复合式二次边缘检测的红宝石球直径高精度测量 High precision measurement of ruby ball diameter by compound secondary edge detection 1 corresp first-author E-mail： 1132284644@qq. com E-mail： 1132284644@qq. com 高睿喆（1999-），女，陕西延安人，硕士研究生，2021年于华北科技学院获学士学位，主要从事机器视觉及光学检测方面的研究。E-mail： 11322846 44@qq.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719328&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719334&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719331&type= 22.01332855 32.00400543 高睿喆 （1999-），女，陕西延安人，硕士研究生，2021年于华北科技学院获学士学位，主要从事机器视觉及光学检测方面的研究。E-mail： 11322846 44@qq.com 44@qq.com 1 corresp 田爱玲（1964-），女，河南长垣人，博士，教授，西安交通大学仪器科学与技术学科博士学位，主要从事光学检测和光电测量方面的教学和科研工作。E-mail： ailintian@xatu.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719342&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719356&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719354&type= 22.01332855 32.00399780 田爱玲 （1964-），女，河南长垣人，博士，教授，西安交通大学仪器科学与技术学科博士学位，主要从事光学检测和光电测量方面的教学和科研工作。E-mail： ailintian@xatu.edu.cn ailintian@xatu.edu.cn 2 3 1 西安工业大学 陕西省薄膜技术与光学检测重点实验室，陕西 西安 710021 西安工业大学 陕西省薄膜技术与光学检测重点实验室，陕西 西安 710021 Shaanxi Province Key Laboratory of Thin Films Technology and Optical Test， School of Optoelectronic Engineering， Xi’an Technologcal University， Xi’an 710021， China Shaanxi Province Key Laboratory of Thin Films Technology and Optical Test， School of Optoelectronic Engineering， Xi’an Technologcal University， Xi’an 710021， China 重庆川仪自动化股份有限公司，重庆 400702 重庆川仪自动化股份有限公司，重庆 400702 Chongqing Chuanyi Automation Co.， Ltd， Chongqing 400702， China Chongqing Chuanyi Automation Co.， Ltd， Chongqing 400702， China 中检西部检测有限公司，陕西 西安 710032 中检西部检测有限公司，陕西 西安 710032 CCICWestTestingCompanyLimited， Xi'an710032， China CCICWestTestingCompanyLimited， Xi'an710032， China 为了对红宝石球直径进行非接触式、高精度测量，本文提出了一种复合式二次边缘检测法。首先，对拍摄到的红宝石球图像进行预处理后使用自适应阈值的Canny边缘检测算法对红宝石球图像进行一次边缘检测；其次，采用基于像素加权平均的图像融合算法对红宝石球二值化图像与边缘检测图像进行融合，对融合后的图像进行边缘提取，选择三次样条插值法对边缘图像进行插值，通过曲线拟合获得图像边缘的亚像素坐标，根据坐标进行圆拟合，结合标定得到检测结果，完成复合式二次边缘检测，从而实现对红宝石球直径的高精度测量。实验结果表明：对6 mm的红宝石球直径测量，测量精度可达 <math id="M1"><mn mathvariant="normal">1.5</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719350&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719348&type= 9.82133293 3.13266683 ，定位精度不超过0.1个像素，满足企业测量要求，为后续实现工业自动化检测提供了较好的技术支持。 For precisely measuring the diameters of ruby balls in a non-contact manner， a compound secondary edge detection method is proposed. First， the image of the ruby ball is preprocessed， and the adaptive threshold Canny edge detection algorithm is used to detect the edge of the ruby ball image. Second， an image fusion algorithm based on the pixel weighted average is used to fuse the binary image of the ruby ball and the edge detection image. Then， the edge of the fused image is extracted， the cubic spline interpolation method is used to interpolate the edge image， the subpixel coordinates of the image edge are obtained via curve fitting， and circle fitting is performed according to the coordinates. Thereafter， the detection results are obtained through calibration. Compound secondary edge detection is performed for precisely measuring the diameter of a ruby ball. The experimental results indicate that the measurement accuracy for a 6-mm ruby ball diameter can reach 2 μm， and the positioning accuracy is less than 0.1 pixels， thus satisfying the measurement requirements of enterprises and providing better technical support for industrial automatic detection. 复合式二次边缘检测 高精度测量 图像融合 三次样条插值 曲线拟合 compound secondary edge detection high precision measurement image fusion cubic spline interpolation quadratic curve fitting 1 引 言 1 红宝石球作为一种抗压性强、热膨胀系数小、硬度高的元件被广泛应用于精密测量、流量计球阀、微流体阀芯等方面，其中最为重要的一项应用是被三坐标测量机作为探针测头使用。不同的三坐标测量机的探针测头有不同的规格，主要是毫米甚至微米级别 ［ 1 1 ］ ，因为三坐标测量机的性能很大程度上取决于探针测头的参数，如直径和球度，而直径的精度高低决定了测量机的测量重复性及精度，所以要使测量结果的精度更高，需要对红宝石球的直径进行高精度的检测 ［ 2 2 ］ 。 目前，对于小球直径测量主要分为接触式和非接触式两种方式。接触式测量就是使用三坐标测量机测头直接接触红宝石球表面，读取并记录坐标值，并按照一定条件对小球的特征点进行计算与构建，使用数学的方法计算出实际误差判断红小球是否合格 ［ 3 3 - 5 5 3-5 ］ 。使用非接触式的方法测量时，学者们研究不同的非接触式测量算法对物体的直径进行测量，2005年，刘文耀等人 ［ 6 6 ］ 提出了一种基于数字图像处理的玻璃小球直径测量方法，该方法通过Sobel算子计算玻璃小球的梯度，采用数学规划的方法进行小球边缘的粗定位，采用空间矩亚像素定位算法完成小球边缘的精确定位，文章证明了二值化阈值的不同对算法的重复精度影响较小；2013年天津大学的王星等人 ［ 7 7 ］ 对红宝石球轴承进行了自动定位研究，根据已知的红宝石球大小，确定其图像检测精度，最后检测误差小于10 μm；2015年，郭延杰等人 ［ 8 8 ］ 提出了一种基于Radon变换和灰度重心法的视觉测量方法对环形目标进行直径测量，该方法可以在保证高精度的基础上对同心圆环与偏心圆环的直径进行测量；2022年，李华等人 ［ 9 9 ］ 开发了一套基于机器视觉的微纳米光纤直径测量系统，该系统通过Canny算子对微纳光纤边缘进行初定位，使用基于改进Zernike矩的亚像素检测方法实现精确定位，将微纳光纤的测量精度提升至纳米级；同年，朱昊等人 ［ 10 10 ］ 提出了一种基于菲涅耳衍射测量钢珠直径与圆度的方法，该方法通过测量钢珠在衍射平面上的直径分布得到其轮廓点坐标，利用最小二乘法确定其圆心，实现对钢珠的直径测量，测量精度的不确定度在 <math id="M2"><mn mathvariant="normal">3.1</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719365&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719352&type= 11.43000031 3.64066648 之内。以上测量方法基本适用于测量非透明小球的直径，对透明小球直径的测量精度并不高。 由于红宝石球的半透明性会使光源照射到红宝石球时产生光晕，为后期算法处理带来困难，从而影响检测精度，所以当前在红宝石球的生产线上依然采用接触式的测量方式来测量红宝石球的直径，不仅测量速度慢，需要耗费大量的人工精力，长时间人工手动测量容易造成测量结果的不准确，而且，红宝石球生产的最后一步是抛光，接触式测量会损伤抛光后的小球表面，所以需要高精度的非接触式测量方式来代替传统的手动测量，提高测量效率的同时减小表面损伤。本文针对红宝石球的直径测量提出了一种复合式的二次边缘检测法，从而实现对红宝石球的非接触式、高精度测量，满足工业生产中红宝石球的检测需求。 2 系统搭建 1 通过基于暗场成像的方式对系统结构进行设计，搭建红宝石球直径测量系统，如 图1 图1 所示。环形光源已在图中标出，当环形光源的光照射时，红宝石球不在反射或透射方向上成像，只在散射方向上成像，所以CMOS芯片只接收到环形光源在红宝石球上的散射光，从而形成红宝石球的暗场像。本系统使用imaging source的DMK 33UX183型号的工业相机，该相机采用分辨率为 <math id="M3"><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">280</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">024</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719386&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719367&type= 21.25133324 2.87866688 的CMOS相机，像素大小为 <math id="M4"><mn mathvariant="normal">2.4</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">2.4</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719377&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719375&type= 27.77066803 3.64066648 ，靶面尺寸大小为 <math id="M5"><mn mathvariant="normal">3.072</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">2.457</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">6</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719382&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719389&type= 39.62400055 2.87866688 。为了减小景深对畸变的影响，结合对相机视场、分辨率大小的考虑，选用大恒图像GCO-232205型号的双远心镜头，该镜头的放大倍率为0.32×，视场范围=靶面尺寸/放大率= <math id="M6"><mn mathvariant="normal">9.6</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">7.68</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>></mo><mn mathvariant="normal">6</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719404&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719400&type= 44.78866577 2.87866688 红宝石球直径。采用桂林视百科的LED-HF02型号的环形光源搭载于相机上，依靠工装，使红宝石球处在远心镜头的视场范围之内。 3 复合式二次边缘检测算法 1 本算法主要分为两个步骤：（1）使用自适应阈值对红宝石球图像进行Canny边缘检测，（2）基于像素加权平均的图像融合方法对红宝石球的一次边缘提取图与其二值化图像进行融合，并通过三次样条插值拟合的方法获得红宝石球边缘亚像素级坐标，使用该坐标进行圆拟合得到红宝石球直径。 3.1　一次边缘检测——使用自适应阈值进行Canny边缘检测 2 对于一般的边缘检测，可以通过传统手动设置阈值的方式实现被测物体边缘被准确地提取出来，但对于工业检测而言，工业检测环境复杂不能在短时间内准确地找到合适的阈值对红宝石球进行边缘提取，所以要采用自适应阈值的方式进行边缘提取。使用Canny算子 ［ 11 11 ］ 进行边缘检测的目的是要寻找局部图像中梯度幅值的极大值，并通过双阈值检测获得可靠的图像边缘，相对于常见的sobel算子和Laplacian算子而言，不易受到噪声干扰，可以获得较为全面的边缘信息。使用Canny算子进行边缘检测 ［ 12 12 ］ 的算法流程如 图2 图2 所示。 （1）为了减少噪声对边缘检测结果的影响，使用 <math id="M7"><mn mathvariant="normal">5</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">5</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719449&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719445&type= 8.63599968 2.79399991 的高斯卷积核模板对灰度图像卷积，进行高斯平滑滤波过滤； （2）使用Sobel边缘差分算子计算水平 <math id="M8"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719454&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719450&type= 4.06400013 3.72533321 和垂直 <math id="M9"><msub><mrow><mi>G</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719463&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719456&type= 3.97933316 3.72533321 方向的边缘梯度，根据梯度计算梯度幅值 <math id="M10"><mi>G</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719467&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719466&type= 2.87866688 2.79399991 和梯度方向 <math id="M11"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719488&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719471&type= 1.86266661 2.79399991 并对梯度幅值进行标准化； （3）沿着梯度方向寻找像素点梯度幅值的局部最大值，抑制非极大值元素； （4）在经过非极大值抑制之后，仍存在由于噪声引起的边缘杂点。为了抑制这些边缘杂点，使用OTSU算法确定高阈值，高阈值的一半作为低阈值，将边缘像素点梯度幅值高于高阈值的点和低于低阈值的点抑制，得到图像边缘。 图3 图3 为实测红宝石球的原始图、Sobel边缘提取图、自适应阈值的Canny边缘提取图。由 图3 图3 可知，自适应阈值的 Canny边缘提取结果较Sobel具有伪边缘少和边缘信息完整等优点。 3.2　二次边缘检测——基于图像融合、三次样条插值的二次边缘检测 2 通过自适应阈值的Canny边缘检测发现红宝石球的内部由于噪声和颜色变化引起的边缘像素会干扰有效的边缘检测，将这类边缘像素称为杂散响应，在 图5 图5 （a）中已标出。为了适应在不同环境下对红宝石球边缘实现准确提取，采用图像融合方式对红宝石球进行处理。为了提高所得边缘信息的利用率，将采集到同一目标的图像信息经过图像融合、图像填充、图像前景标记等算法，最大程度地提取出有利信息，最后综合成高质量图像。在3.1中已经得到了粗略的边缘图像，该图像的有利信息保留较完整，但由于一些杂散响应的影响，无法通过该边缘信息准确地计算红宝石球尺寸，所以，选用基于像素加权平均的图像融合的方式，在原图的基础上提取图像边缘后，采用二值化图像与边缘图像融合的方式消除杂散响应。随后，再使用三次样条插值的方式对提取的边缘坐标进行精确定位，利用最小二乘法进行圆拟合，通过像素坐标与世界坐标的关系求得红宝石球的真实直径。 具体算法步骤如下： （1）将红宝石球二值化图像与边缘图像以1∶1的权重比例进行融合，对于两个图像具有的所有信息进行保留。 （2）对融合后的图像进行填充。 （3）使用开、闭运算去除背景噪声，之后计算局部最大值，获得识别区域内前景图像。 （4）对前景图像使用自适应的Canny边缘检测算法对图像进行边缘检测。通过 图5 图5 可以发现图像在经过两次边缘检测后，图像边缘质量得到了提高，并且杂散响应得到了明显抑制。 在得到高质量的图像边缘后，可以获得像素级边缘坐标，但为了提高图像的边缘检测精度，得到更为准确的红宝石球尺寸，需要将像素坐标进一步划分为亚像素边缘坐标。通过计算梯度幅值将图像中灰度有显著变化的点突出显示，利用梯度幅值作为拟合的函数值，反向求出每个边缘点沿梯度方向的偏移量，利用偏移量与梯度方向的乘积求出每个边缘点在 x ， y 坐标方向的偏移量，偏移量与像素点坐标的和，即为边缘点的亚像素坐标。如 图6 图6 所示，显示了3个像素点， a 为一个像素点，其含义为该像素的坐标， b 为像素点 a 通过添加偏移量得到的亚像素点，其含义为该亚像素点在图像中的坐标。通过给 a 添加 x 与 y 方向的偏移量，得到亚像素坐标 b 。 （5）获取二次边缘检测后的边缘坐标像素点 <math id="M12"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719554&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719563&type= 34.54399872 4.48733330 ， <math id="M13"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719937&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719936&type= 1.86266661 2.79399991 为边缘点的个数，并设定取样模板 <math id="M14"><mi>R</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>  </mtext><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>  </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>  </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>  </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">]</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719809&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719807&type= 33.10466385 3.55599999 。 （6）使用边缘点获得边缘点梯度 <math id="M15"><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719597&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719581&type= 4.57200003 3.72533321 ， <math id="M16"><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719590&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719588&type= 5.58799982 3.72533321 ，并结算梯度方向 <math id="M17"><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">h</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719610&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719605&type= 8.21266651 3.72533321 ［ 13 13 ］ ，利用取样模板求解 x ， y 方向（边缘法线方向）的采样点。此时梯度方向的采样点为 <math id="M18"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719613&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719625&type= 19.81200027 4.48733330 ，其中 <math id="M19"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mi>R</mi><mi mathvariant="normal">*</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">h</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>W</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mi>R</mi><mi mathvariant="normal">*</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">h</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">3,4</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">5</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719618&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719630&type= 107.61133575 4.82600021 。 （7）用三次样条插值方法 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ 在每个采样点上插入梯度幅值，梯度幅值作为拟合结果带入二次曲线拟合函数中。 使用三次样条插值主要是通过边缘像素点梯度方向的采样点来绘制平滑的曲线，从而得到与采样点有效关联的梯度幅值。已知每个像素点梯度方向的采样点有5个，5个采样点可以将一个像素点分为4个区间，每个区间构造一个三次函数，共 <math id="M20"><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719679&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719689&type= 2.96333337 2.79399991 段函数（ <math id="M21"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>~</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">4</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719662&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719656&type= 16.42533302 3.72533321 ）， <math id="M22"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719666&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719664&type= 20.99733353 3.21733332 ， <math id="M23"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719937&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719936&type= 1.86266661 2.79399991 为边缘点的个数，那么 <math id="M24"><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719679&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719689&type= 2.96333337 2.79399991 个区间对应的三次函数 <math id="M25"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719696&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719694&type= 11.68400002 4.48733330 的数学表达式为： <math display="block" id="M26"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mo>,</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>≤</mo><mi>k</mi><mo>≤</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>,</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719702&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719699&type= 139.86933899 5.84200001 其中： <math id="M27"><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">3,4</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719720&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719717&type= 19.38866615 3.64066648 ， <math id="M28"><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719710&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719708&type= 1.69333339 2.79399991 为需要插值的点，根据三次样条函数每个分段的衔接需求，共有4个已知条件：（1）函数穿过已知的5个采样点；（2）除第一个与最后一个采样点外，样条函数在所有采样点处0阶连续；（3）与（2）前提条件相同，样条函数在所有采样点处1阶连续；（4）与（2）前提条件相同，样条函数在所有采样点处2阶连续。通过以上条件，求解三次函数方程，从而完成三次样条插值。 图7 图7 是对边缘梯度幅值进行插值的过程。 （8）根据插值结果，进行曲线拟合。二次曲线形式近似的表示图像边缘过度区的一维灰度差值分布函数，则边缘点的精确坐标在灰度变化最大的地方，表示在二次曲线上为一阶导数的零点位置 ［ 16 16 ］ 。设二次曲线为 <math id="M29"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>x</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719735&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719732&type= 36.91466904 5.07999992 ，存在 <math id="M30"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719738&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719736&type= 11.85333347 4.14866638 3个未知系数， <math id="M31"><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719892&type= 2.20133328 2.79399991 为边缘点在梯度方向的坐标值，曲线的函数值 <math id="M32"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719763&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719742&type= 8.38199997 3.97933316 的实际意义为边缘的灰度差值， <math id="M33"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719772&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719784&type= 2.70933342 3.72533321 为二次曲线的开口方向和大小， <math id="M34"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719781&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719767&type= 2.70933342 3.72533321 和 <math id="M35"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719772&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719784&type= 2.70933342 3.72533321 共同决定二次曲线的对称轴位置， <math id="M36"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719787&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719793&type= 2.70933342 3.72533321 为 <math id="M37"><mi>x</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719805&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719796&type= 8.89000034 2.79399991 时边缘的灰度差值大小。根据系数可以拟合出曲线方程，曲线的极大值即为所求边缘点梯度方向的偏移量 ［ 17 17 ］ 。 使用 <math id="M38"><mi>R</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>  </mtext><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>  </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>  </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>  </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">]</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719809&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719807&type= 33.10466385 3.55599999 作为 <math id="M39"><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719892&type= 2.20133328 2.79399991 的值，根据取样模板，二次曲线可以写为： <math display="block" id="M40"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">4</mn><mtext>   </mtext><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>    </mtext><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>    </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>     </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">4</mn><mtext>    </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719825&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719813&type= 41.40200043 27.77066803 . 设矩阵 <math id="M41"><mi mathvariant="bold-italic">U</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mtext>   </mtext><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mtext>   </mtext><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mtext>   </mtext><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719828&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719826&type= 52.40866470 4.91066647 <math id="M42"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719849&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719831&type= 11.17599964 5.07999992 ，其含义是一个像素点梯度方向上5个采样点的灰度差值集合；矩阵 <math id="M43"><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">4</mn><mtext>   </mtext><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>    </mtext><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>    </mtext><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>     </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">4</mn><mtext>    </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mtext>   </mtext><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719852&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719851&type= 25.48466682 22.52133369 ，其含义是5个采样点在二次曲线上自变量对应关系的集合；矩阵 <math id="M44"><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719844&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719841&type= 12.95400047 14.05466747 ，其含义是决定二次曲线位置的3个未知系数的集合。则矩阵之间的关系为： <math display="block" id="M45"><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">U</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719864&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719846&type= 13.54666710 2.96333337 ， 其中：边缘梯度幅值 <math id="M46"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="normal">U</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">3,4</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">5</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719867&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719858&type= 43.51866913 5.07999992 ，对 式（3） 式（3） 求解便可得到矩阵 <math id="M47"><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719871&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719882&type= 2.70933342 2.79399991 。根据 <math id="M48"><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719871&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719882&type= 2.70933342 2.79399991 中的系数求得曲线方程，对方程求导，找出极大值即为边缘梯度方向的偏移量 <math id="M49"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719891&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719888&type= 19.47333336 8.38199997 。 图8 图8 是坐标点为（635，925）位置处的坐标值 <math id="M50"><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719892&type= 2.20133328 2.79399991 与梯度幅值 <math id="M51"><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719899&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719897&type= 9.05933285 4.91066647 曲线拟合的结果，该位置处曲线的极大值为 <math id="M52"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0.514</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">7</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719902&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719876&type= 26.24666595 3.80999994 。 此时得到了边缘点在梯度方向坐标系下亚像素坐标的位置，还需要将灰度梯度坐标系转化为图像坐标系。可以将偏移量 <math id="M53"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719913&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719911&type= 5.75733376 3.72533321 表示为： <math display="block" id="M54"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>p</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719917&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719915&type= 26.58533096 4.06400013 ， 其中： <math id="M55"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719921&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719919&type= 5.75733376 3.97933316 为灰度梯度坐标系中偏移量的整数部分， <math id="M56"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>p</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719938&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719922&type= 5.75733376 3.97933316 为灰度梯度坐标系中偏移量的小数部分 ［ 18 18 ］ 。将图像坐标系中边缘点的精确坐标用 <math id="M57"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">b</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">b</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719929&type= 14.98600006 4.91066647 来表示，可得： <math display="block" id="M58"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">b</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>t</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">b</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>w</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>s</mi><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>h</mi><mi>e</mi><mi>t</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719944&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719942&type= 47.07466888 10.07533360 ， 其中， <math id="M59"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719934&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719945&type= 20.99733353 3.21733332 ， <math id="M60"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719937&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719936&type= 1.86266661 2.79399991 为边缘点的个数。 表1 表1 为部分像素级坐标与亚像素级坐标的对比。 Pixel level coordinates Subpixel level coordinates （104，557） （104.128 6，557.037 1） （104，558） （104.282 4，558.243 3） （104，559） （104.376 0，559.188 4） （104，560） （104.128 3，560.963 0） （104，561） （103.873 2，562.036 6） （9）使用最小二乘法处理亚像素坐标进行圆拟合，得到圆心和半径，结合标定参数，得到红宝石球的直径测量结果。测量结果如 图9 图9 所示， （a）为用电子游标卡尺测量出的6 mm红宝石球的实际尺寸大小，（b）为由该算法测量出的红宝石球直径，其中 D 表示红宝石球在图像坐标系上的直径大小， <math id="M61"><mi>D</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">775.497</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719973&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719970&type= 31.58066559 3.64066648 ，通过像素坐标与世界坐标的转化关系可以求得 <math id="M62"><mn mathvariant="normal">0.5</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mo>≈</mo><mn mathvariant="normal">64.965</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">6</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719980&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719977&type= 39.20066452 3.64066648 ，最终6 mm红宝石球的直径的测量结果为 <math id="M63"><mi>d</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">5.968</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">5</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719962&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45719982&type= 25.65399933 2.87866688 。 4 本文算法与现有算法的对比 1 使用regionprops函数 ［ 19 19 ］ 和Hessian矩阵 ［ 20 20 ］ 两种方法与本方法进行对比。使用regionprops函数进行红宝石球区域提取时，通过图像二值图可直接使用regionprops函数求得连通区域的质点与连通域直径的最大值、最小值，对最大值与最小值求平均确定连通区域的直径。使用Hessian矩阵进行红宝石球边缘提取时，修改Canny算子提取边缘，由于红宝石球图像本质为圆形图像，边缘信息为曲线信息，可以通过计算像素曲率角度和方向，得到红宝石球的边缘坐标，之后对坐标进行圆拟合，经过标定后得到红宝石球的真实直径 ［ 21 21 ］ 。 图10 图10 为本文方法与以上两种方法对6 mm红宝石球检测的对比结果。 实验结果表明：本方法在对红宝石球直径的测量结果上更接近于红宝石球实际的尺寸，精度上优于使用regionprops方法和Hessian矩阵方法，具有良好的测量效果。 5 算法对不同元件的处理 1 除了文中提出的6 mm红宝石球元件，还用本算法对0.5 mm，2 mm的红宝石球元件，6 mm陶瓷球元件进行了测量，测量结果如 表2 表2 所示，并用游标卡尺对以上3种元件的测量结果作为参考值，3种元件的参考值分别为：0.5 mm，1.99 mm，5.97 mm，将测量值与参考值对比，3种元件的测量结果均不超过 <math id="M64"><mn mathvariant="normal">5</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45720007&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=45720003&type= 7.61999989 3.64066648 ，测量结果均满足企业测量需求。 Measuring element measuring time 0.5 mm ruby ball 2 mm ruby ball 6 mm ceramic ball 1 0.499 2 1.986 6 5.966 4 2 0.498 1 1.990 6 5.966 6 3 0.498 1 1.992 2 5.966 5 4 0.497 0 1.993 4 5.968 1 5 0.496 9 1.994 8 5.971 7 mm 6 不同增益、不同信噪比下的对比 1 为了对本文算法进行定位评估，对图像加入不同程度的高斯噪声，并对算法的鲁棒性和定位精度进行分析。考虑到工业检测中测量红宝石球的环境，将方差为0.002，0.004，0.006的高斯白噪声加入到红宝石球图像中模拟真实测量环境，通过分析本文算法对图像圆心定位的误差来验证所提方法的有效性和鲁棒性 ［ 22 22 - 24 24 22-24 ］ 。 对不同增益下、不同信噪比的图像重复50次实验，记录圆心坐标，与无噪声的圆心坐标进行对比，统计 x ， y 方向的误差，计算误差的标准差作为本组实验条件下的定位误差，实验结果如 图11 图11 所示，在不同的增益下，噪声对定位精度有一定影响，但误差不超过0.1个像素。 7 结 论 1 本文提出了一种复合式二次边缘检测法对红宝石球直径进行高精度测量，通过设计系统结构搭建实验系统，拍摄得到红宝石球图像，结合图像处理算法通过自适应阈值的Canny边缘检测方法对图像进行一次边缘提取，采用基于像素加权平均的图像融合方式提高了边缘信息的完整度，使用基于三次样条插值拟合的方法获得了图像的亚像素坐标，通过对坐标进行圆拟合，从而得到红宝石球直径，完成复合式的二次边缘提取。在一定的曝光时间下，测量6 mm的红宝石球直径，测量精度可达1.5 μm，定位精度不超过0.1个像素，满足企业测量需求。 参考文献 CLAVERLEY J D ， LEACH R K . 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