柔性扫描平台最优阶多项式速度曲线控制

柔性扫描平台最优阶多项式速度曲线控制 Optimal order polynomial motion profile for high-precision flexible scanning platform 1 3 first-author 李龙辉（1994-），男，安徽淮南人，2017年获得长春理工大学学士学位，2018年攻读长春理工大学硕士学位。主要从事机电一体化及高精度运动控制方面的研究。E-mail：longhui.li@mails.cust.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869713&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869719&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869716&type= 22.01330566 32.00399780 李龙辉 （1994-），男，安徽淮南人，2017年获得长春理工大学学士学位，2018年攻读长春理工大学硕士学位。主要从事机电一体化及高精度运动控制方面的研究。E-mail： longhui.li@mails.cust.edu.cn longhui.li@mails.cust.edu.cn 2 3 2 3 2 3 1 2 3 corresp E-mail： zhoulq@sibet.ac.cn E-mail： zhoulq@sibet.ac.cn zhoulq@sibet.ac.cn 3 4 corresp yaojia@sibet.ac.cn yaojia@sibet.ac.cn yaojia@sibet.ac.cn 长春理工大学 机电工程学院，吉林 长春 130022 长春理工大学 机电工程学院，吉林 长春 130022 School of Mechanical and Electrical Engineering，Changchun University of Science and Technology， Changchun 130022， China School of Mechanical and Electrical Engineering，Changchun University of Science and Technology， Changchun 130022， China 中国科学技术大学，安徽 合肥 230026 中国科学技术大学，安徽 合肥 230026 University of Science and Technology of China， Hefei 230026， China University of Science and Technology of China， Hefei 230026， China 中国科学院 苏州生物医学工程技术研究所 中国科学院生物医学检验技术重点实验室，江苏 苏州 215163 中国科学院 苏州生物医学工程技术研究所 中国科学院生物医学检验技术重点实验室，江苏 苏州 215163 Key Laboratory of Bio-medical Diagnosis， Chinese Academy of Sciences，Suzhou Institute of Biomedical Engineering and Technology，Chinese Academy of Sciences， Suzhou 215163， China Key Laboratory of Bio-medical Diagnosis， Chinese Academy of Sciences，Suzhou Institute of Biomedical Engineering and Technology，Chinese Academy of Sciences， Suzhou 215163， China 苏州大学 电子信息学院，江苏 苏州 215006 苏州大学 电子信息学院，江苏 苏州 215006 School of Electronic and Information Engineering， Soochow University， Suzhou 215006， China School of Electronic and Information Engineering， Soochow University， Suzhou 215006， China 针对高精度柔性扫描平台以现有速度曲线模型运动时运算量、残余振动大以及稳态时间长等问题，基于时间最优原则建立了最优阶多项式速度曲线，降低高精度柔性扫描平台运动时的残余振动与稳态时间。建立高精度柔性扫描平台简化模型，以速度、加速度、加加速度及其一阶导数等限制条件为边界，对不同阶数多项式速度曲线进行残余振动仿真分析，由仿真结果确定多项式速度曲线最优阶，随后构建最优阶多项式速度曲线方程并以高精度柔性扫描平台为对象进行残余振动实验。最优阶多项式速度曲线与传统梯形速度曲线相比，高精度柔性扫描平台实际残余振动加速度峰值降低了67.91%，稳态时间缩短了49.92%；与常规三阶多项式速度曲线相比，高精度柔性扫描平台实际残余振动加速度峰值降低了42.94%，稳态时间缩短了32.50%，具有较好性能。本文提出的最优阶多项式速度曲线模型克服了现有速度曲线在高精度柔性扫描平台应用中运算量与残余振动较大，稳态时间较长的问题，实验结果表明该速度曲线模型有效降低了残余振动，缩短了稳态时间，提高了运行效率，进而提高了高精度柔性扫描平台的性能。 To solve the problems of large computational capacity requirement, high residual vibration, and long settling time when a high-precision flexible scanning platform moves, by using the existing motion profile model, an optimized order polynomial motion profile model based on the principle of optimized time is proposed. A simplified model of a high-precision flexible scanning platform was established, and residual vibration simulation for motion profiles using different order polynomials was carried out with limitations set on velocity, acceleration, and jerk and its derivative. The optimal polynomial motion profile equation with optimal order polynomial as determined by simulation results was solved, and residual vibration experiments on a high-precision flexible scanning platform were carried out. Compared with the traditional trapezoidal motion profile, for the high-precision flexible scanning platform using the optimal polynomial motion profile, the residual vibration acceleration peak was reduced by 67.91%, and the settling time was reduced by 49.92%. Compared with the conventional third-order polynomial motion profile, for the high-precision flexible scanning platform using the optimal polynomial motion profile, the residual vibration acceleration peak was reduced by 42.94%, and the settling time was reduced by 32.50%. The optimal polynomial motion profile displayed good performance. The optimal polynomial motion profile model proposed in this study can overcome the problems of large computational capacity requirement, high residual vibration, and long settling time in the application of a high-precision flexible scanning platform with the existing motion profile model. These experimental results show that the motion profile model effectively reduces residual vibration and settling time and improves the efficiency and performance of the high-precision flexible scanning platform. 速度曲线 残余振动 稳态时间 柔性扫描平台 S曲线 motion profile residual vibration settling time flexible scanning platform S-curve 1 引　言 1 在精密制造行业，如何提高生产效率一直是研究的主要课题之一 ［ 1 1 ］ 。在高精度柔性扫描平台控制中，缩短运动时间和减小因运动造成的残余振动和稳态时间对提高效率有着重要的作用。考虑到实际实现过程，采用满足时间最优原则 ［ 2 2 - 3 3 2-3 ］ 并且加速度和速度较大的运动曲线是缩短运动时间的有效途径之一。但是较大的加速度容易在运动系统中激发不必要的残余振动，这将导致需要额外的时间衰减振动，反而需要更长的时间才能达到稳态 ［ 4 4 ］ 且会影响系统精度和寿命 ［ 5 5 ］ 。合适的速度曲线在运动控制中起着至关重要的作用，其可以使执行机构迅速运动至目标位置，提高运行效率 ［ 6 6 ］ ，同时减少振动和能量消耗，提高系统的定位精度和寿命 ［ 7 7 ］ 。 在过去的几十年里，人们探索了多种速度曲线对执行机构运行效率的影响。常用的速度曲线有：梯形速度曲线和S型速度曲线 ［ 8 8 - 9 9 8-9 ］ 。从应用的角度而言，梯形速度曲线通常被认为是在给定速度和加速度等限制条件下运行时间最短的曲线 ［ 2 2 ， 10 10 ］ 。但是由于梯形速度曲线加速度不连续，存在冲击，会导致执行机构的较大残余振动 ［ 11 11 ］ 。S型速度曲线的加速度是连续的，不会存在严重的冲击，和梯形速度曲线相比，其对机构激发的残余振动更小 ［ 12 12 - 13 13 12-13 ］ 。因此S型速度曲线在对定位精度和运动时间敏感的精密运动控制中的应用更广泛。Martínez等 ［ 7 7 ］ 基于树莓派和FPGA构建一个三阶多项式S型速度曲线应用实例并分析了其定位误差。Broquere等 ［ 14 14 ］ 提出了一种基于三阶多项式S型速度曲线的柔性运动轨迹规划方法，该方法可以在一维和多维的情况下限制加速度和加加速度值。杨亮亮等 ［ 3 3 ］ 提出基于时间最优原则，采用牛顿迭代法对非对称三阶多项式S型速度曲线进行加减速时间的求解的算法。然而，这些方法只是对梯形速度曲线和三阶多项式S型速度曲线进行了分析，未分析其他S型速度曲线对运动系统残余振动与稳态时间的影响，且未分析多项式速度曲线的最优阶。Bai等 ［ 4 4 ］ 建立变加加速度的三阶多项式速度曲线，对柔性系统模型进行分析并优化曲线参数，对优化前后的曲线进行了残余振动和稳态时间实验对比分析，虽然优化后的三阶多项式速度曲线具有较好效果，但是优化曲线参数时需特定且复杂的算法，同时未分析更高阶多项式速度曲线的影响。方佳伟等 ［ 15 15 ］ 提出基于Sigmoid函数的S型速度曲线，采用时间与速度数组遍历查询方法进行程序控制。Li等 ［ 16 16 ］ 建立了三角函数S型速度曲线，并分析了与梯形速度曲线、三阶多项式和三角函数S型速度曲线对柔性系统残余振动和稳态时间影响，三角函数S型速度曲线虽然具有较好的性能，但是其采用离线处理，对速度数组遍历的查询方法进行程序控制，当曲线复杂时数据量将非常大，对控制器的存储性能提出新的要求，并且不满足时间最优原则，执行效率不高。因此，建立符合时间最优原则且计算量、残余振动和稳态时间均较小的速度曲线来提高执行机构运行效率是必要的。 本文依据时间最优原则，对现有速度曲线进行分析，以高精度柔性扫描平台为对象建立仿真模型，以其速度、加速度、加加速度及其一阶导数等限制为边界，对不同阶数的多项式速度曲线进行残余振动仿真分析，构建最优阶多项式速度曲线，并基于对称原理在嵌入式系统实现较小运算量的实时在线计算。该方法有效降低了高精度柔性扫描平台的残余振动和缩短稳态时间，进而提高运行效率。 2 速度曲线分析 1 2.1　梯形速度曲线 2 如 图1 图1 所示，梯形速度曲线的速度按照斜率为 a max 的直线增加或按斜率为 -a max 的直线减小，在给定加速度限制 a max 时能够以最小的时间加速至最大速度或减速至零，最符合时间最优原则。但是梯形速度曲线的加速度存在突变，加速度曲线不平滑，存在无穷大的加加速度。加加速度（Jerk，加速度一阶导数）大小对控制算法的效率和整个系统的稳定性都有极大的影响 ［ 17 17 ］ 。对加加速度的大小进行限制，在减小结构振动、机械磨损和运动定位误差方面具有重要意义 ［ 18 18 ］ 。由于存在无穷大的加加速度，梯形速度曲线将导致执行机构存在较大冲击，在运行结束时激发较大残余振动 ［ 19 19 ］ 。同时梯形速度曲线是非光滑的轨迹曲线，激发的残余振动会降低执行机构的寿命，执行机构在完成路径跟踪和重复运动等任务时，也会产生较大的误差 ［ 20 20 ］ 。 2.2　S型速度曲线 2 S型速度曲线由于其速度和加速度具有连续性，并且加加速度的大小受到限制，执行机构在运动过程中的速度和加速度不存在突变，因而能够有效减小冲击，抑制残余振动，使执行机构更平稳地运行。S型速度曲线包括基于三角函数型速度曲线、Sigmoid函数型速度曲线和多项式的速度曲线。 2 . 2 . 1　三角函数和Sigmoid函数S型速度曲线 3 三角函数S型速度曲线是将速度曲线的加加速度值用三角函数描述，可以分为正弦函数模型与余弦函数模型，分别由不同的分段函数表示。 正弦函数模型的各曲线段的加加速度是由正弦函数表示，其表达式如 式（1） 式（1） 。正弦函数模型的加加速度、加速度和速度曲线均是连续的，但加加速度和加速度只在几个孤立点达到最大值，最大值无持续输出。余弦函数模型通过将余弦函数平移构成新的加加速度曲线，其加加速度表达式如 式（2） 式（2） 。与正弦函数模型一致，加加速度、加速度和速度曲线均连续，虽然加速度最大值有持续的输出，但曲线段数比正弦函数模型增加一倍，同时加加速度最大值同样只在几个孤立点有最大值。 <math display="block" id="M1"><mi>J</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mi>K</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869739&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869735&type= 44.61933517 8.80533314 ， <math display="block" id="M2"><mi>J</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mi>K</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869743&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869741&type= 56.81133270 9.56733322 . 三角函数S型速度曲线只需要四个参数（ J max ， T ， t 0 ， K ）就能确定加加速度曲线，其中 J max 为加加速度最大值， T 为与周期相关的参数， t 0 为偏移值， K 为与曲线段数相关的参数，取±1或0。三角函数S型速度曲线任意阶可导，不会存在突变等极端情况，可有效避免冲击，抑制了残余振动。但由于工业领域需要提高生产率以提高效率，因此时间最优原则是需要考虑的一个关键因素。三角函数S型速度曲线由于加加速度或加速度没有持续的最大值输出，不能满足时间最优原则，执行效率相对不高。 Sigmoid函数是常见的S型曲线，其严格单调并且连续，可以作为S型速度曲线的拟合函数。Sigmoid函数表达式如 式（3） 式（3） ： <math display="block" id="M3"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869750&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869747&type= 25.06133461 7.87400007 . 将 式（3） 式（3） 在坐标平面内进行缩放和平移，建立能用于描述速度曲线的函数，如 式（4） 式（4） ： <math display="block" id="M4"><mi>f</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>a</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>b</mi><mi>t</mi><mo>-</mo><mi>c</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869758&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869754&type= 30.81866837 7.95866632 ， 其中： a，b，c，K 均为常量， <math id="M5"><mi>K</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869763&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869761&type= 2.79399991 2.79399991 为函数增益。 f（t） 可作为速度、加速度、加加速度或更高阶的曲线函数，速度曲线平滑程度依次增加，但是表达式求解难度依次增加。为满足时间最优原则，需要对其参数进行优化以满足要求，且优化的过程较复杂 ［ 21 21 ］ 。 三角函数和Sigmoid函数S型速度曲线由于自身特性，不能满足时间最优原则或需要优化后才能满足。同时实际应用中需要较低的计算复杂度实现快速计算，而三角函数和Sigmoid函数S型速度曲线计算过程中涉及三角函数和指数函数的求导和积分运算，运算量大，且当运动曲线复杂或运动距离过长时，会产生巨量的数据，对控制器性能有较高要求。通常由计算机辅助计算速度曲线参数并生成数据传递给控制器，通过查表进行运动控制，导致不易实现曲线实时计算 ［ 22 22 ］ ，不利于实际应用，而多项式速度曲线却能避免以上情况。 2 . 2 . 2　多项式函数 S 型速度曲线 3 多项式速度曲线是将多项式作为速度曲线的描述函数，易实现时间最优原则下的速度曲线。多项式速度曲线由分段函数构成，如 式5 式5 所示，位移曲线为每段阶数均为不超过最高阶的多项式函数。 <math display="block" id="M6"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>t</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869767&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869765&type= 60.87533569 4.06400013 . 多项式速度曲线虽然由分段函数构成，且分段函数的段数随着阶数的增加呈指数增加，但是每段函数只涉及简单运算，曲线阶数合适时，控制器容易实现快速计算，进而实现应用中的实时计算实时反馈。 三阶多项式速度曲线已成为运动控制领域应用最广泛的模型之一 ［ 23 23 ］ ，如 图2 图2 所示，三阶多项式速度曲线对应的分段函数段数为七段，并且位移曲线每一段对应一个阶数不超过三阶的多项式函数。由于速度曲线存在瞬时变化的加加速度，这将导致运动结束时执行机构存在残余振动，稳态时间变长，降低了定位精度。 对运动精度要求高的运动控制来说，在运动曲线的起点和终点，消除加加速度的瞬时突变是至关重要的 ［ 24 24 ］ 。如 图3 图3 所示，四阶多项式运动曲线在三阶多项式运动曲线的基础上定义P（加加速度一阶导数），使加加速度按照速率P变化。并对P的大小进行限制，降低了因加加速度不连续带来的残余振动。四阶多项式运动曲线的段数由三阶多项式速度曲线的七段增加至十五段，但是速度曲线的加加速度将不存在突变，减小了残余振动，缩短了稳态时间。 为了进一步提高运动曲线的平滑性，还应该考虑P的连续性，在四阶多项式运动曲线的基础上增加阶数。但多项式速度曲线阶数较大时，曲线段数较多，时间点计算过程的复杂度将增加且可能存在没有解析解的情况 ［ 21 21 ， 25 25 ］ ，对曲线的计算效率有显著不利影响，同时对控制器性能提出较高要求。阶数较高时，运动曲线实际性能提升却有限。因此，合适阶数的多项式速度曲线在实际应用中至关重要。 3 高精度柔性扫描平台最优阶多项式速度曲线设计 1 3.1　多项式速度曲线残余振动仿真分析 2 为研究不同阶数的多项式速度曲线对高精度柔性扫描平台的振动影响并确定最优阶，进行了不同阶数的多项式速度曲线残余振动仿真分析。本文采用的简化模型如 图4 图4 所示，在简化模型中，基座与传动部件相接，并按照给定的速度曲线运动，与弹簧和阻尼器相连的质量块代表诱发振动的部件。 <math id="M7"><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869784&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869782&type= 2.03200006 2.79399991 为基座的绝对位移， y 为质量块与基座的相对位移。基座和质量块的动态方程可表示为： <math display="block" id="M8"><mi>m</mi><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mi>¨</mi></mover><mo>+</mo><mi>m</mi><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mi>¨</mi></mover><mo>+</mo><mi>c</mi><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>˙</mo></mover><mo>+</mo><mi>k</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869789&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869786&type= 37.42266846 3.72533321 . 令系统固有频率 <math id="M9"><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869803&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869800&type= 16.51000023 8.89000034 ，阻尼比 <math id="M10"><mi>ξ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mroot><mrow><mi>m</mi><mi>k</mi></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869808&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869805&type= 18.45733452 8.89000034 ， 式（6） 式（6） 可转换为： <math display="block" id="M11"><mover accent="true"><mrow><mi>y</mi></mrow><mi>¨</mi></mover><mo>=</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>ξ</mi><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>˙</mo></mover><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mi>y</mi><mo>-</mo><mover accent="true"><mrow><mi>x</mi></mrow><mi>¨</mi></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869812&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869810&type= 37.59199905 4.82600021 ， 此仿真模型中，使用的参数如下： ω n =120 rad·s - 1 ， ξ =0.02。速度曲线为二阶多项式（梯形）速度曲线至六阶多项式速度曲线，曲线参数为：位移大小 S =0.03 m，速度 V max =0.05 m·s - 1 ，加速度 A max =0.4 m·s - 2 ，加加速度 J max =5 m·s - 3 ，加加速度一阶导数 P max =150 m·s - 4 ，加加速度二阶导数 G max =20 000 m·s - 5 ，加加速度三阶导数 F max =5 000 000 m·s - 6 。不考虑外部环境和实际系统影响，残余振动可看作为简谐振动 ［ 4 4 ］ ，设定残余振动位移误差 ε s =2 μm，由动力学理论可知残余振动加速度允许误差 ε≈ 30 mm·s - 2 。仿真结果的残余振动衰减过程如 图5 图5 所示。 残余振动加速度与振动的冲击力成正比，其峰值能有效反映冲击力的大小，同时也能表征残余振动的大小。由 表1 表1 可知，梯形速度曲线在残余振动范围内加速度峰值最大，即残余振动最大，六阶速度曲线的加速度峰值最小，残余振动最小。当曲线阶数由二阶增至六阶，残余振动加速度峰值依次减少81.62%，54.91%，8.44%，0.95%。稳态时间随阶数的增加而减小，依次减少了51.06%，53.45%，1.76%，0.97%；与此同时曲线段数由3段按指数增至63段。 曲线阶数 二阶 三阶 四阶 五阶 六阶 曲线段数 3 7 15 31 63 加速度峰值/mm·s -2 799.1 146.86 66.22 60.63 60.05 稳态时间/ms Ts 5 =1 365.65 Ts 4 =668.3 Ts 3 =311.04 Ts 2 =305.55 Ts 1 =302.58 如 图6 图6 所示，随着阶数的增加，残余振动加速度峰值和稳态时间逐渐减小。当曲线阶数大于四阶时，残余振动加速度峰值和稳态时间的大小逐渐趋于一致，但是曲线段数呈指数增加，速度曲线参数的计算量成倍增加，速度曲线性能却几乎没有提升，因此，多项式速度曲线的最优阶选择四阶。 3.2　最优阶多项式速度曲线建立 2 四阶多项速度曲线的曲线段数为十五段，每一段位移可由 式（8） 式（8） 表示： <math display="block" id="M12"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>t</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869836&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869834&type= 55.96466827 4.06400013 ， 其中： a 0 ， a 1 ， a 2 ， a 3 和 a 4 为每段位移曲线的参数。若加速和减速过程中速度曲线关于时间对称，只需要计算出加速和匀速的曲线方程，减速的曲线方程可以由对称关系推导，这将大大简化曲线方程，同时减小在运动过程中曲线参数实时在线计算的运算量。 如 图3 图3 所示，当速度曲线加速和减速部分关于时间 <math id="M13"><mi>t</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869840&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869838&type= 16.76399994 7.53533268 对称，加速阶段中，加速度曲线关于时间 <math id="M14"><mi>t</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869846&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869843&type= 16.76399994 7.53533268 对称，加加速阶段中，加加速度关于时间 <math id="M15"><mi>t</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869852&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869849&type= 16.76399994 7.53533268 对称时，可知 P min = -P max ， J min = -J max ， A min = -A max 。此时加加速度一阶导数P的曲线函数如 式（9） 式（9） ： <math display="block" id="M16"><mi>P</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mtext>     </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">13</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>           </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">9</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">13</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">14</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mtext>  </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">9</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo><mo>,</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">14</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">15</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869858&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869855&type= 82.21133423 15.74800014 . 按照 式（10） 式（10） 至 式（13） 式（13） 依次进行积分，可分别求出加加速度、加速度、速度和位移曲线方程。 <math display="block" id="M17"><mi>J</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>P</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869864&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869861&type= 36.06800079 7.11199999 ， <math display="block" id="M18"><mi>A</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>J</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869870&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869867&type= 36.49133301 7.11199999 ， <math display="block" id="M19"><mi>V</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>a</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869875&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869873&type= 36.99933624 7.11199999 ， <math display="block" id="M20"><mi>S</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>v</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869881&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869878&type= 35.30599976 7.11199999 ， 其中， <math id="M21"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869887&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869884&type= 2.37066650 3.72533321 为每一个时间段的相对时间值，大小为 τ i = t-t i- 1 ， i =1，2，3，⋯，15。由对称关系可知，可求得前八段曲线的方程，由对称关系可以推导出整个方程。由 式（9） 式（9） 至 式（13） 式（13） 可以得出 t≤t 8 时前八段加加速度、加速度、速度和位移曲线方程如 式（14） 式（14） 至 式（17） 式（17） ，其中 a i ， v i 和 s i 分别为时间点 t i 处加速度、速度和位移的值。 <math display="block" id="M22"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mtext>                    </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mtext>                        </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mtext>      </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>                              </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mtext>                    </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mtext>                         </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mtext>      </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>                              </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869893&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869890&type= 54.10200119 44.36533356 ， <math display="block" id="M23"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>                                  </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mtext>                              </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>    </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mtext>                                          </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>                   </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mtext>                              </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mtext>                   </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mtext>                                                </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869899&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869896&type= 69.93466949 60.02866364 ， <math display="block" id="M24"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msubsup><mtext>                                          </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>                         </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mtext>   </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mtext>                                      </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msubsup><mtext>                 </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>                     </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>τ</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mtext>                     </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mtext>                                                 </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869904&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869902&type= 73.99867249 64.17733002 ， <math display="block" id="M25"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">24</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msubsup><mtext>                                                         </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msubsup><mtext>                       </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">24</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>  </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mtext>                                      </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">24</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>a</mi><mi>x</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msubsup><mtext>              </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msubsup><mtext>                      </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">24</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msup><mtext>                       </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mtext>                                                       </mtext><mi>t</mi><mo>∈</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">]</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869912&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869908&type= 94.14933777 71.96665955 . 当 t > t 8 时，令 t' = t 15 -t ，由对称关系将 <math id="M26"><mi>t</mi><mi>'</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869917&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869914&type= 1.86266661 3.30200005 代入 式（18） 式（18） 至 式（21） 式（21） 可分别求得后七段加加速度、加速度、速度和位移曲线方程。 <math display="block" id="M27"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869922&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869920&type= 20.82799911 4.14866638 ， <math display="block" id="M28"><mi>A</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>A</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869930&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869926&type= 24.04533195 4.06400013 ， <math display="block" id="M29"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869936&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869933&type= 23.70666695 4.14866638 ， <math display="block" id="M30"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>t</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mi>'</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869945&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869940&type= 32.59666443 4.14866638 . 3.3　曲线分类 2 当运动曲线的位移 S 、速度 V max 、加速度 A max 、加加速度 J max 及其一阶导数 P max 的值确定时，运动曲线的方程则随之确定，并且符合时间最优原则。令 T i = t i -t i- 1 ，当 t ≤ t 8 时，由 式（14） 式（14） 至 式（17） 式（17） 可得到 <math id="M31"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869953&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869949&type= 42.33333206 8.46666718 ， <math id="M32"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869961&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869957&type= 34.12067032 8.46666718 ， <math id="M33"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869970&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869965&type= 35.89866638 8.46666718 ， <math id="M34"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">4</mn><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869978&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869974&type= 46.31266785 8.46666718 由速度 V max 、加速度 A max 、加加速度 J max 及其一阶导数 P max 的值可得出临界位移 S Ⅰ ，当位移 S ≥ S Ⅰ 时，速度、加速度或加加速度均能以最短时间达到最大值并持续，满足时间最优原则。当位移 S 小于临界位移 S Ⅰ ，运动过程中速度、加速度或加加速度将不能保持持续的最大值，但仍满足时间最优原则。可将情况分为以下三种： （1）只有速度不能保持最大值，此时 T 8 =0，临界值为 S Ⅰ = V max （4 T 1 +2 T 2 + T 4 ）； （2）速度和加速度不能保持最大值，此时 T 8 =0， T 4 =0，临界值为 S Ⅱ =2 A max （2 T 1 + T 2 ） 2 ； （3）速度、加速度和加加速度均不能保持最大值，此时 T 8 =0， T 4 =0， T 2 = T 6 =0，临界值为 S Ⅲ =8 J max T 1 3 。 当 S Ⅱ ≤ S < S Ⅰ 时，速度达不到最大值，速度曲线没有匀速部分，但是加速度或加加速度均能以最短时间达到最大值并持续；当 S Ⅲ ≤ S < S Ⅱ 时，速度和加速度达不到边界值，且没有匀速和匀加速部分，但加加速度能够以最短时间达到最大值并持续；当 S < S Ⅲ 时，此时速度、加速度或加加速度均能达不到最大值，令 <math id="M35"><msubsup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn><msubsup><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869987&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=21869983&type= 18.37266731 8.21266651 ，并将 P' max 带入 式（14） 式（14） 至 式（17） 式（17） 进行曲线的重新计算。 4 实验结果与分析 1 为验证所提出的最优阶多项式速度曲线的有效性，在如 图7 图7 所示的结构上进行了实验。悬臂梁结构在 x-y 运动平台的带动下在两个方向运动，由于结构的特性，在 x 方向运动时，悬臂梁的残余振动最大。控制系统以嵌入式处理器STM32F407VET6为核心，控制算法通过C语言进行编写。根据输入参数和 x-y 运动平台光栅尺的位置反馈进行参数的实时计算与调整，生成运动执行指令实现闭环控制。运动平台驱动部分由步进电机与滚珠丝杆组成，丝杆导程为2 mm，电机步距角设为0.18°，此时运动平台分辨率为1 μm；采用光栅尺进行位置反馈，光栅尺分辨率为0.1 μm，允许误差设为±0.5 μm，确保运动平台运行的准确性。通过悬臂梁最远端处的加速度传感器，采集运动结束时的残余振动值，处理器处理后传递至上位机进行数据分析，控制系统的采样和控制周期 T =0.5 ms。 x-y 运动平台在 x 方向上按照给定运动参数进行运动， 表2 表2 所示。运动结束后检测残余振动加速度值，考虑实际测试环境和加速度传感器噪声影响，取残余振动加速度允许误差 ε a =50 mm·s - 2 ，此时残余振动位移误差 ε s ≈ 3.5 μm。 参数 单位 定义 值 G max m·s -5 加加速度二阶导 20 000 P max m·s -4 加加速度一阶导 150 J max m·s -3 加加速度 5 A max m·s -2 加速度 0.4 V max m·s -1 速度 0.05 S m 位移 0.03 实际残余振动实验结果如 图8 图8 所示，梯形速度曲线残余振动加速度峰值与稳态时间均最大，五阶多项式速度曲线的加速度峰值与稳态时间最小。实验结果与仿真结果相吻合，即随着速度曲线阶数的增加，残余振动加速度峰值减小，稳态时间缩短。 表3 表3 为振动加速度峰值和稳态时间统计数据，梯形速度曲线的残余振动加速度峰值与稳态时间均最高，随着速度曲线阶数的增加，控制效果依次提升。速度曲线阶数由二阶增至五阶时，加速度峰值依次减少43.78%，42.94%，4.79%；稳态时间依次减少25.80%，32.50%，6.53%。速度曲线阶数由四阶增加至五阶提升的控制效果远小于由三阶增加至四阶提升的控制效果，但随着阶数的增加，曲线段数指数增加，控制器计算负载也同时增加，控制成本升高 ［ 12 12 ］ ，综合考虑，速度曲线最优阶数为四阶。 参数 梯形速度曲线 三阶速度曲线 四阶速度曲线 五阶速度曲线 加速度峰值/mm·s -2 1 129.62 635.08 362.39 345.04 稳态时间/ms Ts 4 =1 895 Ts 3 =1 406 Ts 2 =949 Ts 1 =887 5 结　论 1 本文针对高精度柔性扫描平台在现有速度曲线下运动时存在运算量大、残余振动较大与稳态时间较长等问题，基于时间最优原则对扫描平台简化模型进行不同阶数多项式速度曲线的残余振动仿真分析，确定多项式速度曲线最优阶为四阶，并建立对称式四阶多项式速度曲线方程。以高精度柔性扫描平台为实际被控对象进行了二阶（梯形）、三阶、四阶和五阶多项式速度曲线残余振动实验，实验结果表明，速度曲线最优阶为四阶，与仿真结果相符；与传统的梯形速度曲线相比，对称式四阶多项式速度曲线残余振动加速度峰值降低了67.91%，稳态时间缩短了49.92%；与三阶多项式速度曲线相比，对称式四阶多项式速度曲线残余振动加速度峰值降低了42.94%，稳态时间缩短了32.50%。本文所提出的最优阶多项式速度曲线显著降低了高精度柔性扫描平台残余振动，缩短稳态时间，提高了运行效率。 参考文献 YANG Z J ， BAI Y D ， CHEN X ， et al . The residual vibration impact on the multiple target positioning time for array operation ［C］. 2016 IEEE International Conference on Information and Automation （ICIA）. 13，2016 ， Ningbo， China. IEEE ， 2016 ： 50 - 55 . doi: 10.1109/icinfa.2016.7831796 http://dx.doi.org/10.1109/icinfa.2016.7831796 The residual vibration impact on the multiple target positioning time for array operation AGUILAR I H ， SIDOBRE D . On-line trajectory planning of robot manipulator ’ s end effector in Cartesian Space using quaternions ［J］. Contract ， 2006 ： 1 - 10 On-line trajectory planning of robot manipulator ’ s end effector in Cartesian Space using quaternions 杨亮亮 ， 许守金 ， 史伟民 ， 等 . 基于牛顿迭代法的S形加减速时间算法研究 ［J］. 中国机械工程 ， 2015 ， 26 （ 7 ）： 912 - 916， 942 . doi: 10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.010 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.010 基于牛顿迭代法的S形加减速时间算法研究 YANG L L ， XU SH J ， SHI W M ， et al . Research on algorithm of s s hape acceleration and deceleration time based on Newton iterative method ［J］. China Mechanical Engineering ， 2015 ， 26 （ 7 ）： 912 - 916， 942 . （in Chinese） . doi: 10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.010 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1004-132X.2015.07.010 Research on algorithm of sshape acceleration and deceleration time based on Newton iterative method BAI Y D ， CHEN X ， SUN H ， et al . Time-optimal freeform S-curve profile under positioning error and robustness constraints ［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics ， 2018 ， 23 （ 4 ）： 1993 - 2003 . doi: 10.1109/tmech.2018.2835830 http://dx.doi.org/10.1109/tmech.2018.2835830 Time-optimal freeform S-curve profile under positioning error and robustness constraints 马天兵 ， 周青 ， 杜菲 ， 等 . 基于机器视觉和改进PID的压电柔性机械臂振动控制 ［J］. 光学 精密工程 ， 2020 ， 28 （ 1 ）： 141 - 150 . doi: 10.3788/ope.20202801.0141 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20202801.0141 基于机器视觉和改进PID的压电柔性机械臂振动控制 MA T B ， ZHOU Q ， DU F ， et al . Piezoelectric flexible manipulator vibration control based on machine vision and improved PID ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2020 ， 28 （ 1 ）： 141 - 150 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20202801.0141 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20202801.0141 Piezoelectric flexible manipulator vibration control based on machine vision and improved PID 付云博 ， 郭同健 . 基因测序仪运动平台的高精度定位控制 ［J］. 光学 精密工程 ， 2018 ， 26 （ 10 ）： 2455 - 2462 . doi: 10.3788/ope.20182610.2455 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20182610.2455 基因测序仪运动平台的高精度定位控制 FU Y B ， GUO T J . High-precision position control of a gene sequencer motion stage ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2018 ， 26 （ 10 ）： 2455 - 2462 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20182610.2455 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20182610.2455 High-precision position control of a gene sequencer motion stage GARCÍA-MARTÍNEZ J R ， RODRÍGUEZ-RESÉNDIZ J ， CRUZ-MIGUEL E E . A new seven-segment profile algorithm for an open source architecture in a hybrid electronic platform ［J］. Electronics ， 2019 ， 8 （ 6 ）： 652 . doi: 10.3390/electronics8060652 http://dx.doi.org/10.3390/electronics8060652 A new seven-segment profile algorithm for an open source architecture in a hybrid electronic platform 祁超 ， 谢馨 ， 陈凌宇 ， 等 . 精密转台S曲线轨迹规划及高精度控制 ［J］. 光学 精密工程 ， 2018 ， 26 （ 12 ）： 2971 - 2981 . doi: 10.3788/OPE.20182612.2971 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20182612.2971 精密转台S曲线轨迹规划及高精度控制 QI CH ， XIE X ， CHEN L Y ， et al . S-curve trajectory planning and high-precision control of precision servo turntable ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2018 ， 26 （ 12 ）： 2971 - 2981 . （in Chinese） . doi: 10.3788/OPE.20182612.2971 http://dx.doi.org/10.3788/OPE.20182612.2971 S-curve trajectory planning and high-precision control of precision servo turntable 赵新华 ， 刘培昌 ， 赵磊 ， 等 . 大范围平动并联机器人运动学解耦与速度自适应规划 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 2 ）： 305 - 315 . doi: 10.37188/OPE.20212902.0305 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212902.0305 大范围平动并联机器人运动学解耦与速度自适应规划 ZHAO X H ， LIU P CH ， ZHAO L ， et al . Kinematic decoupling and velocity adaptive planning ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 2 ）： 305 - 315 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212902.0305 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212902.0305 Kinematic decoupling and velocity adaptive planning YOON H J ， CHUNG S Y ， KANG H S ， et al . Trapezoidal motion profile to suppress residual vibration of flexible object moved by robot ［J］. Electronics ， 2019 ， 8 （ 1 ）： 30 . doi: 10.3390/electronics8010030 http://dx.doi.org/10.3390/electronics8010030 Trapezoidal motion profile to suppress residual vibration of flexible object moved by robot HEO H J ， SON Y ， KIM J M . A trapezoidal velocity profile generator for position control using a feedback strategy ［J］. Energies ， 2019 ， 12 （ 7 ）： 1222 . doi: 10.3390/en12071222 http://dx.doi.org/10.3390/en12071222 A trapezoidal velocity profile generator for position control using a feedback strategy LEE D ， HA C W . Optimization process for polynomial motion profiles to achieve fast movement with low vibration ［J］. IEEE Transactions on Control Systems Technology ， 2020 ， 28 （ 5 ）： 1892 - 1901 . doi: 10.1109/tcst.2020.2998094 http://dx.doi.org/10.1109/tcst.2020.2998094 Optimization process for polynomial motion profiles to achieve fast movement with low vibration 刘扭扭 . 超高加速精密运动平台残余振动的主动控制方法研究 ［D］. 哈尔滨 ： 哈尔滨工业大学 ， 2013 . doi: 10.14257/astl.2013.29.94 http://dx.doi.org/10.14257/astl.2013.29.94 超高加速精密运动平台残余振动的主动控制方法研究 LIU N N . Research on Active Control Method of High Acceleration and High Precision Motion Platform ’ s Residual Vibration ［D］. Harbin ： Harbin Institute of Technology ， 2013 . （in Chinese） . doi: 10.14257/astl.2013.29.94 http://dx.doi.org/10.14257/astl.2013.29.94 Research on Active Control Method of High Acceleration and High Precision Motion Platform’s Residual Vibration BROQUERE X ， SIDOBRE D ， HERRERA-AGUILAR I . Soft motion trajectory planner for service manipulator robot ［C］. 2008 IEEE/RSJ International Conference on Intelligent Robots and Systems . 2226，2008 ， Nice ， France . IEEE ， 2008 ： 2808 - 2813 . doi: 10.1109/iros.2008.4650608 http://dx.doi.org/10.1109/iros.2008.4650608 Soft motion trajectory planner for service manipulator robot 方佳伟 ， 蔡锦达 ， 姚莹 ， 等 . 基于Sigmoid函数的S型加减速控制方法研究 ［J］. 机电工程 ， 2018 ， 35 （ 9 ）： 933 - 938 . doi: 10.3969/j.issn.1001-4551.2018.09.006 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1001-4551.2018.09.006 基于Sigmoid函数的S型加减速控制方法研究 FANG J W ， CAI J D ， YAO Y ， et al . S-type acceleration and deceleration control method based on Sigmoid-function ［J］. Journal of Mechanical & Electrical Engineering ， 2018 ， 35 （ 9 ）： 933 - 938 . （in Chinese） . doi: 10.3969/j.issn.1001-4551.2018.09.006 http://dx.doi.org/10.3969/j.issn.1001-4551.2018.09.006 S-type acceleration and deceleration control method based on Sigmoid-function LI H Z ， LE M D ， GONG Z M ， et al . Motion profile design to reduce residual vibration of high-speed positioning stages ［J］. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics ， 2009 ， 14 （ 2 ）： 264 - 269 . doi: 10.1109/tmech.2008.2012160 http://dx.doi.org/10.1109/tmech.2008.2012160 Motion profile design to reduce residual vibration of high-speed positioning stages HUANG P F ， XU Y S ， LIANG B . Global minimum-jerk trajectory planning of space manipulator ［J］. International Journal of Control ， Automation and Systems， 2006 ， 4 （ 4 ）： 405 - 413 . doi: 10.1109/icma.2007.4304134 http://dx.doi.org/10.1109/icma.2007.4304134 Global minimum-jerk trajectory planning of space manipulator LIU H S ， LAI X B ， WU W X . Time-optimal and jerk-continuous trajectory planning for robot manipulators with kinematic constraints ［J］. Robotics and Computer-Integrated Manufacturing ， 2013 ， 29 （ 2 ）： 309 - 317 . doi: 10.1016/j.rcim.2012.08.002 http://dx.doi.org/10.1016/j.rcim.2012.08.002 Time-optimal and jerk-continuous trajectory planning for robot manipulators with kinematic constraints KANG C G . Performance measure of residual vibration control ［J］. Journal of Dynamic Systems ， Measurement， and Control， 2011 ， 133 （ 4 ）： 044501 . doi: 10.1115/1.4003377 http://dx.doi.org/10.1115/1.4003377 Performance measure of residual vibration control ZHANG Y N ， HE L Y ， LUO J W ， et al . Complete framework of jerk-level inverse-free solutions to inverse kinematics of redundant robot manipulators ［C］. 2016 35th Chinese Control Conference （CCC）. 2729，2016 ， Chengdu， China. IEEE ， 2016 ： 4717 - 4722 . doi: 10.1109/chicc.2016.7554084 http://dx.doi.org/10.1109/chicc.2016.7554084 Complete framework of jerk-level inverse-free solutions to inverse kinematics of redundant robot manipulators FANG Y ， HU J ， LIU W H ， et al . Smooth and time-optimal S-curve trajectory planning for automated robots and machines ［J］. Mechanism and Machine Theory ， 2019 ， 137 ： 127 - 153 . doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2019.03.019 http://dx.doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2019.03.019 Smooth and time-optimal S-curve trajectory planning for automated robots and machines LI H Z ， GONG Z M ， LIN W ， et al . Motion profile planning for reduced jerk and vibration residuals ［EB/OL］. 2007 . http：//cfile25.uf.tistory.com/attach/167811264CAEC38A136E4C http://cfile25.uf.tistory.com/attach/167811264CAEC38A136E4C Motion profile planning for reduced jerk and vibration residuals LU T C ， CHEN S L . Genetic algorithm-based S-curve acceleration and deceleration for five-axis machine tools ［J］. The International Journal of Advanced Manufacturing Technology ， 2016 ， 87 （ 1/2/3/4 ）： 219 - 232 . doi: 10.1007/s00170-016-8464-0 http://dx.doi.org/10.1007/s00170-016-8464-0 Genetic algorithm-based S-curve acceleration and deceleration for five-axis machine tools BORYGA M ， GRABOŚ A . Planning of manipulator motion trajectory with higher-degree polynomials use ［J］. Mechanism and Machine Theory ， 2009 ， 44 （ 7 ）： 1400 - 1419 . doi: 10.1016/j.mechmachtheory.2008.11.003 http://dx.doi.org/10.1016/j.mechmachtheory.2008.11.003 Planning of manipulator motion trajectory with higher-degree polynomials use NGUYEN K D ， NG T C ， CHEN I M . On algorithms for planning S-curve motion profiles ［J］. International Journal of Advanced Robotic Systems ， 2008 ， 5 （ 1 ）： 11 . doi: 10.5772/5652 http://dx.doi.org/10.5772/5652 On algorithms for planning S-curve motion profiles 10.37188/OPE.2021.0099 TP212.3 A 1004-924X（2021）10-2400-12 李龙辉,张芷齐,郭振等.柔性扫描平台最优阶多项式速度曲线控制[J].光学精密工程,2021,29(10):2400-2411. 李龙辉,张芷齐,郭振等.柔性扫描平台最优阶多项式速度曲线控制[J].光学精密工程,2021,29(10):2400-2411. LI Long-hui,ZHANG Zhi-qi,GUO Zhen,et al.Optimal order polynomial motion profile for high-precision flexible scanning platform[J].Optics and Precision Engineering,2021,29(10):2400-2411. LI Long-hui,ZHANG Zhi-qi,GUO Zhen,et al.Optimal order polynomial motion profile for high-precision flexible scanning platform[J].Optics and Precision Engineering,2021,29(10):2400-2411. 国家重点研发计划资助项目（No.2018YFF01011003）；国家自然科学基金青年基金项目（No.61874133，No.61901469，No.22005331）；江苏省重点研究开发项目（No.BE2019684，No.BE2018080，No.BE2020768）；江苏省政策引导类计划（No.BZ2019069）；季华实验室资助项目（No.X190181TD190）；中科院青年创新促进会资助项目（No.2019322，No.2018360，No.201856）；中国科学院科研仪器设备研制项目（No.YJKYYQ20200046，No.YJKYYQ20190057）；中国科学院重大科研仪器研制项目（No.ZDKYYQ20210004）；苏州市科技支撑计划资助项目（No.SYG201907）；中国科学院苏州生物医学工程技术研究所自主部署项目（No.Y851591105，No.E055011301） 2021-03-02 2021-03-30 2021-10-15 2021-11-11 光学精密工程 10 29