基于各向异性误差相似度的六自由度机器人定位误差补偿

基于各向异性误差相似度的六自由度机器人定位误差补偿 Positioning error compensation of 6-DOF robots based on anisotropic error similarity first-author 高贯斌（1979-），男，山东菏泽人，博士，教授，博士生导师，2001年、2004年于东北大学获得学士、硕士学位，2010年于浙江大学获得博士学位，主要研究方向为机器人学、精密测量与控制、智能康复外骨骼。E-mail：gbgao@kust.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444014&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444016&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444015&type= 21.73100281 30.67399597 高贯斌 （1979-），男，山东菏泽人，博士，教授，博士生导师，2001年、2004年于东北大学获得学士、硕士学位，2010年于浙江大学获得博士学位，主要研究方向为机器人学、精密测量与控制、智能康复外骨骼。E-mail： gbgao@kust.edu.cn gbgao@kust.edu.cn 昆明理工大学 机电工程学院，云南 昆明 650500 昆明理工大学 机电工程学院，云南 昆明 650500 Faculty of Mechanical and Electrical Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China Faculty of Mechanical and Electrical Engineering， Kunming University of Science and Technology， Kunming 650500， China 多关节机器人的绝对定位精度远低于重复精度，目前通常采用运动学标定或空间误差补偿来提高机器人定位精度。空间误差补偿通常采用反距离加权来预测定位点的误差并进行补偿，但反距离加权的权值评价单一且各参考点权值过于平均限制了补偿精度的提高，为此，本文基于空间误差相似度提出一种包含距离和方向的定位误差预测和补偿方法。首先，推导出机器人定位误差模型，将机器人工作空间划分为由若干立方体组成的网格，研究在空间网格中定位点与参考点的相对方向与误差相似度的关系，并构建以距离和夹角余弦为误差传递因子的误差传递函数。其次，考虑定位点各坐标轴方向误差和参考点误差的相似性存在较大差异，基于误差传递函数提出一种各向异性的相似度建模和误差补偿方法，利用网格中各参考点的误差分别计算定位点各方向的误差。最后，通过实验对所提方法进行验证，并与传统的反距离加权插值补偿方法进行对比，实验结果表明：经过误差补偿后，机器人定位误差在各坐标轴方向的最大值和平均值都有显著降低，误差最大值和均值由补偿前的1.03 mm和0.30 mm分别降至0.11 mm和0.04 mm，与反距离加权方法相比补偿后机器人定位精度更高、各方向更均匀。 The positioning accuracy of multi-joint robots is much lower than its repetition accuracy. At present， kinematic calibration and spatial error compensation are the main methods to improve the positioning accuracy of robots. Generally， the inverse distance weighting is used to predict the error of positioning point in spatial error compensation. As the single weight， the inverse distance cannot reflect the real influence of each grid point for the weight is too average， which will lead to poor compensation result. Therefore， a positioning prediction and compensation method including distance and orientation is proposed based on the error similarity to improve the positioning accuracy of robots. Firstly， the positioning error model is derived from the kinematic model with differential kinematic theory， based on which the relationship between the joint angles and positioning error is analyzed. The workspace of robots is divided into a grid composed of several cubes， in which the influence of direction of the positioning point to the reference point on error similarity is studied. Then， the error transfer function is constructed with the cosine of the included angle and the distance as the error transfer factor. Secondly， considering great difference of the positioning error in x ， y and z directions an anisotropic similarity modelling and error compensation method is proposed based on the error transfer function using the error of reference points to calculate the error of positioning point. The proposed method is verified by experiments， and compared with the traditional inverse distance weighting method. The experimental results show that after compensation， the maximum and average positioning errors of the robot decreased greatly in all direction. After compensation the maximum errors and average errors in x ， y and z directions decreased from 1.03mm and 0.30mm to 0.11mm and 0.04mm， respectively. Furthermore， the compensation accuracy of the proposed method is higher than that of the traditional inverse distance weighting method. 机器人 绝对定位精度 误差补偿 标定 robot absolute positioning accuracy error compensation calibration 1 引 言 1 机器人的定位精度是机器人性能的主要性能指标之一，其包括重复定位精度和绝对定位精度。机器人一般具有较高的重复定位精度，而绝对定位精度偏低，机器人的重复定位精度可达0.02 mm，而其绝对定位精度可能只有1~3 mm ［ 1 1 ］ ，无法满足精密装配、加工和离线编程等应用的要求 ［ 2 2 ］ 。影响机器人绝对定位精度的因素有很多，主要包括：（1）制造及装配过程中的误差，导致机器人的连杆及关节实际尺寸与其设计值之间产生偏差；（2）连杆及关节零件受力变形导致机器人关节和连杆的尺寸发生变化，其中包括了永久性的塑形变形以及在负载和重力作用下的弹性变形；（3）关节转角误差，包括运动副磨损和变形引起的关节转角误差、传动机构误差、位置传感器误差等；（4）其他误差，如温湿度变化引起的结构尺寸的变化、伺服系统的控制及执行误差等。对于不同种类的机器人，上述的每一种因素都可能成为影响机器人绝对定位精度的主要因素 ［ 3 3 ］ 。针对如何提高机器人绝对定位精度的问题，国内外学者做了大量的研究，其中大部分都是采用机器人运动学标定的方法。机器人运动学标定可以分为基于模型的运动学参数标定和非模型运动学标定 ［ 4 4 ］ 。 基于模型的运动学标定一般分为建模、测量、参数辨识和误差补偿四个步骤 ［ 5 5 ］ 。建模分为运动学模型和误差模型的建立，测量一般采用激光跟踪仪 ［ 6 6 ］ 或坐标测量机 ［ 7 7 ］ 等大量程精密测量仪器、参数辨识主要采用最小二乘法、扩展卡尔曼滤波算法、遗传算法和群智能优化算法等，误差补偿分为关节转角补偿和参数误差直接补偿 ［ 8 8 ］ 等。其中，很多学者针对机器人参数辨识方法的改进做了大量的研究。由于机器人的运动学误差模型是一个非线性模型，可以通过忽略高阶误差项来线性化机器人的运动学模型，GROTJAHN M等 ［ 9 9 ］ 使用最小二乘法（Least Square algorithm，简称LS算法）来进行参数辨识，使得机器人的绝对定位精度提高。JIANG ZH H等 ［ 10 10 ］ 提出一种基于扩展卡尔曼滤波（EKF）和粒子滤波（PF）算法的运动学标定，该方法可用于具有非高斯噪声的高度非线性机器人运动系统，使得收敛速度更快，辨识精度更高。乔贵方等 ［ 11 11 ］ 使用天牛须搜索算法（BAS）和粒子群算法（PSO）的混合辨识算法对机器人运动学参数进行辨识，验证了该算法具有较好的收敛速度和辨识精度。运动学标定方法通常可以将机器人的定位精度从毫米量级提升到0.3 mm~0.8 mm ［ 12 12 - 14 14 12-14 ］ ，但这个精度尚无法满足高精度的应用场合，如精密测量、加工等。 非模型运动学标定方法不需要辨识机器人的运动学参数，只考虑机器人的末端位置误差和关节转角间的映射关系 ［ 15 15 ］ 。其中，神经网络预测是一种典型的非模型标定方法，相关学者做了大量的工作 ［ 16 16 - 19 19 16-19 ］ ，但是训练神经网络需要海量的数据，特别是对于自由度较多的六自由度及以上的机器人来说需要采集相当多的关节角数据和末端位姿数据才能保证神经网络模型的泛化能力，这在实际应用中是非常困难的。此外，空间插值补偿法也是一种非模型运动学标定方法，很多学者在这方面做了大量的研究，周炜等 ［ 20 20 ］ 使用反距离加权的空间插值误差补偿方法对机器人的末端位置误差进行补偿，使得机器人的绝对定位精度有近一个数量级的提高。高贯斌等 ［ 21 21 ］ 提出一种基于机器人运动学标定和关节空间插值补偿的方法，首先通过运动学参数辨识使机器人的末端位置误差降低，再在关节空间中使用反距离加权法对误差插值补偿，使机器人的轨迹精度进一步提高；CAO S M等 ［ 22 22 ］ 提出一种关节空间误差补偿方法，将机器人工作空间划分为两个三维子空间，在各个空间中分别使用反距离加权法对误差进行插值补偿，最终使得末端位置误差明显降低；石章虎等 ［ 23 23 ］ 提出基于AGV式移动制孔机器人的反距离加权空间插值补偿方法，克服了当前技术对于移动制孔机器人定位误差补偿的弊端，有效降低了制孔的定位误差。 上述研究采用反距离加权空间插值误差补偿法来提高机器人定位精度，但该方法仅以距离作为权值评价指标过于单一，未考虑误差的各向异性分布；而且，在定位点距离某个参考点较近时，其他参考点误差的权值相对较大，不太符合误差相似性原理。为此，本文开展机器人工作空间中定位误差相似性研究，分析参考点的方位对定位点误差的影响，构建考虑距离和方向的误差传递函数，提出各向异性的相似度建模方法，并基于该方法对定位点各方向的误差进行预测和补偿，最后通过实验对补偿的精度和适应性进行测试。 2 机器人误差建模 1 2.1　运动学建模 2 机器人运动学分为正运动学和逆运动学。正运动学是已知机器人各个关节转角，通过坐标变换计算出机器人在基坐标系下的末端位姿，常用的建模方法有DH法 ［ 24 24 ］ 、MD-H法 ［ 25 25 ］ 和指数积法 ［ 26 26 ］ 等。而逆运动学是已知机器人末端位姿，通过逆解计算出机器人的各个关节转角，常用方法有解析法 ［ 27 27 ］ 和数值法 ［ 28 28 ］ 等。本文以某六自由度机器人为实验研究对象开展研究，其外形如 图1 图1 所示。 依据M-DH规则建立了机器人的坐标系统，如 图2 图2 所示，由此得到的运动学参数名义值如 表1 表1 所示。 表1 表1 中的 a i -1 表示第 i -1关节的连杆长度，即关节轴 i -1和关节轴 i 之间公垂线的长度， α i -1 表示连杆扭转角，即轴 i -1绕 a i -1 转向轴 i 两轴线之间的夹角， θ i 表示关节 i 的关节转角，即两相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角， d i 表示连杆 i 偏距，即沿两个相邻连杆公共轴线方向的距离。 关节序号 i 关节扭转角 α i- 1 /（°） 连杆长度 a i- 1 /mm 关节转角 θ i /（°） 连杆偏距 d i /mm 1 0 0 0 96 2 -90 0 0 138 3 0 418 0 -114 4 0 398 0 98 5 -90 0 0 98 6 -90 0 0 89 根据坐标齐次变换原理，连杆 i- 1和连杆 i 之间的相对位姿关系可以用平移和旋转变换描述为： <math display="block" id="M1"><mtable><mtr><mtd><mrow><msubsup><mrow/><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>X</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>Z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>s</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>c</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>c</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>s</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi>s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444026&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444025&type= 135.29733276 18.54199982 ， 式中，c、s表示三角函数cos ， sin， α i -1 是绕 x i -1 轴旋转，从 z i -1 旋转到 z i 的角度； a i -1 是沿 x i -1 轴，从 z i -1 移动到 z i 的距离； θ i 是绕 z i 轴，从 x i -1 旋转到 x i 的角度； d i 是沿 z i 轴，从 x i -1 移动到 x i 的距离。 各相邻连杆矩阵相乘可以得到机器人末端坐标系在基坐标系下｛ o 0 ｝的位姿矩阵： <math display="block" id="M2"><msubsup><mrow/><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><msubsup><mrow><mo>=</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><msubsup><mrow><mo>⋅</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><msubsup><mrow><mo>⋅</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><msubsup><mrow><mo>⋅</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><msubsup><mrow><mo>⋅</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><msubsup><mrow><mo>⋅</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444028&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444027&type= 41.82533264 3.97933316 . 通过 式（1） 式（1） 和 式（2） 式（2） ，将机器人的末端坐标转换到基坐标系下，其位姿矩阵描述为如下形式： <math display="block" id="M3"><msubsup><mrow><mtext> </mtext></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>R</mi></mtd><mtd><mi>P</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444030&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444029&type= 21.33600044 8.55133343 ， 式中： R 为 <math id="M4"><mn mathvariant="normal">3</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">3</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444032&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444031&type= 8.63599968 2.79399991 的姿态矩阵，表示末端坐标系｛ o 6 ｝分别相对于基坐标系的姿态向量； P 为 <math id="M5"><mn mathvariant="normal">3</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444034&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444033&type= 8.63599968 2.79399991 的位置向量，表示末端坐标系原点在基坐标系中的位置。 2.2　机器人位置误差建模 2 通过运动学建模可知，机器人的末端位置是由 α i -1 、a i -1 、θ i 、d i 这四组、共24个运动学参数决定的，因此可以将机器人的末端位置 P 表示为各运动学参数的函数 Q ，函数 Q 的具体形式如下式所示： <math display="block" id="M6"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>z</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444036&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444035&type= 77.21600342 15.57866764 . 通过（4）式和相关学者的研究 ［ 29 29 ］ 可知，机器人的末端位置误差Δ P 很大一部分是由于运动学参数误差引起的，即Δ P 受到运动学参数误差Δ α i -1 ，Δ a i -1 ，Δ θ i ，Δ d i 的影响，这些参数误差传递到机器人末端，使机器人末端的绝对定位精度变差。因此需要建立误差模型，对机器人末端误差进行补偿，才能有效提高机器人的绝对定位精度。由于采集的机器人实际末端位置 <math id="M7"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444038&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444037&type= 3.04800010 3.04800010 包含各运动学参数误差，因此将机器人的末端位置 <math id="M8"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444040&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444039&type= 3.04800010 3.04800010 表示为如下形式： <math display="block" id="M9"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>z</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>z</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444042&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444041&type= 103.46266174 31.49600029 . 则末端位置误差可以表示为： <math display="block" id="M10"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi>P</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444044&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444043&type= 20.06599998 3.04800010 . 按照微小误差原理，将误差进行线性化处理得： <math display="block" id="M11"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>Q</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>Q</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>Q</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>Q</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444046&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444045&type= 82.55000305 8.38199997 . 将运动学参数误差向量Δ e 表示为： <math display="block" id="M12"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi mathvariant="bold-italic">e</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444048&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444047&type= 47.24399948 4.65666676 ， 式中： i =1，2，…… n ， n 为机器人的自由度数，则误差函数可以写为如下形式： <math display="block" id="M13"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>J</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444050&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444049&type= 15.32466698 2.79399991 ， 式中： J 为雅克比矩阵。 由此，建立了机器人位置误差模型，为后续的机器人末端位置误差分析和补偿提供了基础。 3 空间插值精度补偿模型 1 3.1　机器人位置误差相似度 2 通过2.2节建立的机器人末端位置误差模型可知，机器人的末端位置误差与机器人的运动学参数有关。对于旋转关节的机器人而言，关节转角 θ i 为变量，其余运动学参数均是常量；对于有移动关节的机器人而言，连杆偏距 d i 为变量，其余运动学参数为常量。本文的研究对象为六自由度转动关节机器人，关节转角 θ i 为变量，其余参数均为常量，由此可以将机器人末端位置误差表示为各个关节转角的函数，如 式（10） 式（10） 所示： <math display="block" id="M14"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mi>Q</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>⋯</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444052&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444051&type= 25.90800095 4.48733330 . 因此，当两个定位点对应的关节转角接近程度达到一定的范围，不仅机器人末端位置接近，其位置误差矢量也比较接近，则一个定位点的位置误差矢量可以用另外一个点的位置误差矢量来表示。其中，用关节角的欧式距离 ρ 来表示关节转角间的接近程度 ［ 20 20 ］ ： <math display="block" id="M15"><mi>ρ</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">16</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">26</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444054&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444053&type= 78.31666565 5.07999992 ， 式中， θ 1 i 为第一个定位点的第 i 个关节的关节角度， θ 2 i 为第二个定位点的第 i 个关节的关节角度，其中， i =1，2…，6。 如 图3 图3 所示， P j 表示名义末端位置、 P j ′表示实际末端位置、 <math id="M16"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>Q</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444056&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444055&type= 19.98133469 4.48733330 表示第 j 组关节角对应的末端位置误差，用|Δ P 1 -Δ P 2 |的大小来衡量 P 1 点的位置误差矢量Δ P 1 和 P 2 点的位置误差矢量Δ P 2 的接近程度，当关节角 θ 1 i 与 θ 2 i 比较接近（即 ρ 比较小）时，|Δ P 1 -Δ P 2 |比较小，表明 P 1 点和 P 2 点之间的误差相似度高。 上述讨论了两个定位点的关节转角相近时，其末端位置误差矢量也相似。对于 n 个定位点，若它们之间的关节转角比较接近，则 n 个定位点的位置误差矢量也比较接近。若想求得在 n 个定位点之间的某个未知定位点的位置误差矢量，可以通过 n 个已知定位点的误差进行预测，即通过已知定位点的误差，利用误差相似性建立数学模型来计算未知定位点的误差。 3.2　反距离加权插值补偿法 2 目前，通常采用空间插值的方法根据已知定位点误差数据来预测未知点误差，常用的空间插值方法有径向基函数法、反距离加权法和克里金插值法 ［ 30 30 ］ 等，但反距离加权法因其形式简单，插值精度高等优点而被广泛使用。反距离加权法是当前主流的空间插值补偿方法，它是一种加权平均算法，以两点之间的距离的倒数作为权值，即距离越近，相互影响的权值因子越大；距离越远，相互影响的权值因子就越小。当参考点分布比较均匀时，插值点的逼近程度也比较好，且计算简单、运算速度快。但其存在以下问题： （1）权值评价指标选择单一。通过 图3 图3 可以看出，若要通过 P 1 点的误差来计算 P 2 点的误差，除了距离之外，还应考虑 P 2 点和 P 1 点各方向误差相似性的差异。虽然在仿真中误差具有很好的空间相似性，但实际应用中采集的数据往往受到测量误差、环境误差等误差的影响，使得误差的空间相似性与仿真存在差异，同时导致坐标各方向的误差相似性也存在差异。基于此问题，需要根据坐标各方向的误差相似性选择不同的权值评价指标进行插值补偿。 （2）分配到各网格参考点处的权值过于平均。根据反距离加权插值补偿法的原理，通过仿真分析了距离与其权值之间的关系，仿真数据如 表2 表2 所示。 网格顶点 距离 d i /mm 权值 1 53.31 0.10 2 57.77 0.09 3 48.32 0.11 4 42.87 0.12 5 43.12 0.12 6 48.52 0.11 7 36.77 0.14 8 29.24 0.18 由 表2 表2 数据可知，即使距离定位点较近的网格参考点所分配到的权值也不会远大于其他网格参考点所分配到的权值，使得误差相似性的特性不能充分发挥，同时，其他网格参考点分配到的权值相对较大，使得定位点的插值精度受到的影响过大。由此，需要构建差异化较大的权值评价函数，即距离定位点较近的网格参考点所分配到的权值要远大于距离定位点较远的网格参考点所分配到的权值。 3.3　机器人位置误差权值评价函数 2 针对反距离加权法存在的问题，本文提出一种各向异性的空间插值补偿方法。在考虑了参考点到定位点距离的倒数作为权值评价指标之外，本文提出一种以角度余弦值的倒数作为另一个权值评价指标。为使得参考点在机器人的工作空间分布均匀，将机器人工作空间按照一定的步长划分为一系列的立方体网格，如 图4 图4 所示，每个立方体网格的顶点误差可以通过测量设备，如激光跟踪仪等测量得到。每个立方体网格有八个顶点 K i （ X i ′， Y i ′， Z i ′）（ i =1，2，…，8），如 图5 图5 所示，这八个顶点可以用来计算立方体内任意一个定位点 K （ X ， Y ， Z ）的误差。 图5 图5 中 K 0 （ X 0 ′， Y 0 ′， Z 0 ′）为网格中心点，其到各个网格顶点的距离一致，用 d i （ i =1，2，…，8）表示八个网格参考点到定位点的距离，基于3.1节的分析可知距离相近的点其误差也相近，因此，其距离的倒数可作为权值评价指标，即距离评价函数。 如 图5 图5 所示， K、K 0 和网格顶点 K i 可构成一个三角形， α i （ i =1，2，…，8）表示三角形的边 K 0 K 与 KK i 的夹角， d i 表示 K 点与各网格参考点之间的距离。当 K 点位置变化时， d i 和 α i 随着变化，如 图6 图6 所示，当 K 点的位置变换到 K ′点时， d i 和 α i 也相应转变成 d i ′和 α i ′，可以看出： d 1 变大了，而 α 1 变小了， d 2 变小了，而 α 2 变大了。 图6 图6 中：在△ KK 0 K i 中，根据余弦的定义可得： <math display="block" id="M17"><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">|</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi>K</mi><msup><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>K</mi><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mo stretchy="false">|</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">|</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">|</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi>K</mi><mo stretchy="false">|</mo><mo stretchy="false">|</mo><mi>K</mi><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mfrac><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mn mathvariant="normal">8</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444072&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444071&type= 73.66000366 8.89000034 ， 式中， <math display="block" id="M18"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mi>K</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>-</mo><mi>X</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>-</mo><mi>Y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo>-</mo><mi>Z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444074&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444073&type= 72.98266602 5.07999992 ， <math display="block" id="M19"><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444076&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444075&type= 73.91400146 5.07999992 。 不难发现定位点与网格参考点的距离| KK i |= d i ，因此： <math display="block" id="M20"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>X</mi><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>Y</mi><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>Z</mi><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444078&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444077&type= 65.78600311 4.82600021 ， 由 式（12） 式（12） 可以看出，当| K 0 K |和| K 0 K i |不变时，随着 d i 变小，夹角 α i 不断增大，余弦值不断减小。因为在90度到180度之间余弦值处于负值，为了方便比较大小，在夹角余弦值的基础上加上整数 τ ，使函数值完全为正值，其中 τ ≥1，其值通常取1。将 τ +cos α i 的倒数 ξ 作为权值评价指标，即方向评价函数。 则，考虑距离和方向的机器人末端位置误差权值评价函数可以定义为： <math display="block" id="M21"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>γ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>+</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>ξ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>⋯</mo><mn mathvariant="normal">8</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444080&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444079&type= 63.50000000 14.39333248 ， 式中， γ =1/ d i ， ξ =1/（ τ +cos α i ）； μ 1 和 μ 2 为权值系数，决定权值评价指标 γ 和 ξ 在总权值中所占的比重，当 μ 1 =1， μ 2 =0时，距离评价函数起作用；当 μ 1 =0， μ 2 =1时，方向评价函数起作用， r 为加权幂指数，通常情况下 r =1。 所构建的插值补偿方法可以用各参考点的位置误差预测出立方体网格中任意定位点的位置误差 <math id="M22"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444082&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444081&type= 36.32199860 3.80999994 ： <math display="block" id="M23"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mtext> </mtext><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444084&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444083&type= 37.16867065 29.97200012 . 由此，本文将机器人工作空间划分为一系列立方体网格，在立方体网格中分析了定位点与各参考点之间距离和夹角的关系，构建了距离评价函数和方向评价函数，从而综合提出一种包含距离和方向的误差相似度评价函数。 3.4　基于误差相似度的位置误差补偿方法 2 由3.1节分析可知，在空间网格中，误差具有相近相似原理，当定位点和网格参考点比较接近时，其两点之间的误差更具有相似性，空间插值算法在此网格顶点处所占的权值也要比其他网格顶点处所占的权值要大。由3.2节分析可知，距离评价函数权值分配比较平均，而本文所提方法方向评价函数对于较近的定位点具有更大的权值，使得定位点能分配到距离较近的参考点更多的误差，从而能得到比较好的插值效果。但是，在实际应用中，机器人末端位置误差的空间相似性在 x ， y ， z 三个方向上存在差异，并不能保证三个方向的误差相似性都是一致的，因此可以使用 式（16） 式（16） 计算网格各参考点的误差加权平均和 <math id="M24"><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><mi>Δ</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444086&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444085&type= 25.73866653 8.55133343 和对应网格定位点Δ P 在 x ， y ， z 三个方向上的误差相似度： <math display="block" id="M25"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfenced></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>⋅</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="normal">z</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mrow></mfenced></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444088&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444087&type= 55.71067047 31.91933441 ， 式中： q i 1 为 γ 构建的权值、 q i 2 为 ξ 构建的权值，根据 式（16） 式（16） 可知，若网格各参考点的误差加权平均和与插值定位点的误差差距越小，则误差相似度 ω 越大；若网格各参考点的误差加权平均和与插值定位点的误差差距越大，则误差相似度 ω 越小。比较 x 、 y 、 z 各方向误差相似度 ω 1 和 ω 2 的大小，如 式（17） 式（17） 所示： <math display="block" id="M26"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>γ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>γ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac><mtext>       </mtext><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>></mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>ξ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>r</mi></mrow></msup></mrow></mrow></mfrac><mtext>       </mtext><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo><</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo>,</mo><mi>z</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444090&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444089&type= 51.81600189 31.32666588 . 在 x ， y ， z 三个方向上，若某个方向的误差相似度 ω 1 大于 ω 2 ，则采用距离评价函数进行插值补偿；若某个方向的误差相似度 ω 1 小于 ω 2 ，则采用方向评价函数进行插值补偿；分情况使用使得两种权值能够发挥出本身的特性，即各网格参考点与插值定位点误差相似性较好时，由于方向评价函数权值差异大， ω 2 将大于 ω 1 ，此时插值结果较好；若各网格参考点与插值定位点误差相似性一般时，由于距离评价函数权值比较平均， ω 1 将大于 ω 2 ，此时插值结果较好。因此，两种权值在不同的情况下使用将使得插值结果优于单一权值的插值结果。同时需要注意的是，文中提出的两定位点对应的各关节转角较接近，机器人各关节转角通过较小的改变就可以从一点移动到下一点，则可以认为当两点位置比较接近时，其末端位置误差具有相似性。 通过3.3节提出的包含距离和方向的误差相似度评价函数，本节在此基础上考虑了实际应用中坐标轴各方向的误差相似性存在差异，构建了一种各向异性的误差补偿方法，该方法的有效性将在第4部分通过实验进行验证。 3.5　误差补偿方法 2 通过空间插值预测出定位点的位置误差，将该误差补偿到机器人末端名义位置上就可以得到补偿值，用补偿后的末端坐标逆解出关节角，用该关节角驱动机器人就可以提高机器人的绝对定位精度。若想验证其补偿后的精度，则用测量仪器测量该定位点的实际位置。机器人末端位置补偿后为： <math display="block" id="M27"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mo>″</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444092&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444091&type= 21.08200073 3.13266683 ， 式中： P″ 为补偿后的位置， P 为名义位置，Δ P' 为3.3节由 式（15） 式（15） 插值得到的预测误差。用实际值 P' 减去补偿值 P″ 即可得到补偿后的误差 ε 。 <math display="block" id="M28"><mi>ε</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mo>″</mo></mrow></msup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>P</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444094&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444093&type= 37.67666626 3.04800010 . 由 式（19） 式（19） 可知，插值的精度为该定位点的实际误差和预测误差的差值，即残差。 4 实 验 1 为验证本文所提补偿方法，以某公司生产的六自由度EC66型机器人为实验对象，其末端最大负载为6 kg，重复定位精度为0.03 mm，工作半径为914 mm；机器人运动误差的测量仪器为API激光跟踪仪，测量精度为10 μm+5 μm/m。实验平台如 图7 图7 所示。 本实验在边长为200 mm的立方体工作空间中进行网格划分，网格的边长为50 mm，网格数为64个。网格参考点为125个，为了说明文章所提方法的普遍适用性，在所选择的工作空间中任意选取64个定位点进行误差预测和补偿。 4.1　坐标系参数预辨识 2 由于采集的网格参考点和定位点均是在激光跟踪仪测量坐标系下的位置，而采集的关节角通过2.1节建立的运动学模型计算得到的机器人末端位置是在机器人基坐标系下的，为了统一坐标系，在进行空间插值补偿之前需要将两个坐标系对齐，找出机器人基坐标系在激光跟踪仪测量坐标系下的位姿矩阵 <math id="M29"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mmultiscripts><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444098&type= 4.40266657 4.48733330 ，以及靶球中心相对于机器人末端法兰中心的位姿矩阵 <math id="M30"><msubsup><mrow/><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msubsup><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444101&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444100&type= 4.14866638 3.97933316 ，由此可以得到机器人末端工具靶球反射中心相对于测量坐标系的坐标变换矩阵 <math id="M31"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mmultiscripts><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444107&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444106&type= 4.40266657 4.48733330 ： <math display="block" id="M32"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mmultiscripts><mi>T</mi><mo>=</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></mmultiscripts><mo>⋅</mo><mmultiscripts><mrow><mi>T</mi></mrow><mprescripts/><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></mmultiscripts></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444105&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444104&type= 56.30332947 4.48733330 ， 式中： <math id="M33"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mmultiscripts><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444107&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444106&type= 4.40266657 4.48733330 最后一列的前三行为机器人末端位置 <math id="M34"><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mmultiscripts><mi>P</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>y</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444109&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=33444108&type= 29.04066467 5.16466665 ，在坐标变换矩阵（20）中，共有9个未知参数需要辨识：（ α ， β ， γ ， b x ， b y ， b z ， l x ， l y ， l z ），前六个参数为基坐标系相对于测量坐标系的旋转变量和偏移变量，后三个参数为靶球中心相对于机器人末端法兰中心的偏移变量，将采集得到的采样点带入坐标变换矩阵（20）中，求其最小二乘解，即可辨识出9个未知参数，最后将机器人末端靶球反射中心的坐标系转换到测量坐标系下，根据2.2节建立的位置误差模型，可得到预辨识后机器人的末端位置误差。预辨识后机器人末端在 x ， y ， z 各方向位置误差绝对值的最大值分别为：0.72 mm，1.03 mm，0.24 mm，平均值分别为0.30 mm，0.23 mm，0.07 mm，标准差分别为：0.35 mm，0.29 mm，0.09 mm。 4.2　空间插值补偿 2 按照规划的工作空间网格，利用激光跟踪仪测量各网格参考点的实际位置，计算位置误差，随机选取定位点，利用本文提出的方法对定位点的误差进行预测和补偿，最后与现有的基于距离的插值补偿方法进行对比。具体如下：（1）使用激光跟踪仪测量立方体网格各个参考点的实际位置并从机器人控制器中读取相应的关节角，将关节角带入 公式（2） 公式（2） 中即可计算出机器人末端理论位置，将关节角和采集的实际末端坐标带入 公式（6） 公式（6） 中即可得到各个网格参考点的位置误差；（2）在机器人工作空间中随机选取64个定位点进行测试，利用激光跟踪仪测量这些点的实际末端位置和关节角，同步骤（1）即可得到定位点的末端理论位置和误差，在这里将定位点的误差称为计算误差；（3）采集每个网格的中心点坐标并计算出理论位置；（4）利用公式（ 12 12 ）~（ 14 14 ）计算出| KK 0 |、| KK i |、| K 0 K i |、距离评价函数和方向评价函数，最后得到权值评价指标 q i ；（5）根据前几步计算得到的网格参考点误差、定位点理论值、网格中心点坐标和权值评价指标 q i ，即可根据 公式（15） 公式（15） 预测出定位点的误差，在这里将定位点的误差称为预测误差；（6）将定位点的计算误差和预测误差做差即可计算出定位点残差，即插值精度。 为了说明本文方法实现的步骤，从实验数据中取出一个定位点，对比基于距离和基于夹角余弦值的两种评价指标计算的权值差异，从而研究两种评价指标分别在什么情况下起作用，该定位点到8个网格参考点的距离、夹角的余弦值、距离评价函数的权值和方向评价函数的权值如 表3 表3 所示： 网格顶点 到定位点的距离 d i /mm 余弦值cos α i 距离评价函数的权值 γ i 方向评价函数的权值 ξ i 1 60.46 2.21 0.09 0.05 2 52.11 1.85 0.10 0.06 3 40.97 1.30 0.13 0.09 4 51.42 1.82 0.10 0.06 5 51.33 1.81 0.10 0.06 6 41.33 1.32 0.13 0.09 7 26.01 0.24 0.21 0.49 8 40.43 1.27 0.13 0.09 通过 表3 表3 数据分析可以看出，定位点距离第七个网格参考点的距离比较近，夹角的余弦值也比较小，符合3.3节所提准则。同时可以看出距离评价函数的权值在第七个网格参考点处比较大，权值比较大的网格参考点分配给定位点的误差是最多的，因此，若第七个网格顶点的误差相似性比较好时，该定位点的插值效果比较好，但是距离评价函数的权值在其他网格参考点处分配比较平均，使得定位点最终插值的结果受到其他网格参考点处的误差影响比较大。而方向评价函数在第七个网格参考点处的权值比其他网格参考点处的权值都要大很多，使得该网格参考点分配到定位点的误差最多，同时受到其他网格参考点的误差影响比较小。因此，方向评价函数相比于距离评价函数在距离定位点较近的网格顶点处获得的权值大，更能充分发挥出误差相似性的优势。分别用距离评价函数和方向评价函数对该定位点补偿后的结果如 表4 表4 所示，距离评价函数插值补偿后的误差绝对值的最大值为0.09 mm，方向评价函数插值补偿后的误差绝对值的最大值为0.07 mm。 距离评价函数 插值结果 方向评价函数 插值结果 x /mm 0.02 0.03 y /mm 0.09 0.07 z /mm 0.03 0.03 为了说明所提方法的普遍适用性，将其余定位点分别使用距离评价函数和方向评价函数进行插值补偿，补偿结果如图 8 8 和 9 9 所示，补偿后误差绝对值的最大值、平均值和标准差如 表5 表5 和 表6 表6 所示。从图表中可以看出，距离评价函数和方向评价函数补偿后的误差差别并不是很大，但是距离评价函数补偿后的结果在部分点处优于方向评价函数，方向评价函数在部分点处优于距离评价函数。因此，网格中定位点的分布不同，误差相似性也会有所变化，并且实际应用中 x ， y ， z 各方向的误差相似性也是不同的。由于方向评价函数的权值要大于距离评价函数，当各网格参考点与插值定位点误差相似性比较好时，误差相似度 ω 2 将大于 ω 1 ，采用方向评价函数可以使其发挥误差相似性的优势，当误差相似性一般时，采用方向评价函数只会放大误差；而距离评价函数权值分配比较平均，当各网格参考点与插值定位点误差相似性一般时，误差相似度 ω 1 将大于 ω 2 ，采用距离评价函数插值结果更好，当误差相似性比较好时，采用距离评价函数将不能充分发挥误差相似性的特性。同时，由于 x ， y ， z 方向的误差相似性也是不同的，对于误差相似性 ω 2 大于 ω 1 的方向采用方向评价函数，对于误差相似性 ω 1 大于 ω 2 的方向采用距离评价函数，综合两种评价指标的优势，使定位点的插值结果变得更好，使用本文所提空间插值补偿法插值补偿后的结果如 图10 图10 和 表7 表7 所示。 最大值 平均值 标准差 x /mm 0.12 0.03 0.03 y /mm 0.14 0.04 0.05 z /mm 0.08 0.02 0.03 最大值 平均值 标准差 x /mm 0.07 0.02 0.03 y /mm 0.15 0.04 0.05 z /mm 0.09 0.02 0.03 最大值 平均值 标准差 x /mm 0.07 0.02 0.02 y /mm 0.11 0.04 0.04 z /mm 0.07 0.02 0.03 结果表明：距离评价函数和方向评价函数插值补偿后误差最大值分别为：0.14 mm和0.15 mm，标准差均为：0.05 mm，本文方法插值补偿后误差最大值为：0.11 mm，标准差为：0.04 mm，误差最大值比前述方法分别提高了21.4%和26.7%，标准差比前述方法提高了20%。上述最大值和标准差均是描述 x ， y ， z 方向中误差最大方向的误差。由此可知，本文提出的各向异性空间插值补偿方法相比于单一权值插值方法插值补偿后的精度有了明显的提高。 5 结 论 1 本文提出一种包含距离和方向的机器人定位误差预测和补偿方法。首先，建立了机器人运动学模型，在此基础上，通过刚体微分运动学理论建立机器人位置误差模型。通过对机器人工作空间中各定位点误差关联性的分析，构建包含定位点和参考点距离与方向的相似度评价函数，并基于评价函数提出一种各向异性的空间插值补偿方法。实验结果表明：提出的空间插值补偿方法相对于传统的反距离加权插值方法补偿精度更高、各方向更均匀，补偿后机器人在 x ， y ， z 方向定位误差最大值下降到0.07 mm，0.11 mm，0.07 mm，从而验证了该方法的有效性。 参考文献 周炜 ， 廖文和 ， 田威 ， 等 . 面向飞机自动化装配的机器人空间网格精度补偿方法研究 ［J］. 中国机械工程 ， 2012 ， 23 （ 19 ）： 2306 - 2311 . doi: 10.3969/j.issn.1004-132X.2012.19.008 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1004-132X.2012.19.008 面向飞机自动化装配的机器人空间网格精度补偿方法研究 ZHOU W ， LIAO W H ， TIAN W ， et al . Robot accuracy compensation method of spatial grid for aircraft automatic assembly ［J］. China Mechanical Engineering ， 2012 ， 23 （ 19 ）： 2306 - 2311 . （in Chinese） . doi: 10.3969/j.issn.1004-132X.2012.19.008 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1004-132X.2012.19.008 Robot accuracy compensation method of spatial grid for aircraft automatic assembly CHEN C ， PENG F Y ， YAN R ， et al . Stiffness performance index based posture and feed orientation optimization in robotic milling process ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing ， 2019 ， 55 ： 29 - 40 . doi: 10.1016/j.rcim.2018.07.003 http://dx.doi.org/10.1016/j.rcim.2018.07.003 Stiffness performance index based posture and feed orientation optimization in robotic milling process SUN T ， LIU C Y ， LIAN B B ， et al . Calibration for precision kinematic control of an articulated serial robot ［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics ， 2021 ， 68 （ 7 ）： 6000 - 6009 . doi: 10.1109/tie.2020.2994890 http://dx.doi.org/10.1109/tie.2020.2994890 Calibration for precision kinematic control of an articulated serial robot 花芳芳 ， 田威 ， 胡俊山 ， 等 . 基于深度神经网络的机器人定位误差补偿方法 ［J］. 航空制造技术 ， 2020 ， 63 （ 17 ）： 78 - 85 . doi: 10.1109/cac51589.2020.9327212 http://dx.doi.org/10.1109/cac51589.2020.9327212 基于深度神经网络的机器人定位误差补偿方法 HUA F F ， TIAN W ， HU J SH ， et al . Robot positioning error compensation method based on deep neural network ［J］. Aeronautical Manufacturing Technology ， 2020 ， 63 （ 17 ）： 78 - 85 . （in Chinese） . doi: 10.1109/cac51589.2020.9327212 http://dx.doi.org/10.1109/cac51589.2020.9327212 Robot positioning error compensation method based on deep neural network YANG P ， GUO Z G ， KONG Y B . Plane kinematic calibration method for industrial robot based on dynamic measurement of double ball bar ［J］. Precision Engineering ， 2020 ， 62 ： 265 - 272 . doi: 10.1016/j.precisioneng.2019.12.010 http://dx.doi.org/10.1016/j.precisioneng.2019.12.010 Plane kinematic calibration method for industrial robot based on dynamic measurement of double ball bar 李广云 ， 罗豪龙 ， 王力 . 机器人工具坐标系的快速标定方法 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 6 ）： 1375 - 1386 . doi: 10.37188/OPE.20212906.1375 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212906.1375 机器人工具坐标系的快速标定方法 LI G Y ， LUO H L ， WANG L . Fast calibration method of robot tool coordinate ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 6 ）： 1375 - 1386 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212906.1375 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212906.1375 Fast calibration method of robot tool coordinate 于连栋 ， 曹家铭 ， 赵会宁 ， 等 . 关节臂式坐标测量机的运动学建模 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 11 ）： 2603 - 2612 . doi: 10.37188/OPE.20212911.2603 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212911.2603 关节臂式坐标测量机的运动学建模 YU L D ， CAO J M ， ZHAO H N ， et al . Kinematics model of articulated arm measuring machine ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 11 ）： 2603 - 2612 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212911.2603 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212911.2603 Kinematics model of articulated arm measuring machine GAN Y H ， DUAN J J ， DAI X Z . A calibration method of robot kinematic parameters by drawstring displacement sensor ［J］. International Journal of Advanced Robotic Systems ， 2019 ， 16 （ 5 ）： 172988141988307 . doi: 10.1177/1729881419883072 http://dx.doi.org/10.1177/1729881419883072 A calibration method of robot kinematic parameters by drawstring displacement sensor GROTJAHN M ， DAEMI M ， HEIMANN B . Friction and rigid body identification of robot dynamics ［J］. International Journal of Solids and Structures ， 2001 ， 38 （ 10/11/12/13 ）： 1889 - 1902 . doi: 10.1016/s0020-7683(00)00141-4 http://dx.doi.org/10.1016/s0020-7683(00)00141-4 Friction and rigid body identification of robot dynamics JIANG Z H ， ZHOU W G ， LI H ， et al . A new kind of accurate calibration method for robotic kinematic parameters based on the extended Kalman and particle filter algorithm ［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics ， 2018 ， 65 （ 4 ）： 3337 - 3345 . doi: 10.1109/tie.2017.2748058 http://dx.doi.org/10.1109/tie.2017.2748058 A new kind of accurate calibration method for robotic kinematic parameters based on the extended Kalman and particle filter algorithm 乔贵方 ， 吕仲艳 ， 张颖 ， 等 . 基于BAS-PSO算法的机器人定位精度提升 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 4 ）： 763 - 771 . doi: 10.37188/OPE.20212904.0763 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212904.0763 基于BAS-PSO算法的机器人定位精度提升 QIAO G F ， LÜ ZH Y ， ZHANG Y ， et al . Improvement of robot kinematic accuracy based on BAS-PSO algorithm ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 4 ）： 763 - 771 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212904.0763 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212904.0763 Improvement of robot kinematic accuracy based on BAS-PSO algorithm TOQUICA J S ， MOTTA J M S T . A methodology for industrial robot calibration based on measurement sub-regions ［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology ， 2022 ， 119 （ 1/2 ）： 1199 - 1216 . doi: 10.1007/s00170-021-08308-4 http://dx.doi.org/10.1007/s00170-021-08308-4 A methodology for industrial robot calibration based on measurement sub-regions LUO G Y ， ZOU L ， WANG Z L ， et al . A novel kinematic parameters calibration method for industrial robot based on Levenberg-Marquardt and Differential Evolution hybrid algorithm ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing ， 2021 ， 71 ： 102165 . doi: 10.1016/j.rcim.2021.102165 http://dx.doi.org/10.1016/j.rcim.2021.102165 A novel kinematic parameters calibration method for industrial robot based on Levenberg-Marquardt and Differential Evolution hybrid algorithm HE L Y ， LI Q C ， ZHU X B ， et al . Kinematic calibration of a three degrees-of-freedom parallel manipulator with a laser tracker ［J］. Journal of Dynamic Systems， Measurement， and Control ， 2019 ， 141 （ 3 ）： 031009 . doi: 10.1115/1.4041749 http://dx.doi.org/10.1115/1.4041749 Kinematic calibration of a three degrees-of-freedom parallel manipulator with a laser tracker 曾远帆 . 基于空间相似性的工业机器人定位精度补偿技术研究 ［D］. 南京 ： 南京航空航天大学 ， 2017 . 基于空间相似性的工业机器人定位精度补偿技术研究 ZENG Y F . Positional Error Compensation Technology for Industrial Robot Based on Spatial Similarity ［D］. Nanjing ： Nanjing University of Aeronautics and Astronautics ， 2017 . （in Chinese） Positional Error Compensation Technology for Industrial Robot Based on Spatial Similarity WANG W ， TIAN W ， LIAO W H ， et al . Error compensation of industrial robot based on deep belief network and error similarity ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing ， 2022 ， 73 ： 102220 . doi: 10.1016/j.rcim.2021.102220 http://dx.doi.org/10.1016/j.rcim.2021.102220 Error compensation of industrial robot based on deep belief network and error similarity CHEN D D ， WANG T M ， YUAN P J ， et al . A positional error compensation method for industrial robots combining error similarity and radial basis function neural network ［J］. Measurement Science and Technology ， 2019 ， 30 （ 12 ）： 125010 . doi: 10.1088/1361-6501/ab3311 http://dx.doi.org/10.1088/1361-6501/ab3311 A positional error compensation method for industrial robots combining error similarity and radial basis function neural network WANG W ， TIAN W ， LIAO W H ， et al . Pose accuracy compensation of mobile industry robot with binocular vision measurement and deep belief network ［J］. Optik ， 2021 ， 238 ： 166716 . doi: 10.1016/j.ijleo.2021.166716 http://dx.doi.org/10.1016/j.ijleo.2021.166716 Pose accuracy compensation of mobile industry robot with binocular vision measurement and deep belief network XUE J ， QIU Z R ， FANG L ， et al . Angular measurement of high precision reducer for industrial robot ［J］. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement ， 2021 ， 70 ： 1 - 10 . doi: 10.1109/tim.2020.3028887 http://dx.doi.org/10.1109/tim.2020.3028887 Angular measurement of high precision reducer for industrial robot 周炜 ， 廖文和 ， 田威 . 基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验 ［J］. 机械工程学报 ， 2013 ， 49 （ 3 ）： 42 - 48 . doi: 10.3901/jme.2013.03.042 http://dx.doi.org/10.3901/jme.2013.03.042 基于空间插值的工业机器人精度补偿方法理论与试验 ZHOU W ， LIAO W H ， TIAN W . Theory and experiment of industrial robot accuracy compensation method based on spatial interpolation ［J］. Journal of Mechanical Engineering ， 2013 ， 49 （ 3 ）： 42 - 48 . （in Chinese） . doi: 10.3901/jme.2013.03.042 http://dx.doi.org/10.3901/jme.2013.03.042 Theory and experiment of industrial robot accuracy compensation method based on spatial interpolation 高贯斌 ， 张石文 ， 那靖 ， 等 . 基于标定和关节空间插值的工业机器人轨迹误差补偿 ［J］. 机械工程学报 ， 2021 ， 57 （ 21 ）： 55 - 67 . doi: 10.3901/jme.2021.21.055 http://dx.doi.org/10.3901/jme.2021.21.055 基于标定和关节空间插值的工业机器人轨迹误差补偿 GAO G B ， ZHANG SH W ， NA J ， et al . Compensation of trajectory error for industrial robots by interpolation and calibration method in the joint space ［J］. Journal of Mechanical Engineering ， 2021 ， 57 （ 21 ）： 55 - 67 . （in Chinese） . doi: 10.3901/jme.2021.21.055 http://dx.doi.org/10.3901/jme.2021.21.055 Compensation of trajectory error for industrial robots by interpolation and calibration method in the joint space CAO S M ， CHENG Q L ， GUO Y J ， et al . Pose error compensation based on joint space division for 6-DOF robot manipulators ［J］. Precision Engineering ， 2022 ， 74 ： 195 - 204 . doi: 10.1016/j.precisioneng.2021.11.010 http://dx.doi.org/10.1016/j.precisioneng.2021.11.010 Pose error compensation based on joint space division for 6-DOF robot manipulators 石章虎 ， 何晓煦 ， 曾德标 ， 等 . 基于误差相似性的移动机器人定位误差补偿 ［J］. 航空学报 ， 2020 ， 41 （ 11 ）： 428 - 439 . doi: 10.7527/S1000-6893.2020.24105 http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2020.24105 基于误差相似性的移动机器人定位误差补偿 SHI ZH H ， HE X X ， ZENG D B ， et al . Error compensation method for mobile robot positioning based on error similarity ［J］. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica ， 2020 ， 41 （ 11 ）： 428 - 439 . （in Chinese） . doi: 10.7527/S1000-6893.2020.24105 http://dx.doi.org/10.7527/S1000-6893.2020.24105 Error compensation method for mobile robot positioning based on error similarity XIAO P F ， JU H H ， LI Q D ， et al . A new fixed axis-invariant based calibration approach to improve absolute positioning accuracy of manipulators ［J］. IEEE Access ， 2020 ， 8 ： 134224 - 134232 . doi: 10.1109/access.2020.3011328 http://dx.doi.org/10.1109/access.2020.3011328 A new fixed axis-invariant based calibration approach to improve absolute positioning accuracy of manipulators CHEN T Y ， LIN J S ， WU D Y ， et al . Research of calibration method for industrial robot based on error model of position ［J］. Applied Sciences ， 2021 ， 11 （ 3 ）： 1287 . doi: 10.3390/app11031287 http://dx.doi.org/10.3390/app11031287 Research of calibration method for industrial robot based on error model of position CHO Y ， DO H M ， CHEONG J . Screw based kinematic calibration method for robot manipulators with joint compliance using circular point analysis ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing ， 2019 ， 60 ： 63 - 76 . doi: 10.1016/j.rcim.2018.08.001 http://dx.doi.org/10.1016/j.rcim.2018.08.001 Screw based kinematic calibration method for robot manipulators with joint compliance using circular point analysis 赵京 ， 王鑫 ， 张自强 ， 等 . 基于肘部自运动的主从异构7自由度机械臂运动映射及其几何逆解 ［J］. 机械工程学报 ， 2020 ， 56 （ 15 ）： 181 - 190 . doi: 10.3901/jme.2020.15.181 http://dx.doi.org/10.3901/jme.2020.15.181 基于肘部自运动的主从异构7自由度机械臂运动映射及其几何逆解 ZHAO J ， WANG X ， ZHANG Z Q ， et al . Master-slave 7-DOF manipulator motion mapping based on elbow self-motion and its analytical geometric inverse kinematics ［J］. Journal of Mechanical Engineering ， 2020 ， 56 （ 15 ）： 181 - 190 . （in Chinese） . doi: 10.3901/jme.2020.15.181 http://dx.doi.org/10.3901/jme.2020.15.181 Master-slave 7-DOF manipulator motion mapping based on elbow self-motion and its analytical geometric inverse kinematics 张栩曼 ， 张中哲 ， 王燕波 ， 等 . 基于空间六自由度机械臂的逆运动学数值解法 ［J］. 导弹与航天运载技术 ， 2016 ，（ 3 ）： 81 - 84 . doi: 10.7654/j.issn.1004-7182.20160319 http://dx.doi.org/10.7654/j.issn.1004-7182.20160319 基于空间六自由度机械臂的逆运动学数值解法 ZHANG X M ， ZHANG ZH ZH ， WANG Y B ， et al . Inverse kinematical numerical method based on 6-DOF space manipulator ［J］. Missiles and Space Vehicles ， 2016 （ 3 ）： 81 - 84 . （in Chinese） . doi: 10.7654/j.issn.1004-7182.20160319 http://dx.doi.org/10.7654/j.issn.1004-7182.20160319 Inverse kinematical numerical method based on 6-DOF space manipulator 张宏伟 . 基于距离的工业机器人运动学标定及误差补偿 ［D］. 昆明 ： 昆明理工大学 ， 2019 . doi: 10.22266/ijies2013.0331.03 http://dx.doi.org/10.22266/ijies2013.0331.03 基于距离的工业机器人运动学标定及误差补偿 ZHANG H W . Research on Kinematics Calibration and Error Compensation of Industrial Robots Based on Distance ［D］. Kunming ： Kunming University of Science and Technology ， 2019 . （in Chinese） . doi: 10.22266/ijies2013.0331.03 http://dx.doi.org/10.22266/ijies2013.0331.03 Research on Kinematics Calibration and Error Compensation of Industrial Robots Based on Distance ZENG Y F ， TIAN W ， LIAO W H . Positional error similarity analysis for error compensation of industrial robots ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing ， 2016 ， 42 ： 113 - 120 . doi: 10.1016/j.rcim.2016.05.011 http://dx.doi.org/10.1016/j.rcim.2016.05.011 Positional error similarity analysis for error compensation of industrial robots 10.37188/OPE.XXXXXXXX.0001 TP242.2 A 1004-924X（XXXX）XX-0001-13 高贯斌,牛锦鹏,刘飞等.基于各向异性误差相似度的六自由度机器人定位误差补偿[J].光学精密工程,DOI:10.37188/OPE.XXXXXXXX.0001 高贯斌,牛锦鹏,刘飞等.基于各向异性误差相似度的六自由度机器人定位误差补偿[J].光学精密工程,DOI:10.37188/OPE.XXXXXXXX.0001 GAO Guanbin,NIU Jinpeng,LIU Fei,et al.Positioning error compensation of 6-DOF robots based on anisotropic error similarity[J].Optics and Precision Engineering,DOI:10.37188/OPE.XXXXXXXX.0001 GAO Guanbin,NIU Jinpeng,LIU Fei,et al.Positioning error compensation of 6-DOF robots based on anisotropic error similarity[J].Optics and Precision Engineering,DOI:10.37188/OPE.XXXXXXXX.0001 国家自然科学基金资助项目（No. 51865020） 2022-04-03 2022-05-10 2022-08-22 2022-08-22 光学精密工程