光纤光栅与增量极限学习机的航天器结构重构

光纤光栅与增量极限学习机的航天器结构重构 Spacecraft structure reconstruction with fiber bragg grating and incremental extreme learning machine 1 corresp first-author E-mail： zhang_cast@126.com E-mail： zhang_cast@126.com 张福生（1983-），男，吉林通化人，博士，高级工程师，2011年毕业于天津大学获得博士学位，主要研究方向为飞行器设计、综合测试设计。E-mail：zhang_cast@126.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629421&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629430&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629426&type= 22.01336670 32.00396729 张福生 （1983-），男，吉林通化人，博士，高级工程师，2011年毕业于天津大学获得博士学位，主要研究方向为飞行器设计、综合测试设计。E-mail： zhang_cast@126.com zhang_cast@126.com 2 1 北京空间飞行器总体设计部，北京 100094 北京空间飞行器总体设计部，北京 100094 Beijing Institute of Spacecraft System Engineering， Beijing 100094， China Beijing Institute of Spacecraft System Engineering， Beijing 100094， China 山东大学 控制科学与工程学院，山东 济南 250061 山东大学 控制科学与工程学院，山东 济南 250061 College of Control Science and Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China College of Control Science and Engineering， Shandong University， Jinan 250061， China 为了解决航天器板状结构变形的监测问题，建立了结构应变检测与形变重构系统，提出了一种基于准分布式光纤光栅传感器网络和改进型增量式极限学习机相结合的结构形变重构方法。采用光纤光栅应变传感技术，搭建了四边固支平板结构应变检测与形变重构装置，每条通道由12个传感器按照四行三列等距离分布组成，并采用完全粘贴方式提高测量的准确度与稳定性。设计了基于增量式极限学习机的结构形变预测模型，经过训练，该模型能够有效的预测结构变形位移量，结合三次样条插值法，实现了变形曲面的三维重构。采用平均绝对误差以及均方根误差两个精度指标对重构方法进行评价，实验结果表明，该检测装置及形变重构方法在不同的变形状态下的平均绝对误差小于0.05 mm，均方根误差小于0.005 mm，满足航天器结构的形变监测需求。 A strain detection and reconstruction system was developed to monitor deformations on spacecraft plate surfaces. To this end， a displacement field reconstruction method was proposed based on fiber Bragg grating sensors and an incremental extreme learning machine （I_ELM）. A four sided fixed support flat plate device was designed for strain detection and deformation reconstruction. Each of its panels had 12 sensors evenly distributed in a 4×3 grid. The accuracy and stability were improved by completely sticking method. A model for predicting structural deformation was then designed based on I_ELM. The model could effectively predict structure deformation displacement after training. Finally， 3D restoration was realized after incorporating cubic spline interpolation. The average absolute error of the proposed approach was less than 0.05 mm and root mean square error was less than 0.005 mm. Therefore， this method can be used to monitor the deformation of spacecraft surfaces. 光纤光栅传感器 增量式极限学习机 三维曲面重构 航天器 FBG sensor incremental extreme learning machine three-dimensional surface reconstruction spacecraft 1 引　言 1 航天器长期工作在复杂太空环境中，会经历高低温、振动和真空等空间环境，在轨结构变形直接影响相机、星敏感器、陀螺、推力器等关键部件自身空间指向及彼此间的几何关系，使得极性敏感类部件的工作性能降低或失效。板状结构在航天器领域应用广泛，近年来航天器设计更加的多样化，复杂化，结构也愈加大型化，轻量化，由结构变形引起的航天器飞行任务的可靠性降低也越加明显。因此对于典型结构形态的实时监测与可视化重构是保障其工作稳定性的重要手段 ［ 1 1 - 2 2 1-2 ］ 。 目前常见的结构形态感知方法有摄像法、基于加速度计或者电阻片的变形监测法等 ［ 3 3 ］ ，但以上方法普遍具有装置笨重，测量周期相对较长等缺点，更适用于实验室环境或者是地面测量，很难实现复杂环境下的结构形态在线实时测量。光纤光栅（Fiber Bragg Grating，FBG）传感器具有灵敏度高、测量范围广、耐高温和稳定性高等特点 ［ 4 4 ］ ，弥补了很多传统传感器的不足；通过波分/空分等技术构成分布式网络 ［ 5 5 - 7 7 5-7 ］ ，更加便利、准确的获得结构上各点的变形数据，被广泛应用于航天器结构的变形监测中。 对于结构形态的三维重构问题，国内外也展开了一定的研究。传统算法包括逆有限元法，模态法，挠度曲线法，曲率转换法等。Bang等人 ［ 8 8 ］ 采用模态法构建了风电机组塔架的应变—位移模型，利用表面安装的光纤布拉格光栅传感器采集的应变数据，实现了风电机组塔架结构的实时形状估计。KO等人 ［ 9 9 ］ 采用经典梁理论提出了基于挠度曲线的重构方法，并且将其推广应用到了简支梁，飞机机翼等领域。Alexander Tessler等人 ［ 10 10 ］ 提出了一种逆有限元法，即通过采用不同的误差函数和构造形函数逼近有限元模型，进而实现结构位移重构。朱晓锦等人 ［ 11 11 ］ 基于变形结构的正交曲率信息分别研究了太阳能帆板以及细长机敏柔性结构的三维形态拟合与重构方法。钱晋武等人 ［ 12 12 ］ 设计了一种基于FBG的在管道内测量弯曲变形的装置，根据曲率信息，精确实现了地下管道的变形形态估计。经过对比研究发现，逆有限元法和挠度曲线法适合比较简单的模型，不适用于大型的工程结构测量，应用范围窄；模态法过度依赖于仿真模型的准确度，但基于实际情况的复杂性很难构造准确合理的模型；曲率重构法虽然不受模型误差影响，但该方法在反演过程中会累积计算误差使重构精度下降。为了弥补上述方法的不足，基于神经网络算法 ［ 13 13 ］ 的结构变形测量方法应运而生，无需系统的精确模型即可进行相应的运算，计算速度快而且不会产生累积误差。训练结构的应变-位移模型是一个回归问题，常用于回归问题的神经网络有BP神经网络、SVM支持向量机 ［ 14 14 ］ 及极限学习机（Extreme Learning Machine，ELM） ［ 15 15 - 16 16 15-16 ］ 等，相较于采用梯度下降的迭代算法，ELM输入偏重一步随机产生，在保证学习精度的情况下学习速度更快 ［ 17 17 ］ 。 基于以上分析，本文以航天器四边固支的平板结构为研究对象，针对变形监测方法中的位移场重构问题，提出基于准分布式光纤光栅传感器网络获取结构变形信息，然后结合增量式极限学习机（Incremental Extreme Learning Machine，I_ELM）训练得到结构应变-位移模型，最后实现了变形结构位移场的三维重构。 2 平板结构应变检测装置设计 1 以组成航天器舱体结构的四边固支的板状结构作为实验对象，如 图1 图1 所示。平板结构采用铝合金材料，长660 mm，宽660 mm，厚3 mm。 对于薄板结构来说，沿 z 轴的剪切力对应的剪切应变 <math id="M1"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>y</mi><mi>z</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629448&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629444&type= 3.55599999 3.72533321 和 <math id="M2"><msub><mrow><mi>τ</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mi>z</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629457&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629453&type= 3.64066648 3.72533321 对于平板的弯曲变形的作用是次要的，可以忽略不计，推导得出平板变形满足以下两个假设： （1）平面假设：假设变形之后的横截面仍为平面且垂直于变形后的轴线； （2）连续性假设：假设平面的轴线由原来的水平直线变为一条连续平滑的曲线。 该结构可以等效于空间中的平面，只需获知结构表面的应变信息就可以表示出整个结构的应变场分布，由此对于四边固支板状结构的研究就转换为对空间曲面的重构。 实验系统及流程图如 图2 图2 所示，由准分布式光纤光栅传感器网络，高精度光纤解调仪，千分表阵列组成。通过遥控电机压缩弹簧对四边固支的平板结构的中心区域施加载荷力，布置高密度的光纤光栅传感器采集结构变形信息，传感信息经由高精度解调仪解调为可显示和计算的电信号即波长信；在薄板的四角和中心点共5个位置（ 图2 图2 中红色方点1~5）布置千分表，用于采集结构的位移信息；将应变信息和位移信息分别作为极限学习机的输入矩阵和输出矩阵，训练得到结构的应变-位移预测模型，基于传感器反馈的应变信息预测结构形变，得到离散位移值，基于三次样条插值法获得变形曲线，最后拟合得到变形曲面。 准分布式光纤光栅传感器网络如 图3 图3 所示，每条通道由12个传感器按照四行三列等距离分布组成，为了提高测量的准确度与稳定性，采用柔性封装光纤光栅应变传感器作为敏感元件，由专职工艺人员进行安装，保证被测面和FBG传感器粘贴牢固，使二者应变保持一致，具体的传感器网络设计参数如 表1 表1 所示。 Parameters Parameter setting Parameters Parameter setting Measuring range ±1000 με Number of FBG 24 Transformation factor 1.22 pm/με Paste location completely pasted on surface Inter-sensor buffer 0.3 nm Paste reagent Epoxy glue Minimum wavelength interval 2.74 nm Network form Quasi-distributed network 3 平板结构应变检测原理 1 3.1　FBG位移测量原理 2 光纤布拉格光栅传感器因其体积小，抗电磁干扰，测量精度高等优点被广泛应用于大型柔性结构应变信息的采集。光纤布拉格光栅基于波长调制工作，符合布拉格条件： <math display="block" id="M3"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">Λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629508&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629502&type= 17.01799965 3.72533321 ， 其中： <math id="M4"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629519&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629513&type= 3.21733332 3.72533321 为中心反射波长， <math id="M5"><msub><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629530&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629525&type= 4.14866638 3.72533321 为有效折射率， <math id="M6"><mi mathvariant="normal">Λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629541&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629534&type= 2.70933342 2.79399991 为光栅周期。 当平板发生变形的同时粘贴于结构表面的FBG传感器也会发生弯曲变形如 图4 图4 所示，中心反射波长随之偏移，经过实验标定，可以得到结构轴向应变与波长偏移量之间的关系： <math display="block" id="M7"><mi>ε</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629550&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629546&type= 34.37466812 9.14400005 ， 其中： <math id="M8"><mi>ε</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629563&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629558&type= 1.43933344 2.79399991 为轴向应变， <math id="M9"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>L</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629572&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629568&type= 4.91066647 2.79399991 为结构测点处的伸缩量， <math id="M10"><mi>L</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629585&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629576&type= 2.45533323 2.79399991 为原始长度， <math id="M11"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>B</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629596&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629589&type= 5.67266655 3.72533321 为波长偏移量，单位为nm， <math id="M12"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.22</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629604&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629601&type= 14.90133286 3.72533321 为有效弹光系数。 带入有效弹光系数： <math display="block" id="M13"><mi>ε</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1220</mn></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629633&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629628&type= 14.47799969 7.95866632 . 将基于中心波长偏移量计算得到的应变数据作为输入矩阵，千分表阵列采集的结构位移值作为输出矩阵训练增量式极限学习机，可得到结构应变与位移之间的映射关系。 3.2　增量式极限学习机原理 2 极限学习机是一种单隐层的神经网络，其输入偏重是一步随机产生的，学习速度更快，也避免了出现陷入局部最小值以及过度训练等情况，但传统的ELM算法的神经元节点个数是人为规定的，并且要经过不断的实验调整才能找到最优值 ［ 18 18 ］ ，这会降低学习的效率以及准确度，因此提出基于增量式极限学习机进行模型训练。 假设有N个样本数据 <math id="M14"><mo stretchy="false">(</mo><mi>P</mi><mo>,</mo><mi>Q</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629644&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629639&type= 10.41399956 3.55599999 ， <math id="M15"><mi>P</mi><mo>=</mo><msup><mrow><msub><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>×</mo><mi>n</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629672&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629667&type= 44.87333298 3.97933316 表示输入矩阵， <math id="M16"><mi>Q</mi><mo>=</mo><msup><mrow><msub><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>×</mo><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629683&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629679&type= 46.65133286 3.97933316 表示期望输出矩阵，网络结构如 图5 图5 所示。 从 图5 图5 可以看出，输入层与隐藏层之间的输入权重和偏置分别为： <math display="block" id="M17"><mi>ω</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mi>L</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629714&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629709&type= 42.16400146 3.97933316 ， <math display="block" id="M18"><mi>B</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>×</mo><mi>L</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629722&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629719&type= 40.30133438 3.97933316 . 选择合适的激活函数 <math id="M19"><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629735&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629730&type= 7.95866632 3.97933316 ，将输出层数据由原本的空间映射到ELM的特征空间： <math display="block" id="M20"><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mo>-</mo><mi>x</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629746&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629740&type= 24.55333328 8.21266651 . 式（5） 式（5） 为Sigmoid函数可以把一个实数映射到（0，1）的区间，该函数在输入矩阵的特征差距较小时效果比较好，因此选择其作为激活函数。 由此得到隐藏层的输出矩阵 <math id="M21"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629756&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629751&type= 8.38199997 3.72533321 ： <math display="block" id="M22"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo>,</mo><mi>ω</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd><mtd><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo></mtd><mtd><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>×</mo><mi>L</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629766&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629759&type= 102.78533173 22.94466591 . 隐藏层与输出层之间的关系式： <math display="block" id="M23"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>×</mo><mi>L</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>L</mi><mo>×</mo><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>×</mo><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629776&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629771&type= 29.97200012 4.57200003 ， 其中， <math id="M24"><mi>β</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629786&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629783&type= 1.94733346 3.64066648 代表输出权重矩阵。 如 图6 图6 所示为增量式极限学习机的具体工作流程。I_ELM工作时，首先由用户确定一个包含 <math id="M25"><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629797&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629791&type= 3.55599999 3.72533321 个节点的神经网络，利用 式（8） 式（8） 获得输出权重矩阵。为了保证网络的准确度，定义最小误差化函数，因为隐藏层输出矩阵不为方阵，采用传统最小二乘法进行求解时容易引起不适定的问题，通常需要添加正则项以保证数值的稳定性 ［ 19 19 ］ ： <math display="block" id="M26"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>H</mi><mi>β</mi><mo>-</mo><mi>Q</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi>λ</mi><mi>I</mi><mi>β</mi></mrow></mfenced><mo>→</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629805&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629801&type= 42.67200089 4.82600021 ， 其中， <math id="M27"><mi>λ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629816&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629812&type= 1.77800000 2.79399991 是可调正参数。对 式（8） 式（8） 进行求解，得到输出权重矩阵： <math display="block" id="M28"><mi>β</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>λ</mi><mi>I</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi>Q</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629823&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629817&type= 37.59199905 4.23333359 . 将计算得到的输出权重矩阵带入 式（10） 式（10） ，即可得到模型预测的输出矩阵。 预测模型的准确度可以通过网络的均方根误差和平均绝对误差反映出来，因此选用两者的线性组合作为评价模型优劣的标准： <math display="block" id="M29"><mi>μ</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>E</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629845&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629840&type= 23.96066666 4.57200003 ， <math display="block" id="M30"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629855&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629851&type= 17.78000069 3.80999994 ， 其中： <math id="M31"><mi>E</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629861&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629857&type= 2.62466669 2.79399991 和 <math id="M32"><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629873&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629869&type= 2.70933342 2.79399991 分别表示归一化的均方根误差和平均绝对误差。 当一次训练结束后如果网络的绝对误差和均方根误差不满足用户要求或者还未达到预先设定的最大神经元个数 <math id="M33"><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629882&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629878&type= 6.01133299 3.72533321 ，则继续往神经网络中添加节点并更新参数。保持原先的输入权重不变，只产生对应于新节点的输入权重，可得到新的输入权重 <math id="M34"><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629890&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629887&type= 3.64066648 3.72533321 ： <math display="block" id="M35"><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mo stretchy="false">[</mo><mtable><mtr><mtd><mi>ω</mi></mtd><mtd><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>×</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo>+</mo><mi>l</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629898&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629894&type= 32.17333603 4.14866638 ， 其中， <math id="M36"><mi>l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629907&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629903&type= 1.18533325 2.79399991 表示添加的节点数。 得到新的输入权重后，重新对模型进行训练，直至满足结束条件。如果神经元节点累积到最大时还没有得到满足误差条件的参数，这时选择循环过程中 <math id="M37"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629915&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629912&type= 5.16466665 4.57200003 对应的输入权重作为最优值进行模型的构建。 4 实验结果与分析 1 4.1　实验数据采集方法 2 通过遥控电机控制弹簧的压缩长度进而对平板结构施加载荷力，随着弹簧力的增加，结构中心位移量逐渐增大，产生了不同的应变场和位移场分布。每操作一次电机，弹簧就会发生一次压缩，实验仅采集电机停止后的数据，即静态离散的波长数据，如 图7 图7 所示是结构中心位移为5.656 mm时传感器反射中心波长的偏移量。 1,2; 根据 图7 图7 可以得出，两个通道的FBG传感器的波长偏移量在 - 0.1 nm~0.5 nm之间。偏移量为正时，说明变形结构测点位置处于伸长状态；偏移量为负，说明结构在测点位置处于压缩状态。 4.2　重构模型训练与验证 2 4 . 2 . 1　结构监测模型训练 3 实验时要保证弹簧的变形量始终在弹性形变以内，因此对结构施加的力是有限的，以结构从未变形到发生最大形变的过程为一组实验。一组实验可以采集6个变形状态的波长和位移信息，为保证实验数据的充足，共采集70组实验数据共420个样本，其中截取部分实验数据如表 2 2 ~ 3 3 所示，其中 表2 表2 为6个状态下的结构应变数据， 表3 表3 为6个状态下的结构位移数据。 13 Fiber channel 1 （ <math id="M38"><mo>×</mo><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629960&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629956&type= 8.46666718 2.62466669 ） Step FBG1 FBG2 FBG3 FBG4 FBG5 FBG6 FBG7 FBG8 FBG9 FBG10 FBG11 FBG12 1 23.8 11.5 14.8 30.3 104.1 18.9 16.4 94.3 26.2 23.0 -10.7 14.8 2 31.1 12.3 19.7 44.3 145.9 29.5 26.2 132.8 39.3 31.1 -17.2 20.5 3 41.0 10.7 25.4 60.7 191.8 44.3 39.3 173.0 54.1 39.3 -27.9 27.0 4 53.3 7.4 30.3 76.2 235.2 60.7 53.3 209.0 68.9 47.5 -39.3 35.2 5 69.7 0.8 36.1 92.6 276.2 77.0 68.0 242.6 84.4 56.6 -55.7 42.6 6 86.9 -17.2 36.9 108.2 318.9 91.8 84.4 280.3 106.6 71.3 -77.9 53.3 13 Fiber channel 2 （ <math id="M39"><mo>×</mo><msup><mrow><mn>10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn>6</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629960&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=23629956&type= 8.46666718 2.62466669 ） Step FBG13 FBG14 FBG15 FBG16 FBG17 FBG18 FBG19 FBG20 FBG21 FBG22 FBG23 FBG24 1 18.9 -7.4 13.9 18.9 86.9 23.8 27.0 103.3 22.1 12.3 21.3 16.4 2 24.6 -13.1 18.9 27.9 127.0 35.2 39.3 143.4 34.4 18.9 14.8 23.0 3 34.4 -23.8 26.2 40.2 161.5 50.0 56.6 184.4 49.2 27.9 10.7 31.1 4 42.6 -34.4 34.4 53.3 191.8 63.9 73.0 218.9 64.8 36.9 3.3 38.5 5 51.6 -47.5 42.6 68.0 220.5 80.3 89.3 252.5 82.0 46.7 -8.2 48.4 6 60.7 -69.7 55.7 86.1 250.0 98.4 107.4 289.3 103.3 60.7 -26.2 59.0 Step 1 2 3 4 5 1 0.791 0.831 1.518 0.661 0.687 2 1.192 1.233 2.219 0.971 1.006 3 1.702 1.729 3.011 1.338 1.374 4 2.258 2.234 3.783 1.720 1.741 5 2.911 2.816 4.567 2.130 2.126 6 3.495 3.325 5.382 2.583 2.542 mm 4 . 2 . 2　结构监测模型验证 3 随机不确定的选取300组样本用于训练，剩余的样本用于测试网络性能，为了减小偶然性，取该算法运行30次的平均绝对误差MAE和均方根误差RMSE来表征模型的误差。 光纤光栅传感器布置的密度和位置不同会影响重构结果的精度，为了验证采用高密度、均匀分布的传感器布局进行形变监测的准确性，对比了如 图8 图8 所示的三种传感器网络下的模型误差，结果如 表4 表4 所示。 Situation Running time/s RMSE/mm MAE/mm 1 0.298 7 0.003 7 0.044 8 2 0.289 3 0.004 1 0.047 5 3 0.278 9 0.005 2 0.046 0 根据 表4 表4 数据可得，当采用三种FBG传感器时，运行时间差距不大，均小于0.3 s，但相较于情况1，后两种布局的平均绝对误差和均方根误差都较大，这是因为后两种情况仅在中心或者四周布置了传感器，获取的应变信息是片面的，导致精度下降，因此选择如 图3 图3 所示的高密度、均匀分布的准分布式FBG传感器网络分布可以有效减小重构误差。 表4 表4 表明在30次的实验中，结构预测模型的均方根误差和平均绝对误差分别小于0.004 mm和0.045 mm。 图9 图9 是采用情况1时的某次实验的训练误差和测试误差。在单次的实验中，训练集和测试集的最大绝对误差均小于0.12 mm，预测结果良好，可以用于结构的变形监测。 1,2; 4 . 2 . 3　模型算法性能对比 3 为了对比算法的准确性，分别采用ELM，曲率转换法和I_ELM对结构不同中心位移下的变形状态进行了三维重构并分析比较了两者的重构效果，如 表5 表5 。 Error Algorithm 1 2 3 4 5 6 3 MAE/mm ELM 0.043 0.060 0.065 0.036 0.074 0.034 CTM 0.108 0.074 0.096 0.049 0.040 0.030 I_ELM 0.024 0.033 0.042 0.049 0.040 0.030 3 RMSE/mm ELM 0.002 0 0.003 8 0.004 7 0.002 1 0.006 2 0.001 5 CTM 0.013 9 0.008 2 0.012 5 0.013 3 0.056 8 0.060 3 I_ELM 0.001 0 0.001 8 0.002 7 0.004 3 0.002 6 0.001 8 采用平均绝对误差以及均方根误差两个精度指标对重构方法进行评价，结果表明I_ELM的两项指标均优于ELM和曲率转换法，在不同的变形状态下基于I_ELM的反演平均绝对误差均小于0.05 mm，均方根误差均小于0.005 mm，证明了该算法在位移预测方面准确性较高。 4 . 2 . 4　三维形态重构演示 3 将基于结构预测模型得到的离散的测点位移输入到重构程序中，得到如 图10 图10 所示的不同中心位移下的变形曲面重构图。 图10 图10 所示的曲面重构图能够体现出平板结构四边固支，中心受力后呈现山峰状凸起的形态特征，另外结合 表4 表4 所示的模型误差评估，可以得出结论：结合FBG传感器阵列和三维曲面重构算法可以准确实现变形后平板结构的位移场重构。 5 总　结 1 针对航天器板状结构精准监测和反演重构问题，本文提出一种基于准分布式光纤光栅传感器网络和改进型增量式极限学习机相结合的结构形变重构方法。设计了板状结构应变检测装置，介绍了应变检测原理和数据解析方法，最后给出了基于增量式极限学习机的结构形变预测方法，该方法能够有效的预测结构变形位移量，结合三次样条插值法，实现了变形曲面的三维重构。最后，给出了板状结构应变测量数据的变形位移量影像测量中超出视野范围大尺寸测量时光栅尺的误差补正方法以及比例尺的设定方法。实验结果表明，该检测装置及形变重构方法的测量平均绝对误差小于0.05 mm，均方根误差小于0.005 mm，适用于航天器结构的形变监测需求。 参考文献 BANG H J ， SHIN H K ， JU Y C . 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