075 http://dx.doi.org/10.7498/aps.70.20202075 基于深度学习的相位截断傅里叶变换非对称加密系统攻击方法 XU ZH ， ZHOU X ， BAI X ， et al . Attacking asymmetric cryptosystem based on phase truncated Fourier fransform by deep learning ［J］. Acta Physica Sinica ， 2021 ， 70 （ 14 ）： 226 - 232 . （in Chinese） . doi: 10.7498/aps.70.20202075 http://dx.doi.org/10.7498/aps.70.20202075 Attacking asymmetric cryptosystem based on phase truncated Fourier fransform by deep learning 徐昭 ， 周昕 ， 白星 ， 等 . 基于深度学习的混沌加密灰度图像重建方法 ［J］. 光学与光电技术 ， 2021 ， 19 （ 3 ）： 75 - 81 . 基于深度学习的混沌加密灰度图像重建方法 XU ZH ， ZHOU X ， BAI X ， et al . Reconstruction of chaotic grayscale image encryption based on deep learning ［J］. Optics & Optoelectronic Technology ， 2021 ， 19 （ 3 ）： 75 - 81 . （in Chinese） Reconstruction of chaotic grayscale image encryption based on deep learning LEE Y T C ， FANG Y C ， TIEN C H . Deep neural network for coded mask cryptographical imaging ［J］. Applied Optics ， 2021 ， 60 （ 6 ）： 1686 - 1693 . doi: 10.1364/ao.415120 http://dx.doi.org/10.1364/ao.415120 Deep neural network for coded mask cryptographical imaging LIAO M H ， ZHENG S S ， PAN S X ， et al . Deep-learning-based ciphertext-only attack on optical double random phase encryption ［J］. Opto-Electronic Advances ， 2021 ， 4 （ 5 ）： 200016 . doi: 10.29026/oea.2021.200016 http://dx.doi.org/10.29026/oea.2021.200016 Deep-learning-based ciphertext-only attack on optical double random phase encryption WANG X G ， WEI H Y . Cryptanalysis of compressive interference-based optical encryption using a U-net deep learning network ［J］. Optics Communications ， 2022 ， 507 ： 127641 . doi: 10.1016/j.optcom.2021.127641 http://dx.doi.org/10.1016/j.optcom.2021.127641 Cryptanalysis of compressive interference-based optical encryption using a U-net deep learning network JIN M X ， WANG W Q ， WANG X G . Optical color image cryptosystem based on interference principle and deep learning ［J］. Optik ， 2022 ， 251 ： 168474 . doi: 10.1016/j.ijleo.2021.168474 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijleo.2021.168474 Optical color image cryptosystem based on interference principle and deep learning WANG S Y ， HONG L ， JIANG J . An image encryption scheme using a chaotic neural network and a network with multistable hyperchaos ［J］. Optik ， 2022 ， 268 ： 169758 . doi: 10.1016/j.ijleo.2022.169758 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijleo.2022.169758 An image encryption scheme using a chaotic neural network and a network with multistable hyperchaos WANG F ， NI R J ， WANG J ， et al . Invertible encryption network for optical image cryptosystem ［J］. Optics and Lasers in Engineering ， 2022 ， 149 ： 106784 . doi: 10.1016/j.optlaseng.2021.106784 http://dx.doi.org/10.1016/j.optlaseng.2021.106784 Invertible encryption network for optical image cryptosystem ZHANG L ， WANG Y ， LI D H ， et al . Cryptanalysis for a light-field 3D cryptosystem based on M-cGAN ［J］. Optics Letters ， 2021 ， 46 （ 19 ）： 4916 - 4919 . doi: 10.1364/ol.436049 http://dx.doi.org/10.1364/ol.436049 Cryptanalysis for a light-field 3D cryptosystem based on M-cGAN WANG X G ， WANG W Q ， WEI H Y ， et al . Holographic and speckle encryption using deep learning ［J］. Optics Letters ， 2021 ， 46 （ 23 ）： 5794 - 5797 . doi: 10.1364/ol.443398 http://dx.doi.org/10.1364/ol.443398 Holographic and speckle encryption using deep learning 10.37188/OPE.20233103.0417 O438.1 TP309.7 A 1004-924X（2023）03-0417-12 胡涛,孙雪茹,金伟民.基于神经网络的混沌虹膜相位掩模计算全息加密图像恢复[J].光学精密工程,2023,31(03):417-428. 胡涛,孙雪茹,金伟民.基于神经网络的混沌虹膜相位掩模计算全息加密图像恢复[J].光学精密工程,2023,31(03):417-428. HU Tao,SUN Xueru,JIN Weimin.Neural network-based computational holographic encryption image reconstruction scheme for chaotic iris phase mask[J].Optics and Precision Engineering,2023,31(03):417-428. HU Tao,SUN Xueru,JIN Weimin.Neural network-based computational holographic encryption image reconstruction scheme for chaotic iris phase mask[J].Optics and Precision Engineering,2023,31(03):417-428. 国家自然科学基金资助项目（No.61377010，No.61205012）；浙江省自然科学基金资助项目（No.LY17F050002） 2022-05-20 2022-07-11 2023-02-10 2023-02-15 光学精密工程 3 31