基于光程变化量的反射式光学系统敏感度理论分析与降敏设计方法

基于光程变化量的反射式光学系统敏感度理论分析与降敏设计方法 Sensitivity theoretical analysis and desensitization design method for reflective optical system based on optical path variation 1 2 first-author 孟庆宇（1986-），男，吉林长春人，博士研究生，副研究员，2010年于长春理工大学获得学士学位，2012年于哈尔滨工业大学获得硕士学位，主要从事光学系统设计理论与方法、遥感器光学系统设计与研制的研究。E-mail： mengqy@ciomp.ac.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443483&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443491&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443487&type= 22.01333618 32.00410461 孟庆宇（1986-），男，吉林长春人，博士研究生，副研究员，2010年于长春理工大学获得学士学位，2012年于哈尔滨工业大学获得硕士学位，主要从事光学系统设计理论与方法、遥感器光学系统设计与研制的研究。E-mail： mengqy@ciomp.ac.cn mengqy@ciomp.ac.cn 1 corresp E-mail： fountainhy@hit.edu.cn E-mail： fountainhy@hit.edu.cn 汪洪源（1975-），男，黑龙江哈尔滨人，博士，教授，博士生导师，2008年于哈尔滨工业大学获得博士学位，主要从事光电成像仿真与评估技术、光电信息获取与处理技术等方向的研究。E-mail： fountainhy@hit.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443496&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443505&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443501&type= 22.01333618 32.00415039 汪洪源（1975-），男，黑龙江哈尔滨人，博士，教授，博士生导师，2008年于哈尔滨工业大学获得博士学位，主要从事光电成像仿真与评估技术、光电信息获取与处理技术等方向的研究。E-mail： fountainhy@hit.edu.cn fountainhy@hit.edu.cn 2 2 3 2 哈尔滨工业大学 空间光学工程研究中心，黑龙江 哈尔滨 150001 哈尔滨工业大学 空间光学工程研究中心，黑龙江 哈尔滨 150001 Optical Engineering Research Centre for Space Optical Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China Optical Engineering Research Centre for Space Optical Engineering， Harbin Institute of Technology， Harbin 150001， China 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130031 中国科学院 长春光学精密机械与物理研究所，吉林 长春 130031 Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， Chinese Academy of Sciences， Changchun 130031， China Changchun Institute of Optics， Fine Mechanics and Physics， Chinese Academy of Sciences， Changchun 130031， China 中国科学院大学，北京 100049 中国科学院大学，北京 100049 University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100049， China 光学系统的最终性能不仅取决于其理论设计结果，更重要的是取决于光学系统建造过程中对于面形加工、装调位置和系统稳定性等误差因素的控制。为了探究反射式光学系统误差敏感度的影响因素及规律，以同轴两反式光学系统作为研究对象，提出了采用失调误差引起的光程变化量作为光学系统误差敏感程度的评价标准，理论推导了由反射镜位置失调因素引起的光程变化量的数学解析表达式，通过一套标准Ritchey-Chretien系统，并应用光线追迹的方法，计算了在各项失调扰动情况下所产生的实际光程变化量，与理论推导值对比，相对误差均在1%左右，证明了光程变化量理论表达式的正确性。在光程变化量理论研究的基础上，提出并建立了基于光程变化量作为评价准则的同轴反射式光学系统降敏设计方法。以一个焦距为5 600 mm的同轴两反系统为例，通过15轮迭代优化，设计了同时满足光程变化量与波像差指标的光学系统，并通过光程变化量与波像差改变量的关系，验证了光程变化量作为敏感度评价标准的正确性和降敏设计方法的有效性。 The final performance of an optical system depends not only on its theoretical design， but more importantly， on various error-causing factors such as surface processing， alignment position， and system stability during its construction. To explore the influencing factors and the error sensitivity of a reflective optical system， a coaxial two-mirror system is considered as the research object. The optical path variation （OPV） caused by a misalignment error is proposed as the evaluation index of the error sensitivity of the optical system， and the mathematical expression of the OPV caused by the mirror position misalignment factor is deduced theoretically. By using a standard Ritchey-Chretien system and the ray tracing method， the OPV caused by various disturbances is calculated. Compared with the theoretical value， the relative error is approximately 1%， which proves the accuracy of the theoretical expression of the OPV. Based on the theoretical study of OPV， a desensitization design method for a coaxial reflective optical system with an OPV is proposed and established. Considering a coaxial two-mirror system with a focal length of 5 600 mm as an example， an optical system that meets the OPV and wavefront error index is designed after 15 rounds of iterative optimization. The accuracy of the OPV as the sensitivity evaluation standard and the effectiveness of the desensitization design method are verified by the relationship between the OPV and the wavefront error modification. 光学设计 反射式光学系统 敏感度 降敏设计方法 光程变化量 optical design reflective optical system sensitivity desensitization design method optical path variation 1 引　言 1 反射式光学系统已有400余年的发展历史 ［ 1 1 ］ ，并广泛地应用于大型光学系统中。从20世纪至今，随着宇宙科学、地球观测等领域对高分辨率成像的需求，大口径、长焦距反射式光学系统的体积越来越大，光学系统的焦距已增长到数十米至数百米的尺度，口径尺寸达到了数米至数十米的量级。反射式光学系统虽然构型相对简单，光学元件数量少，但随着焦距与口径的增大，光学系统的加工难度与装调敏感剧增，这为大型光学仪器的实现带来了挑战，消耗了巨大的经济与时间成本 ［ 2 2 - 3 3 2-3 ］ 。 光学系统的最终性能不仅取决于光学设计结果的好坏，还取决于建造过程中对于面形加工、装调位置、系统稳定性等各项误差因素的控制，而从过往经验来看，这些实际误差因素在光学系统设计中占据主导地位 ［ 4 4 - 5 5 4-5 ］ 。针对这一问题，在大口径、长焦距反射式系统的研制当中，一方面要通过CAA、主动光学、精密温控、高刚度高稳定性光机结构等手段实现更高精度的误差控制 ［ 6 6 - 12 12 6-12 ］ ；另一方面，也必须对光学系统的误差敏感性进行研究，探究光学系统误差敏感性的因素及影响规律，寻找光学系统的降敏设计方法，降低光学系统成像质量对误差控制精度的依赖，这对于降低大口径长焦距光学系统的建造难度、时间成本和经济成本具有重要的意义。 目前，针对光学系统的降敏设计方法主要有6种 ［ 13 13 ］ ：第一种是全局搜索优化法 ［ 14 14 ］ ；第二种是全差分波前误差集成优化法，该方法依靠设计软件的宏命令，在优化过程中程序不断返回可以反应光学系统敏感度的波前差分值，进而获得敏感度较优方案；第三种是光线折射角、入射角优化法 ［ 15 15 - 16 16 15-16 ］ ；第四种是降低光学表面倾斜对轴向彗差影响的方法；第五种是多重结构降敏设计方法；第六种是降低偏心引起的差分波前误差方法 ［ 17 17 ］ 。 这些降敏设计方法的理论评价主要以波像差为主，但很多情况下，光学系统初始结构的波像差较大，此时以波像差作为敏感度评价标准，往往不能直观地反映出系统的真实情况。而初始结构的选取对于误差敏感性具有非常重要甚至是决定性的影响，因此还需要发展一种更加简洁直观的评价方式，用于实现低敏感度初始设计。 影响光学系统成像质量的误差因素一般包括两大类，一是光学元件空间位置的失调，主要由光学系统装调残差、光机系统稳定性误差和温度控制误差等因素引起；二是光学元件面形误差，主要由光学加工制造以及环境因素引起。具有低敏感度特征的光学系统，应能够更好地抵抗这两种误差因素引起的成像质量下降。因此，为了能够获得低敏感度光学系统，应首先分析上述因素引起的系统光程变化，进而明确各项系统参数对于各项误差因素的敏感度模型。这是后续实现降敏设计的理论基础。 同轴两反式光学系统是大口径光学望远镜最基本、最经典的系统形式。本文以同轴两反式系统作为研究对象，采用以失调扰动引起的光程变化量（Optical Path Variation， OPV）作为评价误差敏感程度的评价标准，推导了各项失调因素引起的成像光路OPV的理论表达式，进而提出了以OPV为理论基础的降敏设计方法。 2 理论分析 1 2.1　光学系统敏感度理论分析方法 2 光学元件的位置失调主要包括偏心平移、倾斜、轴向间距与旋转，如 图1 图1 所示。偏心平移失调定义为光学元件以其曲面顶点为中心，向子午方向、弧矢方向或某一合成方向平移了 δ ；倾斜定义为光学元件以其曲面顶点为中心，绕着子午轴或弧矢轴旋转了 η ；轴向间距失调定义为反射镜沿着光轴方向的位置移动了 d ；旋转失调是一种特殊的倾斜，特指光学元件以其曲面顶点为中心，绕着光轴进行旋转，对于同轴光学系统，当光学元件为旋转对称面形时则不存在旋转失调。光学元件的位置失调往往是综合产生的，即偏心平移、倾斜、轴向间距失调与旋转是相互伴随，相互混合的。在光学元件位置失调对成像光路光程变化的敏感度影响分析中，为了便于归纳总结，以单一类型的位置失调为研究对象。 根据费马原理，在理想光学系统中，不同孔径、不同视场的光线经过光学系统后，应该具有相同的光程（Optical Path， OP） ［ 18 18 ］ 。光学系统元件失调后，系统稳态受到破坏，成像光线光程产生变化，如 图2 图2 所示，光学系统中的每根成像光线会产生因失调而引起的OPV。从几何光学角度分析，失调后每根成像光线的OPV绝对量越小，光学系统越接近失调前的状态，相应地成像质量退化也更小，这种变化量数值越小，失调对系统像质的影响也就越小。所以，失调后产生OPV数值小的系统，是低敏感度光学系统应有的特征。 如果将失调定义为｛ α | α 1 ， α 2 ，… α n ｝，其中 α n 代表的是一系列失调类型，那么光学系统因为失调而引起的OPV一定是失调类型与失调量的函数，即： <math display="block" id="M1"><mi mathvariant="normal">O</mi><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">V</mi><mo>=</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443546&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443541&type= 32.25799942 4.65666676 . 根据工程应用经验，因失调引起的OPV与光学系统的内部参数具有一定的相关性，则因失调而引起的OPV应该与光学系统的内部参数｛ β | β 1 ， β 2 ，… β n ｝构成一定的函数关系，即： <math display="block" id="M2"><mi mathvariant="normal">O</mi><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">V</mi><mo>=</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443556&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443551&type= 32.76599884 4.82599974 . 那么，在同轴反射式系统敏感度影响因素的理论分析中，由光学元件失调引起的OPV为光学系统敏感度的评价标准，探寻失调类型、内部参数等对光程变化敏感度的内在规律，理论揭示影响同轴反射式光学系统敏感度的重要因素，具有重要的意义。 同轴两镜光学系统是大型反射式光学系统最基本的形式，本文以两镜反射式光学系统作为基本分析对象，所采用的数学分析方法对反射式光学系统是通用的。 2.2　主镜偏心平移失调 2 如 图3 图3 所示，同轴两镜反射式光学系统结构由主镜（Primary mirror， PM）与次镜（Secondary mirror， SM）组成，其中主镜作为光学系统的孔径光阑，光学系统位于右手坐标系中，主镜的顶点位于坐标系原点（0，0，0）， z 轴是系统光轴，光线沿着光轴方向传播。光线由物方无穷远发出，入射到主镜镜面 M 1 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）点，经主镜反射后，光线入射到次镜镜面 M 2 （ x 2 ， y 2 ， z 2 ）点，再经次镜反射后，光线成像于像面 M 3 （ x 3 ， y 3 ， z 3 ）点。主镜与次镜可以为任意曲面面型，通常可定义为： <math display="block" id="M3"><mi>z</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>c</mi><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mroot><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo><msup><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443580&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443575&type= 40.97866821 9.90599918 ， 式中： z 为平行于光轴的曲面矢高； c 为曲面的顶点曲率； k 为Schwarzschild常数，即二次曲面常数； r 为曲面投影在 x 轴与 y 轴确定的平面上的点相对于光轴的径向距离，如 式（4） 式（4） 所示： <math display="block" id="M4"><mi>r</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443591&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443585&type= 20.99733353 5.24933338 . 如前所述，光线经光学系统的光程可分为3个部分，即无穷远物点至 M 1 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）点，定义该部分光程长度为 z 1 ； M 1 （ x 1 ， y 1 ， z 1 ）点至 M 2 （ x 2 ， y 2 ， z 2 ）点，定义该部分光程长度为 s 1 ； M 2 （ x 2 ， y 2 ， z 2 ）点至 M 3 （ x 3 ， y 3 ， z 3 ）点，定义该部分光程长度为 s 2 。根据费马原理，三部分光程之和为常数： <math display="block" id="M5"><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>≡</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443601&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443596&type= 25.99266624 3.81000018 . 若主镜在子午方向产生了偏心平移失调，如 图4 图4 所示，即沿着 y 方向平移了 δ ，入射光线 IR 入射到主镜镜面上的点的 x 轴坐标与 y 轴坐标不变，仍然为（ x 1 ， y 1 ），但光线入射到主镜镜面上的点的 z 轴坐标平移了Δ z 1 ，此时入射光线与主镜镜面交点的坐标为 M′ 1 （ x 1 ， y 1 ， z 1 +Δ z 1 ）。相应地，入射光线与次镜镜面交点的坐标也发生了变化，为 M′ 2 （ x 2 +Δ x 2 ， y 2 +Δ y 2 ， z 2 ），其中 z 2 是 x 与 y 的函数。 主镜位置产生偏心平移失调后，光线经光学系统的3部分光程之和为： <math display="block" id="M6"><msup><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443626&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443621&type= 41.23266602 4.06400013 . 这里需要强调的是，在反射式光学系统敏感度影响因素的理论分析中，关注的是光学系统在无补偿情况下由光学元件失调导致的光程变化的敏感度，在一定程度上这种敏感度表征了光学系统对光学元件扰动的抵抗能力，所以在分析时，焦面位置保持不变，即系统无调焦补偿环节。 对比 式（6） 式（6） 与 式（5） 式（5） 的变化量可知，在主镜产生偏心平移失调前后，光学系统OPV为： <math display="block" id="M7"><mi>O</mi><mi>P</mi><mi>V</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443635&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443631&type= 38.09999847 3.81000018 . 在 式（7） 式（7） 中，对Δ z 1 进行数学展开 ［ 19 19 ］ ，得到： <math display="block" id="M8"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn 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mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>f</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443675&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443669&type= 64.34666443 5.24933338 . 在假定条件下， z 1 ， x 2 ， y 2 的变化会影响 s 1 的数值，则利用一阶近似，光程 s 1 的变化量为： <math display="block" id="M12"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443685&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443680&type= 38.01533508 8.46666718 . 这里 z 2 的变化以函数的形式体现在 x 2 与 y 2 中，则有： <math display="block" id="M13"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn 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图5 所示，光线在光学系统中传播时，以光轴为回转对称轴，光线与每个光学元件相交的坐标点相对 x 坐标轴与 y 坐标轴具有相同的辐角数值，且光线与光学元件相交点的坐标为： <math display="block" id="M17"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>r</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443733&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443728&type= 22.69066620 16.08666611 ， 式中： r 为相交坐标点的孔径值，是该点距离光轴的径向距离； x 为相交坐标点在 x 轴的坐标； y 为相交坐标点在 y 轴的坐标； θ 为辐角值。 所以在光学系统中，有： <math display="block" id="M18"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443757&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443752&type= 20.74333382 15.40933418 . 因此有： <math display="block" id="M19"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi 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；以光线与次镜镜面交点 M 2 为一点，定义与入射光线平行的直线 PL ，直线 PL 与光线 S 1 的夹角则为2 φ ，直线 PL 与光线 S 2 的夹角为 ξ ， ξ 是光学系统像方孔径角的1/2。根据定义有： <math display="block" id="M20"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443803&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443798&type= 25.39999962 8.46666718 ， <math display="block" id="M21"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo>,</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443815&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443808&type= 28.19400024 8.46666718 <math display="block" id="M22"><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>ξ</mi><mo>,</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443825&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443818&type= 24.72266769 8.46666718 <math display="block" id="M23"><mfrac><mrow><mi>f</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443834&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443830&type= 22.77533340 8.46666718 ， <math display="block" id="M24"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo>+</mo><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443845&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443840&type= 30.90333366 8.46666718 . 如 图7 图7 所示， z 2 为曲面矢高，是次镜的曲面函数； r 2 如 式（4） 式（4） 所述，是曲面投影在 x 轴与 y 轴确定的平面上的点相对于光轴的径向距离，曲面 z 2 上任意一点处的切线为 TL ，法线为 NL 。 z 2 曲面沿着 r 2 方向的偏导数为： <math display="block" id="M25"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>ζ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443856&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443851&type= 21.25133324 8.46666718 ， 式中 ζ 为次镜曲面上任意一点处的法线与直线 PL 的夹角。 如 图7 图7 所示，曲面矢高 z 2 的增长与径向距离的增长符号相反。根据次镜的入射光线、反射光线、法线和曲面切线等特征线构成的角度数学关系，则有： <math display="block" id="M26"><mi>ζ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo>+</mo><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>ξ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo>-</mo><mi>ξ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443879&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443875&type= 41.90999985 7.53533316 . 根据 式（25） 式（25） 与 式（26） 式（26） 即可得出 式（24） 式（24） 。 将式（20）~ 式（24） 式（24） 代入 式（19） 式（19） ，则有： <math display="block" id="M27"><mtable><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>θ</mi><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mrow></mfenced><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mfenced open="" close="}" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd/></mtr><mtr><mtd/></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443886&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443883&type= 53.84799576 38.52333450 ， 即有： <math display="block" id="M28"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443889&type= 35.89866638 8.46666718 ， <math display="block" id="M29"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443900&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443898&type= 35.13666534 8.46666718 . 根据以上数学关系可知，主镜偏心平移扰动给光学系统带来的OPV为： <math display="block" id="M30"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443910&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443906&type= 36.99933624 8.46666718 ， 式中： <math display="block" id="M31"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>s</mi><mmultiscripts><mrow/><mprescripts/><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow/></mmultiscripts></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443918&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443913&type= 37.50733566 8.46666718 . 假设主镜在子午方向产生了偏心平移失调，即沿着坐标轴 y 方向平移了 δ ，所以有： <math display="block" id="M32"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi>δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443925&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443922&type= 18.88066673 8.46666718 . 则 式（31） 式（31） 可转化为： <math display="block" id="M33"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443932&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443929&type= 66.46333313 9.48266697 . 大型反射式光学系统，如哈勃空间望远镜、詹姆斯·韦伯太空望远镜等，多属于长焦距小相对孔径系统，主镜焦比较小，则光线在主镜上的入射角与反射角 φ 也较小 ［ 20 20 ］ 。以哈勃空间望远镜为例，主镜光线入射角 φ 约为6° ［ 21 21 ］ 。因此，根据一阶近似可以认为： <math display="block" id="M34"><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo>≈</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443940&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443936&type= 16.34066582 3.64066648 . 综上分析，由主镜偏心平移失调引起的OPV如下： <math display="block" id="M35"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mi>δ</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443950&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443944&type= 39.79333496 8.46666718 . 在两镜光学系统中，当主镜沿着子午方向产生了偏心平移失调量 δ ，对任意一根光线所产生的OPV，为该光线与主镜镜面入射点处的镜面矢高 z 沿 y 方向的变化率（偏导数）与2倍偏心平移失调量 δ 的乘积，也为失调前后该光线在主镜镜面入射点处矢高变化量的2倍。这个结论不仅适用于主镜沿子午方向平移产生的失调，还适用于主镜沿着任意方向产生的平移失调。 2.3　次镜偏心平移失调 2 根据前一节对主镜平移的失调推导，当次镜产生偏心平移时，由次镜偏心平移引起的光学系统OPV为： <math display="block" id="M36"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mi>δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443957&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443953&type= 39.79333496 8.46666718 . 同前文推导结论一致，在两镜光学系统中，当次镜沿着子午方向产生了偏心平移失调量 δ ，对某一光线所产生的光程变化量OPV，为该光线与次镜镜面入射点处的镜面矢高 z 沿 y 方向的变化率（偏导数）与2倍偏心平移失调量 δ 的乘积，也为失调前后，该光线在次镜镜面入射点处矢高变化量的2倍。这个结论不仅适用于次镜沿着子午方向平移产生的失调，还适用于次镜沿着任意方向产生的平移失调。 通过对两镜反射式光学系统中主镜偏心平移与次镜偏心平移的数学推导可以看出，该结论可以推广到三镜反射式光学系统乃至多镜反射式光学系统中。 2.4　主镜、次镜倾斜失调 2 当主镜或次镜发生倾斜时，如 图8 图8 所示，光程长度 z 1 ， s 1 与 s 2 的变化因素与前文推导过程完全一致。因此，可直接利用前文推导结论，若主镜以顶点为圆心，绕着弧矢轴倾斜扰动了角度 η ，则入射到主镜上高度为 y 1 的光线的OPV为： <math display="block" id="M37"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>η</mi><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443961&type= 57.31933212 4.57200003 . 同理，若次镜以顶点为圆心，绕着弧矢轴倾斜扰动了角度 η ，则入射到次镜上高度为 y 2 的光线的OPV为： <math display="block" id="M38"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>P</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>η</mi><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443988&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443984&type= 60.79066849 4.57200003 ， 式中： y 1 与 y 2 表征光线与镜面交点处的位置坐标，与关于主镜偏心平移的数学推导过程唯一不同的是对矢高变化量Δ z 的表征方式不同。 在两镜系统中，当主镜绕着弧矢轴倾斜扰动了角度 η ，对某一光线所产生的OPV为失调前后该光线在主镜镜面入射点处矢高变化量的2倍，也为倾斜角度 η 与光线高度坐标乘积的2倍。这个结论不仅适用于反射镜绕着弧矢轴倾斜扰动，还适用于反射镜绕着任意方向产生的倾斜扰动。 2.5　主次镜轴向距离失调 2 光学元件之间沿着光轴方向的距离变化是最为常见的位置误差，其最明显的影响是使光学系统产生离焦。如 图9 图9 所示，简化 式（10） 式（10） 与 式（11） 式（11） ，将光程 s 1 与 s 2 表示为： <math display="block" id="M39"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443996&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9443991&type= 43.94200134 5.24933338 ， <math display="block" id="M40"><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>-</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444007&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444000&type= 42.84133148 5.24933338 ， 当主次镜轴向距离产生变化时，假设次镜向远离主镜的方向移动Δ z 2 时，则在光学坐标系下有： <math display="block" id="M41"><msup><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>≈</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444030&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444027&type= 43.26466751 8.46666718 . 求解式中的偏导数部分得到： <math display="block" id="M42"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444038&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444034&type= 26.50066566 8.46666718 ， <math display="block" id="M43"><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mi>ξ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444047&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444041&type= 21.50533485 8.46666718 . 式中，三角函数的正负号关系可通过参数之间的变化关系得到，即当 r 2 增大时， s 2 也随之增大，所以sin ξ 前为正号；当 z 2 增大时， s 2 随之减小，所以cos ξ 前为负号。将 式（42） 式（42） 与 式（43） 式（43） 代入 式（41） 式（41） 得到： <math display="block" id="M44"><msup><mrow><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msub><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>ξ</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444056&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444052&type= 41.99466705 8.55133343 . 根据以上数学推导关系，由于主次镜轴向距离变化扰动给光学系统带来的OPV为： <math display="block" id="M45"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>ξ</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>φ</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444065&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444062&type= 51.22333145 8.55133343 . 式中的负号表示：当主次镜轴向距离变大时，即Δ z 2 取负值时，光程增大。 结合 式（45） 式（45） 进一步分析，当 ξ 与2 φ 均较小时，cos（ ξ +2 φ ）≈1，cos 2 φ ≈1，则有： <math display="block" id="M46"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo>≈</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444071&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444068&type= 25.73866653 3.81000018 . 3 OPV光线追迹验证 1 为了验证2.2至2.5节中推导的由各种失调因素引起光学系统OPV的数学式，应用一个系统焦距为1 000 mm，相对孔径为1∶5的标准Ritchey-Chrétien系统进行光线追迹，对光学系统分别施加主镜偏心平移、次镜偏心平移、次镜倾斜和主次镜轴向距离失调等扰动。采用光线追迹法对上光线的实际OP、由失调因素引起的上光线OPV进行计算，以（2Δ z- OPV）/OPV评价OPV理论解析值与光线追迹真值的误差，结果如 表1 表1 ~ 表4 表4 所示。 偏心平移 δ /mm 矢高 z 1 /mm 2Δ z 1 /mm 光程OP/mm OPV光线追迹值 /mm OPV计算误差 (2Δ z 1 -OPV)/OPV -0.2 293.728 35 -0.049 98 879.950 80 -0.049 12 1.75% -0.1 293.740 85 -0.024 98 879.975 34 -0.024 57 1.67% 0 293.753 34 0.000 00 879.999 92 0.000 00 - 0.1 293.765 82 0.024 96 880.024 53 0.024 61 1.42% 0.2 293.778 29 0.049 90 880.049 14 0.049 22 1.38% 偏心平移 δ /mm 矢高 z 2 /mm 2Δ z 2 /mm 光程OP/mm OPV光线追迹值 /mm OPV计算误差 (2Δ z 1 -OPV) / OPV -0.2 18.851 02 -0.029 24 880.001 76 -0.029 26 -0.07% -0.1 18.858 34 -0.014 60 880.000 78 -0.014 61 -0.07% 0 18.865 64 0.000 00 879.999 92 0.000 00 - 0.1 18.872 92 0.014 56 879.999 18 0.014 57 -0.07% 0.2 18.880 18 0.029 08 879.998 55 0.029 10 -0.07% 倾斜角 η /(′) 光线高度 y 1 /mm 矢高 z 1 /mm 2Δ z 1 /mm 光程OP /mm OPV 光线追迹值/mm OPV计算误差 (2Δ z 1 -OPV) / OPV -2 100 293.811 91 0.117 14 880.115 86 0.115 94 1.04% -1 100 293.782 72 0.058 76 880.057 92 0.058 00 1.31% 0 100 293.753 34 0.000 00 879.999 92 0.000 00 - 1 100 293.723 97 -0.058 74 879.942 23 -0.057 69 1.82% 2 100 293.694 77 -0.116 80 879.885 18 -0.114 74 1.80% 距离失调量Δ z 2 矢高 z 1 /mm 2Δ z 1 /mm 光程OP /mm OPV光线追迹值 /mm OPV计算误差 (2Δ z 1 -OPV) / OPV -0.2 293.553 34 -0.400 00 879.606 07 -0.393 85 1.56% -0.1 293.653 34 -0.200 00 879.802 99 -0.196 93 1.56% 0 293.753 34 0.000 00 879.999 92 0.000 00 - 0.1 293.853 34 0.200 00 880.196 85 0.196 93 1.56% 0.2 293.953 34 0.400 00 880.393 78 0.393 86 1.56% 分析结果显示，与OPV光线追迹值对比，主镜偏心平移、次镜偏心平移、主次镜轴向距离失调扰动引起的OPV的理论解析计算误差在1%量级；反射镜倾斜失调扰动引起的OPV的理论解析计算误差在0.1%量级，验证了理论分析结果的正确性。 4 基于光程变化量的降敏设计 1 4.1　降敏设计 2 评价函数是光学系统设计的重要评价指标。当光学系统受到相同的失调扰动时，OPV大的光学系统，敏感度高，鲁棒性差；OPV小的光学系统，敏感度低，鲁棒性好。 由多种因素引起的OPV具有独立性和互不相关性，可以采用和方根值（Root-Sum-Squares，RSS）来计算由于多种失调因素引起的总的OPV。因此，将 式（47） 式（47） 作为评价函数来对光学系统进行降敏设计，相关各种其他失调因素引起的OPV可进行数学理论推导。 <math display="block" id="M47"><mi>O</mi><mi>P</mi><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mi>O</mi><mi>P</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">偏</mi><mi mathvariant="normal">心</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><mi>P</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">倾</mi><mi mathvariant="normal">斜</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><mi>P</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">间</mi><mi mathvariant="normal">距</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>+</mo><mi>O</mi><mi>P</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">曲</mi><mi mathvariant="normal">率</mi><mi mathvariant="normal">半</mi><mi mathvariant="normal">径</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><mi>P</mi><msup><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>值</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444100&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444097&type= 120.31133270 5.41866684 . 基于该思想与OPV评价函数，设计了一个焦距为5 600 mm，相对孔径为1∶7，视场角为15′的两反系统。设计过程中对系统OPV进行约束，以达到降敏设计的目的，使它在多项失调公差约束的情况下，以8.200 0 μm作为系统OPV判定的上限阈值。像质判定标准则选用波前误差（Wavefront Error， WFE）RMS平均值，判定阈值为0.065 0 λ （ λ =0.48 μm）。 通过初始结构筛选，经过15轮迭代优化设计（光学系统结果标记为 L 1 ~ L 15 ），获得了RMS波像差为0.059 85 λ 、OPV为8.195 6 μm的光学系统。该光学系统的OPV与RMS WFE值的变化曲线如 图10 图10 所示。 4.2　评价函数OPV与波像差改变量（ΔRMS WFE）的关系 2 商业光学系统设计软件没有直接计算OPV的功能。通常，设计人员通过计算在特定公差下的波像差改变量（ΔRMS WFE），来判断光学系统的敏感度情况。根据波动光学理论，OPV与ΔRMS WFE的数学关系可表示为： <math display="block" id="M48"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>W</mi><mi>F</mi><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mroot><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∬</mo><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow/></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>O</mi><mi>P</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mover><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>O</mi><mi>P</mi><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>y</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">]</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>y</mi></mrow></mrow><mrow/></mroot></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444116&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=9444113&type= 85.76733398 13.63133430 ， 式中 S 为光瞳面积。 从 式（48） 式（48） 中并不可直接获知OPV与ΔRMS WFE的相关性。在降敏设计过程中，从实验数据角度，为了验证OPV评价标准的正确性，与基于OPV的降敏设计方法的有效性，同步计算了15轮迭代设计过程中的ΔRMS WFE。通过实验数据可以看出，光学系统OPV与ΔRMS WFE具有正相关性，在优化过程中，二者的变化趋势一致。 综上分析，从波像差理论与实验数据两方面，验证了OPV评价标准的正确性与基于OPV评价标准的光学系统降敏设计方法的有效性。OPV与ΔRMS WFE均可以在光学设计中作为评价光学系统敏感度的评价标准。 5 结　论 1 基于失调后成像光线的光程变化绝对量越小，成像质量退化也越小的思想，本文提出以OPV作为衡量光学系统敏感度的评价标准。在一阶近似的条件下，通过建立光线传播路径的几何模型，理论推导了主镜/次镜偏心、主镜/次镜倾斜、主次镜间距变化等误差因素引起的OPV的数学解析表达式。通过一套标准Ritchey-Chretien系统，应用经典几何光线追迹法，计算了在各种失调扰动情况下所产生的OPV实际数值，与理论推导值对比，相对误差均在1%左右，证明了所推导的OPV理论表达式的正确性。 基于OPV的理论推导，建立了以OPV为评价函数的反射式光学系统降敏设计方法，设计了一个焦距为5 600 mm，相对孔径为1∶7，视场角为15′的两反系统，经过15轮迭代设计，获得了OPV与RMS WFE均满足指标要求的系统。对设计过程数据进行监控，分析了15轮迭代设计过程中的OPV与ΔRMS WFE，结果显示二者在优化过程中变化趋势一致，具有正相关性，验证了OPV评价标准的正确性与基于OPV评价标准的光学系统降敏设计方法的有效性。 参考文献 CLAUS ， ALBERT C . 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