Fiber Bragg grating based 3D flutter deformation measurement of flapping wing robot

基于光纤布拉格光栅的扑翼机器人三维扑动变形测量 Fiber Bragg grating based 3D flutter deformation measurement of flapping wing robot 1 2 corresp first-author E-mail： yongxing_guo@wust.edu.cn E-mail： yongxing_guo@wust.edu.cn 郭永兴（1986-），男，河南汝南人，博士，副教授，博士生导师，IEEE高级会员，2014年于武汉理工大学光纤传感技术国家工程实验室获得博士学位，主要从事机器人光纤智能感知技术、光纤光栅传感理论与测试技术方面的研究。E-mail：yongxing_guo@wust.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439224&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439230&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439237&type= 20.47900009 29.24500275 郭永兴 （1986-），男，河南汝南人，博士，副教授，博士生导师，IEEE高级会员，2014年于武汉理工大学光纤传感技术国家工程实验室获得博士学位，主要从事机器人光纤智能感知技术、光纤光栅传感理论与测试技术方面的研究。E-mail： yongxing_guo@wust.edu.cn yongxing_guo@wust.edu.cn 1 2 张 航（1998-），男，湖北仙桃人，硕士研究生，2019年于武汉科技大学获得学士学位，主要从事基于光纤光栅的形状测量技术的研究。E-mail：zhanghang0604@126.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439250&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439263&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439253&type= 20.46100235 28.57500076 张 航 （1998-），男，湖北仙桃人，硕士研究生，2019年于武汉科技大学获得学士学位，主要从事基于光纤光栅的形状测量技术的研究。E-mail： zhanghang0604@126.com zhanghang0604@126.com 3 1 武汉科技大学 冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉 430081 武汉科技大学 冶金装备及其控制教育部重点实验室，湖北 武汉 430081 Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control Technology， Ministry of Education， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China Key Laboratory of Metallurgical Equipment and Control Technology， Ministry of Education， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China 武汉科技大学 机械传动与制造工程湖北省重点实验室，湖北 武汉 430081 武汉科技大学 机械传动与制造工程湖北省重点实验室，湖北 武汉 430081 Hubei Key Laboratory of Mechanical Transmission and Manufacturing Engineering， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China Hubei Key Laboratory of Mechanical Transmission and Manufacturing Engineering， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China 武汉科技大学 精密制造研究院，湖北 武汉 430081 武汉科技大学 精密制造研究院，湖北 武汉 430081 Precision Manufacturing Institute， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China Precision Manufacturing Institute， Wuhan University of Science and Technology， Wuhan 430081， China 仿生扑翼飞行机器人的扑动变形测量对提高其飞行性能非常重要，而现有的数值仿真、立体视觉摄像和结构光投影等测量方法，存在边界条件难以确定、视觉遮挡等问题，因此提出了一种基于光纤光栅的接触式扑翼动态变形测量方法。设计了一种以聚酰亚胺薄膜为基底的光纤光栅柔性传感器，将柔性传感器以阵列的形式布设在扑翼表面监测翼面扑动的实时应变，并基于曲率的三维重建算法将实时应变数据重构为扑翼的实时三维形状。成功监测了一个室内稳定扑动周期内翼面的应变变化情况并开展三维变形分析，结果表明：扑翼扑动时翼面应变主要发生在支撑杆周围，下扑和上扑阶段的应变最大值分别为 - 50.6 με和98.1 με；翼面变形主要发生在翼面后缘，下扑和上扑阶段的变形最大值分别为 - 2.06 mm和4.02 mm。本研究为扑翼动态变形测量提供了技术支持，为提高扑翼机飞行性能提供了科学依据。 Bionic flapping-wing robots have become a global research hotspot because of their considerable potential in military and civilian applications. Measuring and analyzing the flapping deformation characteristics of flapping-wing robots are important for improving their flight performance， and these are challenging research topics in the field of flapping-wing robots. The existing measurement methods include numerical simulation， stereovision camera， and structured light projection measurement. There are problems with these techniques； e.g.， it is difficult to determine the boundary conditions， and visual occlusion occurs. Therefore， a dynamic deformation measurement method of contact flapping wing based on a fiber Bragg grating is proposed in this paper. A fiber Bragg grating flexible sensor based on a polyimide film is designed. The flexible sensor is arranged on the flapping-wing surface in the form of an array to monitor the real-time strain of the surface. The real-time strain data are reconstructed into the real-time three-dimensional （3D） shape of the flapping wing by using a reconstruction algorithm based on curvature. The strain variation of the wing surface in a stable flapping period is monitored. Then， a 3D deformation analysis is performed. The results indicate that the flapping-wing surface strain mainly occurs around the support rod， and the maximum value in the flapping stage is –50.6 με and 98.1 με， respectively. The deformation of the flapping-wing surface mainly occurs at the trailing edge of the wing surface， and the maximum values of flapping down and flapping up are –2.06 and 4.02 mm， respectively. This study provides a new measurement idea and technique for the dynamic deformation measurement of flapping wings. Deformation monitoring under outdoor flight conditions will be performed later to provide a scientific basis for improving the flight performance of ornithopters. 光纤传感 光纤布拉格光栅 扑翼机器人 三维重构 变形监测 optical fiber sensing fiber Bragg grating flapping wing robot three-dimensional reconstruction deformation monitoring 1 引 言 1 20世纪90年代，美国国防部高级研究计划局（DARPA）首次提出微型飞行器的概念，此后微型飞行器的研究兴起。根据飞行原理，微型飞行器大致分为固定翼型、旋翼型以及扑翼型 ［ 1 1 ］ 。其中，扑翼飞行器凭借着灵活的机动性、良好的隐蔽性、体积小、质量轻、价格低廉，适合大规模应用等特点，在军事和民用领域都有着巨大的应用前景 ［ 2 2 - 3 3 2-3 ］ 。然而，相对于昆虫或鸟类在飞行中展现的飞行效率、机动性和稳定性，目前人类研制的扑翼飞行器还存在较大差距。其中一个重要原因就是扑翼飞行器扑翼的扑动变形难以测量，无法了解其扑动变形特性，导致扑翼飞行器气动特性的优化以及飞行性能的提高存在难点。因此，测量和分析扑翼飞行器扑翼的扑动变形特性就显得至关重要。 目前，扑翼扑动变形监测方法主要有数值仿真 ［ 4 4 ］ 、立体视觉摄像 ［ 5 5 ］ 、结构光投影测量 ［ 6 6 ］ 等。2020年，高峰 ［ 7 7 ］ 等建立了鸟类飞行拟坐标形式的拉格朗日多刚体动力学模型，采用该模型研究了仿生扑翼飞行器的动力学特性。但绝大多数飞行生物体的翅膀是柔性的，相对于刚体扑翼，柔性扑翼在灵活性与气动性上具有更加优良的性能数值 ［ 8 8 - 9 9 8-9 ］ 。故数值仿真建立的简化模型在仿真后结果存在与实际情况误差较大的问题。2017年，付鹏 ［ 10 10 ］ 基于双光路间歇摄像的变形测量方法对扑翼变形进行了测量和重构，配合闪光灯使用使系统的测量能力大幅提升。2016年，Percin ［ 11 11 ］ 等利用立体视觉摄像的方法研究了扑翼飞行器在悬停飞行时的空气动力学特性，比较了扑翼在不同频率下的机翼运动学和变形特性，发现在高频扑动的情况下，扑翼在扑动时会产生更高的升力。2019年，Wehmann ［ 12 12 ］ 等基于面结构光投影技术，采用基恩士VR-3000型光学轮廓仪测量了昆虫翅膀的变形。但无论立体视觉摄像还是结构光投影测量技术，都存在无法监测扑翼快速扑动中的变形、标记点识别困难、分辨精度低、视线遮挡等问题。 针对现有技术存在的局限，本文利用光纤光栅对应变敏感、体积小、质量轻、可进行串联形成阵列的特点，提出一种将光纤光栅传感器阵列布置在扑翼飞行器的翼面上实现扑翼变形三维形状测量的方法。研究人员将光纤布拉格光栅（Fiber Bragg Grating， FBG）传感器阵列植入软体机器人、柔性蒙皮、手术探针或是内窥镜中，通过感知变形的曲率来重构它们的形状 ［ 13 13 - 15 15 13-15 ］ 。2018年，北京信息科技大学将光纤光栅布置在聚酰亚胺内制成薄膜机翼蒙皮 ［ 16 16 - 18 18 16-18 ］ ，将光纤光栅嵌入至两层硅橡胶中制成柔性蒙皮 ［ 19 19 ］ 等，利用基于曲率的三维重建方法来监测变形机翼的表面形状。2019年，Nahian ［ 20 20 ］ 等将FBG植入聚二甲基硅氧烷中组成弯曲传感器模块，通过该模块测量一种颅内软体机器人的偏转与弯曲。2019年，Jackle ［ 21 21 ］ 等基于FBG的跟踪系统建立三维传感模型，并应用在手术探针上来确定血管形状。 我们也对基于FBG的三维测量方法进行了前期研究，发现二氧化硅材质的FBG植入软体基体时，存在刚-柔材料间传递变形应变，易出现蠕变问题 ［ 22 22 ］ 。后续调配了性能更好的聚二甲基硅氧烷（Polydimethylsiloxane，PDMS）作为衬底，将FBG阵列植入软体基体制备了一种柔性传感器，该传感器可实现对复杂曲面的三维形状感知，曲率测量误差小于4.5% ［ 23 23 ］ 。基于前期研究，本文选用性能更佳、厚度更薄的聚酰亚胺作为衬底，制备了柔性传感器。将FBG阵列布设在扑翼表面，利用基于曲率的三维重构算法对扑翼表面进行三维重构，实现对扑翼扑动姿态的实时动态测量。 2 实 验 1 FBG是一种抗电磁干扰能力好、结构质量轻、对应变敏感且测量精度高的传感元件，一根光纤上可以刻蚀多个光栅，同时实现多点分布测量，在对变形机翼等柔性结构的三维形状测量方面有明显优势。 为实现扑翼扑动的实时三维形状测量，实验设计了一种以聚酰亚胺薄膜（厚0.1 mm）为基底的FBG柔性传感器，其结构如 图1 图1 所示。FBG的栅区置于聚酰亚胺薄膜表面并用树脂胶进行封装，在保护栅区的同时可以将薄膜的应变很好地传递到栅区上。将一根多栅区的聚合物FBG的每个栅区都与聚酰亚胺基底用树脂胶封装，形成一个多传感器串联的FBG柔性传感器。 翼型对扑翼扑动过程中的气动特性有很大影响。根据鸟类的翼型变化趋势及其结构，采用两段式扑翼结构，如 图2 图2 所示，扑翼的内翼展长为120 mm、外翼展长为185 mm、内外翼最大弦长为160 mm。内翼采用固定翼型支撑，外翼设计成翼面前缘平直后缘接近椭圆曲线的形状，有利于提高扑翼扑动时的升阻比系数。外翼设计中，由前缘支撑杆、翼根支撑杆及翼肋支撑杆构成三角区域，从而使扑翼扑动时翼面获得较大的升力与推力。支撑杆作为驱动件，为避免柔性翼面在扑动时出现塑性变形，翼面弯曲过大导致气动特性急剧下降的问题 ［ 24 24 ］ ，支撑杆选用刚度较大的环氧树脂碳纤维复合材料。翼面蒙皮材料选用有一定强度的聚酯薄膜来避免扑动过程中出现塑性变形。 扑动过程中，内翼翼面被四根刚性较大的支撑杆固定，其形变可以忽略，所以主要考虑外翼扑动时的翼面变形。由于扑翼扑动时受气流影响翼面有较大振动，翼面的形变测量存在较大误差，在翼面设置测点时，测点布设在振动较小的翅脉上，测点布设位置如 图3 图3 所示，测点FBG1至FBG9的中心波长分别为1 534，1 537，1 540，1 543，1 546，1 549，1 552，1 555，1 558 nm，FBG的带宽均为0.25 nm，反射率均为90%。9个测点分为3组，3组测点在3条柔性翅脉上等距分布，柔性传感器沿扑翼翅脉方向粘贴，分别测量三条翅脉的应变。 柔性传感器布设在测点上后开始搭建扑翼扑动变形监测系统。如 图4 图4 所示，整个扑翼扑动变形监测系统由扑翼机器人、FBG柔性传感器阵列、FBG解调器和计算机组成。扑翼机器人扑动翼面产生形变，FBG柔性传感器阵列将应变以波长变化的形式传输到FBG解调器中，解调器将解调的波长变化数据传输到波长采集系统进行存储。波长数据是通过MATLAB抓取后，将波长变化数据转换为各测点的曲率数据，最后通过三维重构算法拟合出扑翼翼面的三维形状，其原理如 图5 图5 所示。其中，监测系统的解调精度为±3 pm，解调频率为0~5 000 Hz（实验采用100 Hz），解调带宽为80 nm（1 525~1 605 nm），解调分辨率为0.1 pm。 由于扑翼扑动是一个周期的过程，这里将扑翼的扑动周期设置为1 s，当扑翼扑动处于稳定状态时，如 图6 图6 所示（以FBG1为例），可以看到，此时扑翼每个扑动周期的应变变化情况基本相同。取一个周期的扑动过程进行分析，通过柔性传感器的监测可以分析测点位置的应变变化。由于扑翼扑动是一个连续的过程，为便于分析扑翼表面的变形情况，将这个过程离散化，每隔0.1 s截取固定时刻的翼面三维形状，分析该时刻的扑翼表面变形。 3 扑翼变形的三维重构算法 1 3.1　检测原理 2 FBG是通过紫外线的热加工作用，在光纤内部形成一段折射率按一定规律分布的部分。当带宽光源通过光纤纤芯传输时，通过栅区时带宽光会有一部分被反射。根据FBG的耦合模理论，反射光谱的中心波长与栅格周期之间的关系为： <math display="block" id="M1"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow></msub><mi>Λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439358&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439368&type= 17.10266685 3.72533321 ， 式中： <math id="M2"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439376&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439363&type= 3.30200005 3.72533321 为反射光谱的中心波长， <math id="M3"><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439386&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439379&type= 4.14866638 3.72533321 为光纤的有效折射率， <math id="M4"><mi>Λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439393&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439398&type= 2.70933342 2.79399991 为栅区折射率周期。 当外力以及外界温度改变时，反射光谱的中心波长会发生漂移，当外界温度恒定时，光栅反射光谱的中心波长漂移量 <math id="M5"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439406&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439394&type= 5.75733376 3.72533321 与光栅的应变量 <math id="M6"><mi>ε</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439419&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439416&type= 1.43933344 2.79399991 之间的关系为： <math display="block" id="M7"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>ε</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439428&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439422&type= 26.24666595 8.38199997 ， 式中： <math id="M8"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439434&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439431&type= 3.64066648 3.72533321 为光栅的弹光系数，在室温条件下（25 ℃）约为0.22。 3.2　波长漂移量的曲率变换 2 基于光纤光栅的扑翼变形监测中，扑翼运动产生形变，形变传导到布设在翼膜表面的光栅上，引起光栅中心波长漂移量的变化。截取光栅测点位置一段长度为 <math id="M9"><mi>l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439654&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439653&type= 1.26999998 2.79399991 ，厚度为 <math id="M10"><mi>h</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439595&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439612&type= 1.94733346 2.79399991 的微段。当FBG处于自然状态时，其状态如 图7 图7 （a）所示；当光纤光栅受应变发生弯曲时，假设该微段满足理想条件，则其弯曲状态如 图7 图7 （b）所示。其中，虚线代表微段的中性面，中性面上部分受到拉应力作用而伸长，下部分受到压应力作用而缩短，中性面则保持长度不变。 由 图7 图7 可以得出： <math display="block" id="M11"><mi>l</mi><mo>=</mo><mi>ρ</mi><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439471&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439482&type= 9.73666668 3.64066648 ， <math display="block" id="M12"><mi>l</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mi>ρ</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439494&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439487&type= 29.63333130 9.22866726 . 由上述两式可得： <math display="block" id="M13"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439510&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439496&type= 15.23999977 8.80533314 ， 其中： <math id="M14"><mi>h</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439516&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439501&type= 1.94733346 2.79399991 为微段的厚度，也是光纤光栅裸纤的直径。令 <math id="M15"><mi>k</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>ρ</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439523&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439521&type= 9.05933285 8.72066593 ，为微段的曲率； <math id="M16"><mi>ε</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>l</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439529&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439526&type= 10.66800022 7.95866632 ，为微段的应变，可推导出FBG微段的应变与曲率之间的关系： <math display="block" id="M17"><mi>k</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></mfrac><mi>ε</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439551&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439548&type= 11.26066685 7.87400007 . 由 式（2） 式（2） 推导得到FBG中心波长 <math id="M18"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439545&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439555&type= 5.75733376 3.72533321 与曲率 <math id="M19"><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439635&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439633&type= 1.69333339 2.79399991 之间的关系为： <math display="block" id="M20"><mi>k</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>h</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439569&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439580&type= 26.75466537 8.63599968 ， 式中： <math id="M21"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439588&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439585&type= 3.30200005 3.72533321 ， <math id="M22"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439608&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439590&type= 3.64066648 3.72533321 以及 <math id="M23"><mi>h</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439595&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439612&type= 1.94733346 2.79399991 均为常数，故FBG的中心波长 <math id="M24"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439616&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439597&type= 5.75733376 3.72533321 与曲率 <math id="M25"><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439635&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439633&type= 1.69333339 2.79399991 之间为线性关系。 3.3　曲率重构原理 2 通过布置在翼膜表面的FBG阵列采集计算得到的曲率仅是翼膜表面上离散的点，为使曲率重构得到整个翼膜表面的变形，须将同一翅脉上离散的曲率数据连续化。 由于曲率与曲线之间是二阶导数的关系，故当曲线的曲率连续时，该曲线的二阶导数连续，则该曲线是连续且光滑的。因此，将FBG阵列的两个相邻测点的曲率进行线性插值就可以得到足够多的曲率数据来保证曲线的连续性。 假定翼面上相邻两个测点的曲率分别为 <math id="M26"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439792&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439790&type= 2.45533323 3.72533321 与 <math id="M27"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439782&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439780&type= 6.01133299 3.72533321 ，两侧点长度间隔为 <math id="M28"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439630&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439641&type= 28.10933495 4.48733330 。假设相邻两测点间的曲率 <math id="M29"><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439635&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439633&type= 1.69333339 2.79399991 与测点到原点之间的距离 <math id="M30"><mi>l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439654&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439653&type= 1.26999998 2.79399991 是线性关系，即： <math display="block" id="M31"><mi>k</mi><mo>=</mo><mi>m</mi><mi>l</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439668&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439651&type= 17.18733406 2.96333337 . 为确定 <math id="M32"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439672&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439670&type= 2.87866688 2.79399991 与 <math id="M33"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439663&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439661&type= 1.86266661 2.79399991 两个系数的值，将 <math id="M34"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439677&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439665&type= 2.45533323 3.72533321 ， <math id="M35"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439782&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439780&type= 6.01133299 3.72533321 和 <math id="M36"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439688&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439686&type= 1.94733346 3.72533321 ， <math id="M37"><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439700&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439699&type= 5.50333309 3.72533321 代入 式（8） 式（8） 可得： <math display="block" id="M38"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>m</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>n</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439706&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439703&type= 30.39533424 19.38866615 . 以向量的方式描述曲线方程，得到： <math display="block" id="M39"><mi>r</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439713&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439709&type= 51.90066528 10.07533360 . 将 式（10） 式（10） 进行两次微分可得： <math display="block" id="M40"><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>r</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>φ</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>l</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>φ</mi><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>l</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439719&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439715&type= 35.30599976 18.45733452 ， 式中： <math id="M41"><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439829&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439848&type= 2.37066650 3.72533321 为曲线切向量与 <math id="M42"><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439847&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439845&type= 2.20133328 2.79399991 轴正向的夹角； <math id="M43"><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>l</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439725&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439723&type= 16.34066582 7.95866632 为曲线的曲率，根据该式得到： <math display="block" id="M44"><mi>φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>s</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mi>m</mi><msup><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>n</mi><mi>l</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439736&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439726&type= 51.73133087 7.87400007 ， 式中积分常数 <math id="M45"><mi>c</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439745&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439737&type= 1.52400005 2.79399991 可以由边界条件推导。 对于两个相邻测点间的曲线，可以将该段曲线分割为多段微元弧，如 图8 图8 所示。在第 <math id="M46"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439741&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439746&type= 1.10066664 2.79399991 段微元弧上，有下列关系成立： <math display="block" id="M47"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439759&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439758&type= 11.76866722 8.38199997 ， <math display="block" id="M48"><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439752&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439761&type= 26.24666595 9.22866726 ， <math display="block" id="M49"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439754&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439764&type= 12.27666664 3.72533321 ， <math display="block" id="M50"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439756&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439755&type= 36.40666580 20.91266632 . 图8 图8 中， <math id="M51"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439792&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439790&type= 2.45533323 3.72533321 ， <math id="M52"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439782&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439780&type= 6.01133299 3.72533321 为曲线上相邻两点 <math id="M53"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439881&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439880&type= 3.64066648 4.14866638 ， <math id="M54"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439867&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439859&type= 7.19666624 4.14866638 的曲率， <math id="M55"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439819&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439818&type= 3.72533321 2.79399991 为两点间的弧长， <math id="M56"><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439787&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439786&type= 2.53999996 3.72533321 是 <math id="M57"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439819&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439818&type= 3.72533321 2.79399991 对应的圆心角， <math id="M58"><mi>d</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439834&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439816&type= 4.06400013 3.72533321 为两点间的弦长， <math id="M59"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439840&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439837&type= 2.70933342 3.72533321 ， <math id="M60"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439843&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439823&type= 6.26533365 3.72533321 分别为两点处的切向量，切向量与 <math id="M61"><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439847&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439845&type= 2.20133328 2.79399991 轴正向的夹角为 <math id="M62"><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439829&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439848&type= 2.37066650 3.72533321 ， <math id="M63"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439852&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439831&type= 5.24933338 3.72533321 与 <math id="M64"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439832&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439855&type= 5.07999992 4.57200003 是点 <math id="M65"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439867&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439859&type= 7.19666624 4.14866638 相当于点 <math id="M66"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439881&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439880&type= 3.64066648 4.14866638 的横纵坐标增量。 故从点 <math id="M67"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439881&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439880&type= 3.64066648 4.14866638 到点 <math id="M68"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439875&type= 7.19666624 4.14866638 坐标的递推公式为： <math display="block" id="M69"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439886&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=43439895&type= 26.16200066 9.65200043 . 已知曲线上各个点的坐标后，利用三维曲面拟合算法就可以拟合出整个扑翼表面。具体的三维重构算法流程如 图9 图9 所示。 4 实验结果与分析 1 根据上述实验方案，扑翼稳定扑动后一个周期内各个测点的应变如 图10 图10 所示，图中的应变值为相对于未扑动自然状态下的应变基准的变化量。 图10 图10 （a）中，向下扑动时，第一翅脉的应变不断增大，最大值出现在0.35 s时刻的FBG1测点处，最大值为 - 50.6 με。随后翼面应变迅速由负应变转变为正应变，扑翼向上扑动，应变最大值出现在扑动0.6 s时刻的FBG1测点处，最大值为98.1 με。在整个扑动周期内，FBG1，FBG2和FBG3测点处的应变变化曲线趋势一致，其变化幅值逐渐变小。说明在扑翼扑动时，越靠近前缘支撑杆，翼面受到的应力越大。图 10 10 （b）和 10 10 （c）中，FBG5和FBG9测点处的应变变化趋势与 图10 图10 （a）中3处测点相同，而FBG4，FBG7和FBG8测点处的应变变化趋势则正好相反。在支撑杆围成的三角区域内，测点的应变变化趋势与三角区域范围外相反。 1;2;3; 综合分析整个翼面测点可知，在开始下扑时（0~0.2 s），由于扑动速度较小，翼面受到惯性力、重力以及气流的作用翼面存在抖动，翼面应变变化幅度较大的位置集中在FBG1测点附近，在支撑杆围成的三角区域内以及在翅脉尾端，应变变化幅度都较小。测点应变变化幅度沿翅脉和支撑杆逐渐减小，由此推测柔性翼面可以均匀翼面受到的应力，将局部所受应力分散到整个翼面。 在得到各个测点的应变变化情况后，根据应变与曲率之间的关系，将各个测点处的应变转化为曲率数据。利用插值算法将曲率连续化，基于曲率的三维重建算法，得到扑翼扑动时翼面的实时三维变形。为便于分析，将扑翼一个稳定的扑动周期离散化，在一个周期内截取十个时刻的翼面三维形状，如 图11 图11 所示。 在一个扑动周期内，扑翼先向下扑动，FBG3测点区域开始发生形变，随后形变扩展到FBG6测点附近。从0.1 s时刻到0.3 s时刻，翼面变形逐渐增大，在0.35 s时刻翼面向上扑动的形变达到最大值 - 2.06 mm，此时翼面形变主要集中在翼尖位置。随后翼面形变减小，翼面开始向下变形，扑翼向上扑动，从图 11 11 （e）和 11 11 （f）可以看出，扑翼形变区域集中在FBG3测点区域，在0.6 s时刻翼面变形达到最大值4.02 mm。从0.7 s时刻到0.9 s时刻，翼面的主要形变位置从FBG6测点处逐渐转移到FBG3测点位置，直到一个周期结束，翼面形变逐渐消失。 动态分析翼面变形可以发现，下扑阶段翼面变形会从翼尖后缘逐渐扩展到翼中后缘，最后集中在翼尖后缘，上扑阶段则相反。将翼面变形沿 Z 方向投影，可以看到由于上扑阶段的翼面形变要比下扑阶段大，上扑时翼面的迎风面积比下扑时翼面的迎风面积小，这种机制增大了扑翼扑动时的升阻比。 5 结 论 1 本文利用基于曲率的三维重建算法，监测了扑翼翼面的应变变化及实时三维变形，这种监测方法很好地解决了数值仿真中翼面的边界条件难以准确设定的问题，以及立体视觉摄像和结构光投影测量技术在监测扑翼动态变形中存在的视觉遮挡和无法实时测量的问题。根据翼面应变情况以及翼面的三维变形图可知，翼面的应变主要发生在靠近支撑杆的周围，下扑和上扑阶段的最大应变均发生在FBG1测点处，分别为 - 50.6 με和98.1 με。翼尖和翼面后缘部分在整个扑动周期内应变较小，基本保持平整的状态。应变由翼尖测点向翼根测点逐渐衰减，由此推测柔性翼可以分散翼面局部所受的应力，进而提高飞行的稳定性。翼面的变形主要集中在翼尖和翼面后缘部分，下扑和上扑阶段的最大形变均发生在FBG3测点处，分别为 - 2.06 mm和4.02 mm。上扑阶段的翼面变形区域较下扑阶段大，这说明扑翼飞行的升力产生机理。翼面形变存在一个周期性的过程，可以明显地观察到翼面形变的变化机制，对分析扑翼的飞行机理有着重要的参考作用。 本实验的变形测量精度也存在许多影响因素，如扑翼机扑动时连杆运动产生的振动、监测系统中解调器的解调精度、三维重构算法的精度以及实验采取的FBG温度补偿精度。目前，研究也只能测量一个弯曲方向的应变，测点数量较少，无法精确测量扑翼扑动变形，并且测量局限于室内。下一步研究将采取FBG正交布置测量应变，增加翼面表面测点，实施室外放飞的扑动变形测量，对扑动变形实施精细、无空间约束的动态监测。 参考文献 袁昌盛 ， 付金华 . 国际上微型飞行器的研究进展与关键问题 ［J］. 航空兵器 ， 2005 ， 12 （ 6 ）： 50 - 53 . doi: 10.3969/j.issn.1673-5048.2005.06.013 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1673-5048.2005.06.013 国际上微型飞行器的研究进展与关键问题 YUAN CH SH ， FU J H . Development and key technique of micro air vehicles ［J］. Aero Weaponry ， 2005 ， 12 （ 6 ）： 50 - 53 . （in Chinese） . doi: 10.3969/j.issn.1673-5048.2005.06.013 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1673-5048.2005.06.013 Development and key technique of micro air vehicles MADANGOPAL R ， KHAN Z A ， AGRAWAL S K . Biologically inspired design of small flapping wing air vehicles using four-bar mechanisms and quasi-steady aerodynamics ［J］. Journal of Mechanical Design ， 2005 ， 127 （ 4 ）： 809 - 816 . doi: 10.1115/1.1899690 http://dx.doi.org/10.1115/1.1899690 Biologically inspired design of small flapping wing air vehicles using four-bar mechanisms and quasi-steady aerodynamics MADANGOPAL R ， KHAN Z A ， AGRAWAL S K . Energetics-based design of small flapping-wing micro air vehicles ［J］. ASME Transactions on Mechatronics ， 2006 ， 11 （ 4 ）： 433 - 438 . doi: 10.1109/tmech.2006.878525 http://dx.doi.org/10.1109/tmech.2006.878525 Energetics-based design of small flapping-wing micro air vehicles LIU L ， LI H D ， ANG H S ， et al . Numerical investigation of flexible flapping wings using computational fluid dynamics/computational structural dynamics method ［J］. Proceedings of the Institution of Mechanical Engineers， Part G： Journal of Aerospace Engineering ， 2018 ， 232 （ 1 ）： 85 - 95 . doi: 10.1177/0954410016671343 http://dx.doi.org/10.1177/0954410016671343 Numerical investigation of flexible flapping wings using computational fluid dynamics/computational structural dynamics method VAN TRUONG T ， NGUYEN Q V ， LEE H . Bio-inspired flexible flapping wings with elastic deformation ［J］. Aerospace ， 2017 ， 4 （ 3 ）： 37 . doi: 10.3390/aerospace4030037 http://dx.doi.org/10.3390/aerospace4030037 Bio-inspired flexible flapping wings with elastic deformation ZHANG G J ， SUN J H ， CHEN D Z ， et al . Flapping motion measurement of honeybee bilateral wings using four virtual structured-light sensors ［J］. Sensors and Actuators A： Physical ， 2008 ， 148 （ 1 ）： 19 - 27 . doi: 10.1016/j.sna.2008.06.025 http://dx.doi.org/10.1016/j.sna.2008.06.025 Flapping motion measurement of honeybee bilateral wings using four virtual structured-light sensors 高峰 ， 蒋国江 ， 丰志伟 ， 等 . 仿生变形飞行器多体动力学建模与仿真 ［J］. 系统仿真技术 ， 2020 ， 16 （ 1 ）： 32 - 36， 45 . doi: 10.3969/j.issn.1673-1964.2020.01.008 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1673-1964.2020.01.008 仿生变形飞行器多体动力学建模与仿真 GAO F ， JIANG G J ， FENG ZH W ， et al . Dynamic modeling and simulation of morphing aerocraft ［J］. System Simulation Technology ， 2020 ， 16 （ 1 ）： 32 - 36， 45 . （in Chinese） . doi: 10.3969/j.issn.1673-1964.2020.01.008 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1673-1964.2020.01.008 Dynamic modeling and simulation of morphing aerocraft 周超英 ， 朱建阳 ， 汪超 ， 等 . 柔性扑翼气动性能的数值研究 ［J］. 工程力学 ， 2013 ， 30 （ 5 ）： 13 - 18 . doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.01.0028 http://dx.doi.org/10.6052/j.issn.1000-4750.2012.01.0028 柔性扑翼气动性能的数值研究 ZHOU CH Y ， ZHU J Y ， WANG CH ， et al . Numerical study on the effect of flexiblity of a flapping wing on its aerodynamic performance ［J］. Engineering Mechanics ， 2013 ， 30 （ 5 ）： 13 - 18 . （in Chinese） . doi: 10.6052/j.issn.1000-4750.2012.01.0028 http://dx.doi.org/10.6052/j.issn.1000-4750.2012.01.0028 Numerical study on the effect of flexiblity of a flapping wing on its aerodynamic performance 段文博 ， 昂海松 ， 肖天航 . 主动变形扑翼飞行器的设计和风洞测力试验研究 ［J］. 航空学报 ， 2013 ， 34 （ 3 ）： 474 - 486 . 主动变形扑翼飞行器的设计和风洞测力试验研究 DUAN W B ， ANG H S ， XIAO T H . Design and wind tunnel test of an active morphing wing ornithopter ［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica ， 2013 ， 34 （ 3 ）： 474 - 486 . （in Chinese） Design and wind tunnel test of an active morphing wing ornithopter 付鹏 . 微型扑翼飞行器风洞实验方法与应用研究 ［D］. 西安 ： 西北工业大学 ， 2017 . 微型扑翼飞行器风洞实验方法与应用研究 FU P . Research on Wind Tunnel Experimental Method and Application of Flapping-Wing Micro Air Vehicle ［D］. Xi'an ： Northwestern Polytechnical University ， 2017 . （in Chinese） Research on Wind Tunnel Experimental Method and Application of Flapping-Wing Micro Air Vehicle PERCIN M ， VAN OUDHEUSDEN B W ， DE CROON G C H E ， et al . Force generation and wing deformation characteristics of a flapping-wing micro air vehicle ‘DelFl y II’ in hovering flight ［J］. Bioinspiration & Biomimetics ， 2016 ， 11 （ 3 ）： 036014 . doi: 10.1088/1748-3190/11/3/036014 http://dx.doi.org/10.1088/1748-3190/11/3/036014 Force generation and wing deformation characteristics of a flapping-wing micro air vehicle ‘DelFly II’ in hovering flight WEHMANN H N ， HEEPE L ， GORB S N ， et al . Local deformation and stiffness distribution in fly wings ［J］. Biology Open ， 2019 ， 8 （ 1 ）： bio038299 . doi: 10.1242/bio.038299 http://dx.doi.org/10.1242/bio.038299 Local deformation and stiffness distribution in fly wings 王超 . 基于光纤光栅传感器的软体机械臂三维形状检测方法 ［J］. 化工自动化及仪表 ， 2015 ， 42 （ 10 ）： 1130 - 1133 . doi: 10.3969/j.issn.1000-3932.2015.10.016 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1000-3932.2015.10.016 基于光纤光栅传感器的软体机械臂三维形状检测方法 WANG CH . 3D shapes detecting method of soft manipulator based on fiber Bragg grating sensor ［J］. Control and Instruments in Chemical Industry ， 2015 ， 42 （ 10 ）： 1130 - 1133 . （in Chinese） . doi: 10.3969/j.issn.1000-3932.2015.10.016 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1000-3932.2015.10.016 3D shapes detecting method of soft manipulator based on fiber Bragg grating sensor YI J C ， ZHU X J ， ZHANG H S ， et al . Spatial shape reconstruction using orthogonal fiber Bragg grating sensor array ［J］. Mechatronics ， 2012 ， 22 （ 6 ）： 679 - 687 . doi: 10.1016/j.mechatronics.2011.10.005 http://dx.doi.org/10.1016/j.mechatronics.2011.10.005 Spatial shape reconstruction using orthogonal fiber Bragg grating sensor array ROESTHUIS R J ， KEMP M ， VAN DEN DOBBELSTEEN J J ， et al . Three-dimensional needle shape reconstruction using an array of fiber Bragg grating sensors ［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics ， 2014 ， 19 （ 4 ）： 1115 - 1126 . doi: 10.1109/tmech.2013.2269836 http://dx.doi.org/10.1109/tmech.2013.2269836 Three-dimensional needle shape reconstruction using an array of fiber Bragg grating sensors 祝连庆 ， 孙广开 ， 李红 ， 等 . 智能柔性变形机翼技术的应用与发展 ［J］. 机械工程学报 ， 2018 ， 54 （ 14 ）： 28 - 42 . doi: 10.3901/JME.2018.14.028 http://dx.doi.org/10.3901/JME.2018.14.028 智能柔性变形机翼技术的应用与发展 ZHU L Q ， SUN G K ， LI H ， et al . Intelligent and flexible morphing wing technology： a review ［J］. Journal of Mechanical Engineering ， 2018 ， 54 （ 14 ）： 28 - 42 . （in Chinese） . doi: 10.3901/JME.2018.14.028 http://dx.doi.org/10.3901/JME.2018.14.028 Intelligent and flexible morphing wing technology： a review ZHUANG W ， SUN G K ， LI H ， et al . FBG based shape sensing of a silicone octopus tentacle model for soft robotics ［J］. Optik ， 2018 ， 165 ： 7 - 15 . doi: 10.1016/j.ijleo.2018.03.087 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijleo.2018.03.087 FBG based shape sensing of a silicone octopus tentacle model for soft robotics 张俊康 ， 孙广开 ， 李红 ， 等 . 变形机翼薄膜蒙皮形状监测光纤传感方法研究 ［J］. 仪器仪表学报 ， 2018 ， 39 （ 2 ）： 66 - 72 . doi: 10.13873/J.1000-9787(2018)10-0019-03 http://dx.doi.org/10.13873/J.1000-9787(2018)10-0019-03 变形机翼薄膜蒙皮形状监测光纤传感方法研究 ZHANG J K ， SUN G K ， LI H ， et al . Optical fiber shape sensing of polyimide skin for flexible morphing wing ［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument ， 2018 ， 39 （ 2 ）： 66 - 72 . （in Chinese） . doi: 10.13873/J.1000-9787(2018)10-0019-03 http://dx.doi.org/10.13873/J.1000-9787(2018)10-0019-03 Optical fiber shape sensing of polyimide skin for flexible morphing wing 曲道明 ， 孙广开 ， 李红 ， 等 . 变形机翼柔性蒙皮形状光纤传感及重构方法 ［J］. 仪器仪表学报 ， 2018 ， 39 （ 1 ）： 144 - 151 . 变形机翼柔性蒙皮形状光纤传感及重构方法 QU D M ， SUN G K ， LI H ， et al . Optical fiber sensing and reconstruction method for morphing wing flexible skin shape ［J］. Chinese Journal of Scientific Instrument ， 2018 ， 39 （ 1 ）： 144 - 151 . （in Chinese） Optical fiber sensing and reconstruction method for morphing wing flexible skin shape RAHMAN N ， DEATON N ， SHENG J ， et al . Modular FBG bending sensor for continuum neurosurgical robot ［J］. IEEE Robotics and Automation Letters ， 2019 ， 4 （ 2 ）： 1424 - 1430 . doi: 10.1109/lra.2019.2896451 http://dx.doi.org/10.1109/lra.2019.2896451 Modular FBG bending sensor for continuum neurosurgical robot JÄCKLE S ， EIXMANN T ， SCHULZ-HILDEBRANDT H ， et al . Fiber optical shape sensing of flexible instruments for endovascular navigation ［J］. International Journal of Computer Assisted Radiology and Surgery ， 2019 ， 14 （ 12 ）： 2137 - 2145 . doi: 10.1007/s11548-019-02059-0 http://dx.doi.org/10.1007/s11548-019-02059-0 Fiber optical shape sensing of flexible instruments for endovascular navigation 郭永兴 ， 杨跃辉 ， 熊丽 ， 等 . 植入光纤布拉格光栅的不同杨氏模量软体材料弯曲测量响应特性 ［J］. 光学 精密工程 ， 2020 ， 28 （ 8 ）： 1634 - 1643 . doi: 10.3788/OPE.20202808.1634 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20202808.1634 植入光纤布拉格光栅的不同杨氏模量软体材料弯曲测量响应特性 GUO Y X ， YANG Y H ， XIONG L ， et al . Response characteristics of fiber Bragg gratings embedded in soft materials with different Young's modulus for bending measurement ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2020 ， 28 （ 8 ）： 1634 - 1643 . （in Chinese） . doi: 10.3788/OPE.20202808.1634 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20202808.1634 Response characteristics of fiber Bragg gratings embedded in soft materials with different Young's modulus for bending measurement 郭永兴 ， 杨跃辉 ， 熊丽 . 双层正交的光纤布拉格光栅柔性形状传感技术 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 10 ）： 2306 - 2315 . doi: 10.37188/OPE.20212910.2306 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212910.2306 双层正交的光纤布拉格光栅柔性形状传感技术 GUO Y X ， YANG Y H ， XIONG L . Double-layer orthogonal fiber Bragg gratings flexible shape sensing technology ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 10 ）： 2306 - 2315 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212910.2306 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212910.2306 Double-layer orthogonal fiber Bragg gratings flexible shape sensing technology 张兴伟 ， 周超英 ， 谢鹏 . 扑翼柔性变形对悬停气动特性影响的数值研究 ［J］. 哈尔滨工业大学学报 ， 2012 ， 44 （ 1 ）： 115 - 119 . doi: 10.11918/j.issn.0367-6234.2012.01.023 http://dx.doi.org/10.11918/j.issn.0367-6234.2012.01.023 扑翼柔性变形对悬停气动特性影响的数值研究 ZHANG X W ， ZHOU CH Y ， XIE P . Numerical study on the effect of flapping wing deformation on aerodynamic performance in hovering flight ［J］. Journal of Harbin Institute of Technology ， 2012 ， 44 （ 1 ）： 115 - 119 . （in Chinese） . doi: 10.11918/j.issn.0367-6234.2012.01.023 http://dx.doi.org/10.11918/j.issn.0367-6234.2012.01.023 Numerical study on the effect of flapping wing deformation on aerodynamic performance in hovering flight 10.37188/OPE.20233109.1304 TP212.1 TP242.6 A 1004-924X（2023）09-1304-10 郭永兴,张航,熊丽等.基于光纤布拉格光栅的扑翼机器人三维扑动变形测量[J].光学精密工程,2023,31(09):1304-1313. 郭永兴,张航,熊丽等.基于光纤布拉格光栅的扑翼机器人三维扑动变形测量[J].光学精密工程,2023,31(09):1304-1313. GUO Yongxing,ZHANG Hang,XIONG Li,et al.Fiber Bragg grating based 3D flutter deformation measurement of flapping wing robot[J].Optics and Precision Engineering,2023,31(09):1304-1313. GUO Yongxing,ZHANG Hang,XIONG Li,et al.Fiber Bragg grating based 3D flutter deformation measurement of flapping wing robot[J].Optics and Precision Engineering,2023,31(09):1304-1313. 国家自然科学基金资助项目（No.52075397，No.52105558）；中国博士后科学基金资助项目（No.2020M682493） 2022-11-02 2022-12-07 2023-05-10 2023-05-15 37008324 光学精密工程 9 31