V型电热驱动器的理论建模及位移响应特性

V型电热驱动器的理论建模及位移响应特性 Theoretical modeling and displacement response characteristics of V-shaped electrothermal actuator first-author 李　峰（1998-），男，山东枣庄人，硕士研究生，2020年于山东理工大学获得学士学位，主要从事智能材料结构驱动及其控制的研究。E-mail：3475009020@qq.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964701&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964710&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964707&type= 22.01332855 32.00400543 李　峰 （1998-），男，山东枣庄人，硕士研究生，2020年于山东理工大学获得学士学位，主要从事智能材料结构驱动及其控制的研究。E-mail： 3475009020@qq.com 3475009020@qq.com corresp E-mail： xjwang@njust.edu.cn E-mail： xjwang@njust.edu.cn 王新杰（1982-），男，河南人，博士，副教授，2011年于哈尔滨工业大学获得博士学位，主要从事微机电系统，智能材料驱动及其控制的研究。E-mail：xjwang@njust.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964715&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964724&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964720&type= 22.01332855 32.00400925 王新杰 （1982-），男，河南人，博士，副教授，2011年于哈尔滨工业大学获得博士学位，主要从事微机电系统，智能材料驱动及其控制的研究。E-mail： xjwang@njust.edu.cn xjwang@njust.edu.cn 南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094 南京理工大学 机械工程学院，江苏 南京 210094 School of Mechanical Engineering， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China School of Mechanical Engineering， Nanjing University of Science and Technology， Nanjing 210094， China 为了研究V型电热驱动器的位移响应特性，考虑到材料参数的温度非线性及数学模型中存在的非连续性边界问题，从理论、仿真和实验三个方面对V型电热驱动器进行研究。通过引入与温度相关的材料参数更新函数，建立V型电热驱动器的电-热-力耦合模型；利用改进型切比雪夫谱方法求解所构建的耦合模型，得到V型电热驱动器温度和瞬态位移表达式。然后，对V型电热驱动器温度和位移进行有限元仿真和理论分析。最后，搭建电热驱动器瞬态位移响应实验平台，将恒定电压激励下的V型电热驱动器位移响应实验结果与理论和仿真结果进行对比，并对周期性方波电压下V型电热驱动器的位移响应进行了测试。实验结果表明：在一段时间后，V型电热驱动器的位移响应呈现周期性变化，且周期与方波电压周期相等；在其他参数相同的条件下，峰峰值为14 V的周期方波电压作用下，电热驱动器位移均值为20 µm，峰峰值为7 V的周期方波电压作用下，位移均值为28 µm；频率为50 Hz的周期方波电压作用下，电热驱动器位移变化幅度比频率100 Hz下多7 µm。V型电热驱动器的位移均值基本不变，但位移变化幅度与频率负相关。 To study the characteristics of displacement response for a V-shaped electrothermal actuator， considering that the material parameters are affected by temperature nonlinearity and discontinuous boundary problems in the mathematical model， the characteristics of displacement response for the V-shaped electrothermal actuator were studied in theory， simulation， and experiment. First， an electro-thermal-mechanical coupling model of a V-shaped electrothermal actuator was established by introducing updating functions of a material parameter related to the temperature. Expressions for the temperature and transient displacement of the V-shaped electrothermal actuator were obtained using the improved Chebyshev spectrum method to solve the constructed coupling model. Then， a finite element simulation and theoretical analysis of the temperature and displacement of the V-shaped electrothermal actuator were performed to verify the correctness of the model. Finally， an experimental platform for the transient displacement response of the electrothermal actuator was constructed. The experimental results of the displacement response for the V-shaped electrothermal actuator under constant voltage excitation were compared with the theoretical and simulation results. The displacement response of the V-shaped electrothermal actuator under a periodic square wave voltage was tested. The test results reveal the following： the V-shaped electrothermal actuator performs periodic variation after a certain amount of time. The cycle is identical to that of the square wave voltage. Under similar conditions of other parameters， the average displacements of the electrothermal driver under the action of the peak-to-peak 14 V periodic square wave voltage are 20 µm. Furthermore， the average displacements under the action of the peak-to-peak 7 V periodic square wave voltage are 28 µm. The displacement variation of the electrothermal actuator under the action of a periodic square wave voltage with a frequency of 50 Hz is 7 µm larger than that under a frequency of 100 Hz. The mean displacement is approximately equal. However， the variation range of displacement is negatively correlated with frequency. V型电热驱动器 切比雪夫 温度 瞬态位移 位移响应 V-shaped electrothermal actuator chebyshev temperature transient displacement displacement response 1 引 言 1 作为微机电系统（Micro-Electro-Mechanical System，MEMS）的驱动机构，微驱动器也称为微执行器或致动器，通过将其他形式的能量转化为机械能，从而产生驱动力或力矩；其输出力或力矩、驱动位移和可靠性等参数决定了整个MEMS的性能，是MEMS重要的组成部分 ［ 1 1 - 3 3 1-3 ］ 。依据驱动原理的不同，微驱动器分为静电型 ［ 4 4 ］ 、电磁型 ［ 5 5 ］ 、压电型 ［ 6 6 ］ 以及电热型 ［ 7 7 ］ 等，其中，电热驱动器利用焦耳和热膨胀效应，将电能或其他形式的能量转变为热能，进而输出位移。和其他驱动器相比，电热驱动器的驱动电压更低、输出位移更大、工艺兼容性更好，因此电热驱动器是目前的研究热点之一。电热驱动器分为U，V和Z型3种，其中，V型电热驱动器在倾角足够大时可以提供更大的位移 ［ 8 8 - 10 10 8-10 ］ 。 为了研究电热驱动器的位移响应特性，通常需要先对电热驱动器进行解耦 ［ 11 11 ］ ，即依序单独建立电-热耦合子模型和热-力耦合子模型。对于电-热耦合子模型，Shan等 ［ 12 12 ］ 考虑温度对电阻率、导热系数等参数的影响，建立V型电热驱动器的瞬态传热模型，在此基础上对真空和空气环境下的瞬态热响应进行了仿真分析；Estahbanati等 ［ 13 13 ］ 将V型电热驱动器划分成8个集总热单元，利用节点分析法建立V型电热驱动器的等效电路模型。对于热-力耦合子模型，Shan等 ［ 12 12 ］ 依据虚功原理，采用力和力矩来等效替代V型电热驱动器一侧的约束，从而建立V型电热驱动器的热-力耦合子模型，并利用有限元仿真验证所构建的热-力耦合子模型；Zhang等 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ 认为V型电热驱动器所受外力做功能够全部转化为弹性体的应变能，并结合应变能、余能与外力之间的关系，推导出V型电热驱动器尖端的位移计算公式。综上可知，相关学者基于不同方法构建了V型电热驱动器的电-热-力耦合模型，但未充分考虑温度对材料参数的影响。而对于电热驱动器的位移响应特性，Shan等 ［ 12 12 ］ 通过理论分析和有限元仿真研究了电流脉冲作用下V型电热驱动器的位移响应特性，并分析了V型电热驱动器参数对位移响应的影响；Estahbanati等 ［ 13 13 ］ 通过理论建模、仿真分析与实验研究了V型电热驱动器在恒定电压下的位移响应特性；Zhang等 ［ 14 14 - 15 15 14-15 ］ 从理论建模、有限元仿真和实验三个方面出发，研究了V型电热驱动器在阶跃电压下的动态响应，并分析了参数对电热驱动器响应特性的影响。上述文献对V型电热驱动器在电流脉冲、恒定电压和阶跃电压下的位移响应特性进行了研究，但并未对电热驱动器在周期方波电压下的位移响应特性进行研究，难以满足微机电系统中对电热驱动器动态周期性位移控制的需求。 考虑到温度对材料参数的影响，本文在建立V型电热驱动器的电-热耦合子模型时引入材料参数更新函数。利用改进型切比雪夫谱方法求解V型电热驱动器电-热耦合子模型中的偏微分方程，计算得到V型电热驱动器的温度表达式。在此基础上，结合受迫振动原理，建立V型电热驱动器的热-力耦合子模型，计算得到V型电热驱动器的瞬态位移表达式。然后，通过有限元仿真验证理论下V型电热驱动器的温度和瞬态位移表达式。最后，通过搭建电热驱动器瞬态位移响应实验平台来测量恒定电压激励下V型电热驱动器的瞬态位移，并与理论和仿真下V型电热驱动器的瞬态位移结果进行对比。同时，测量V型电热驱动器在周期方波电压激励下的瞬态位移。本文的研究结果可为V型电热驱动器在微机电系统中的周期性微驱动应用提供参考。 2 V型电热驱动器的电 - 热 - 力耦合模型 1 V型电热驱动器是一个弯曲梁结构，其结构如 图1 图1 所示 ［ 16 16 ］ 。图中： w 为V型电热驱动器的宽度； h 为V型电热驱动器的厚度； θ 为倾斜角； L 为V型电热驱动器长度的一半； g 为V型电热驱动器与基底的距离； y 为V型电热驱动器的位移。在电压作用下，驱动器产生的热膨胀变形会使它沿着初始弯曲方向进一步弯曲。与驱动器两端的弯曲挠度相比，中间部分的弯曲挠度更大，因此将该挠度作为V型电热驱动器的位移 ［ 17 17 ］ 。 2.1　电-热耦合子模型 2 与热对流和热辐射相比，热传导传输的热量更多 ［ 18 18 ］ ，因此首先进行热传导分析。在V型电热驱动器上任取一个微元，如 图2 图2 所示。其中， x 为微元的位置， <math id="M1"><mo>∆</mo><mi>x</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964750&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964745&type= 4.82600021 3.13266683 为微元的长度， <math id="M2"><mi>T</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964759&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964755&type= 11.85333347 3.55599999 为微元温度 T 关于位置 x 和时间 t 的函数。 <math id="M3"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964783&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964778&type= 3.55599999 4.14866638 和 <math id="M4"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">o</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964793&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964788&type= 4.06400013 4.14866638 分别为以热传导方式流入和流出V型电热驱动器微元的热量，则 ［ 19 19 ］ ： <math display="block" id="M5"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>w</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>T</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>x</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>o</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>w</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><msub><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>T</mi></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964804&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964799&type= 61.12933731 22.09799957 ， 式中： <math id="M6"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965060&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965056&type= 2.79399991 2.79399991 = <math id="M7"><mi>L</mi><mi mathvariant="normal">和</mi><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964823&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964818&type= 8.72066593 3.30200005 时，分别为V型电热驱动器的左梁和右梁； <math id="M8"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965095&type= 4.23333359 3.72533321 为V型电热驱动器左右各梁的温度； κ 为室温下V型电热驱动器的导热系数； <math id="M9"><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964845&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964838&type= 9.65200043 4.48733330 为导热系数 κ 关于温度 <math id="M10"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965095&type= 4.23333359 3.72533321 的函数。 V型电热驱动器的微元与空气发生热对流而产生的热损失为 <math id="M11"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>o</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964865&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964860&type= 5.58799982 4.14866638 ，与基底的传热而产生的热损失为 <math id="M12"><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>g</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964875&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964870&type= 5.58799982 4.14866638 ，则： <math display="block" id="M13"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>o</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>w</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>h</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>g</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>w</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964885&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964880&type= 54.52533722 15.49400043 式中： <math id="M14"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964894&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964889&type= 3.38666677 3.72533321 为V型电热驱动器与空气的热对流系数，取70 W/（ <math id="M15"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964922&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964919&type= 7.87400007 2.96333337 ）； <math id="M16"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964915&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964909&type= 3.30200005 3.72533321 为V型电热驱动器与基底的传热系数，取6 000 W/（ <math id="M17"><msup><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>·</mo><mi mathvariant="normal">K</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964922&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964919&type= 7.87400007 2.96333337 ） ［ 20 20 ］ ； <math id="M18"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964932&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964927&type= 3.72533321 3.72533321 为室温。 依据焦耳效应，V型电热驱动器微元在通电条件下产生的焦耳热为： <math display="block" id="M19"><mi>Q</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>w</mi><mi>h</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964950&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964945&type= 51.56200027 3.97933316 ， 式中： J 为电流密度； <math id="M20"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964960&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964955&type= 3.04800010 4.57200003 为室温下V型电热驱动器的电阻率； <math id="M21"><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964970&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964965&type= 9.39799976 4.82600021 为电阻率 <math id="M22"><mi>ρ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964979&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32964974&type= 1.86266661 3.64066648 关于温度 <math id="M23"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965095&type= 4.23333359 3.72533321 的函数。 V型电热驱动器的宽度和厚度远小于其长度，因此将它简化为一维几何模型，如 图3 图3 所示。将V型电热驱动器中心的挠度作为其位移，因此其中心区域温度对位移影响很大，而改进型切比雪夫谱方法的点大多分布在模型两边，中间部分分布较少，因此模型计算精度较低。为了提升模型的计算精度，这里需要增加切比雪夫点在V型电热驱动器中心区域的数量，因此将V型电热驱动器模型分为［0， L ］和［L，2 L ］两个长度区域，并将这两个区域作为求解区域的定义域。 依据能量守恒定理，得到V型电热驱动器的瞬态模型方程，如下： <math display="block" id="M24"><mi>c</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>-</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msup><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>R</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965013&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965008&type= 136.39799500 8.38199997 ， 且： <math display="block" id="M25"><mi>J</mi><mo>=</mo><mi>V</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow/></munderover></mstyle><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfrac><mrow><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></mrow><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965023&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965016&type= 66.04000092 10.41399956 ， 式中： <math id="M26"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965032&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965027&type= 3.04800010 4.57200003 为V型电热驱动器的密度； <math id="M27"><mi>c</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965042&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965037&type= 1.52400005 2.79399991 为V型电热驱动器的比热容； V （ t ）为V型电热驱动器加载电压 V 关于时间 t 的函数。 由 式（4） 式（4） 可得该模型存在一个间断点 x = L ，即V型电热驱动器的中心，且间断点处的温度二阶可导，则有： <math display="block" id="M28"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo> </mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi>L</mi><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>κ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mi>w</mi><mi>h</mi><mo>=</mo><mi>κ</mi><mfrac><mrow><mo>∂</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><mi>x</mi></mrow></mfrac><mfenced open="|" close="" separators="|"><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>x</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced><mo> </mo><mi>w</mi><mi>h</mi><mo> </mo><mo> </mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965052&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965046&type= 70.18866730 14.73200035 ， 式中： <math id="M29"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965060&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965056&type= 2.79399991 2.79399991 为 <math id="M30"><mi>L</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965069&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965065&type= 2.45533323 2.79399991 和 <math id="M31"><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965081&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965074&type= 2.70933342 2.79399991 时， <math id="M32"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965092&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965086&type= 13.46199989 4.48733330 分别为V型电热驱动器左、右梁的温度 <math id="M33"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965095&type= 4.23333359 3.72533321 关于位置 x 和时间 t 的函数。 此外，由模型的边界条件和初始时刻得到： <math display="block" id="M34"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><mo> </mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>L</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965111&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965104&type= 47.15933609 9.99066734 ， <math display="block" id="M35"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi></mrow></mfenced><mo> </mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965119&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965115&type= 48.25999832 3.97933316 . 由式（6）~ 式（8） 式（8） 简化 式（4） 式（4） ，简化后采用切比雪夫谱变换和欧拉前向差分法分别对 式（4） 式（4） 的空间域和时间域进行离散处理，得到： <math display="block" id="M36"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mi>ρ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965129&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965124&type= 64.34667206 24.63800049 式中： <math id="M37"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965138&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965133&type= 4.31799984 3.80999994 和 <math id="M38"><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965146&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965143&type= 4.48733330 3.80999994 分别为驱动器左、右梁上选取的切比雪夫点的数量； <math id="M39"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965155&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965150&type= 3.72533321 3.72533321 为切比雪夫点处的绝对温度向量；Δ t 为求解时间步长； n 为时间步序号； <math id="M40"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965162&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965158&type= 5.58799982 3.80999994 为绝对温度关于位置 x 的二阶偏导数的切比雪夫求导矩阵； g （ n ）为材料参数更新函数，定义如下： <math display="block" id="M41"><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi>n</mi><mo>/</mo><mi>n</mi><mi>s</mi><mo stretchy="false">]</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965172&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965166&type= 25.06133461 3.97933316 ， 式中：［］为去尾取整函数； ns 为材料更新时间步。 由于V型电热驱动器的温度随时间变化，因此驱动器的部分材料参数也会变化。为了提高模型的求解精度，在求解过程中需要隔一段时间更新一次材料参数。 同理， 式（5） 式（5） 可改写为： <math display="block" id="M42"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>J</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msup><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>m</mi></mrow><mrow/></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi>γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo>⋅</mo></mrow></mrow></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965180&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965175&type= 59.52066422 23.96066666 由式（9）~ 式（11） 式（11） 可得： <math display="block" id="M43"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo> </mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965187&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965184&type= 66.80200195 5.75733376 ， 式中： <math display="block" id="M44"><mtable><mtr><mtd><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">[</mo><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>h</mi></mrow><mrow><mi>w</mi><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>v</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>h</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo> </mo><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>j</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>c</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>i</mi><mo>≠</mo><mi>j</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>f</mi><msub><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>t</mi><msup><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi>γ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>c</mi><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub><mi>κ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>n</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>;</mo><mi>m</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi><mo stretchy="false">}</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965194&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965191&type= 104.90200043 32.34266663 . 同理，在第 n +1个时间步，V型电热驱动器电-热模型间断点处满足 式（6） 式（6） 的离散形式为： <math display="block" id="M45"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mi>c</mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>c</mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965203&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965198&type= 52.83200073 5.41866684 ， 式中： <math display="block" id="M46"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><msub><mrow><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mo>-</mo></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">x</mi></mrow><mrow><mi>L</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo> </mo></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>c</mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mi>c</mi><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965211&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965206&type= 41.14799881 15.07066536 ， <math display="block" id="M47"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msubsup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>f</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mo> </mo></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo stretchy="false">(</mo><mi>m</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">{</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>R</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">}</mo><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965218&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965213&type= 52.32400131 11.59933376 综合式（11）~ 式（15） 式（15） ，得到V型电热驱动器电-热耦合模型求解的总体矩阵方程，如 图4 图4 所示。 2.2　热-力耦合子模型 2 V型电热驱动器受热膨胀会运动，但位移较小，因此可用受迫振动方程来描述V型电热驱动器中心区域的瞬态运动，则有： <math display="block" id="M48"><mover><mrow><mi>m</mi></mrow><mo>¯</mo></mover><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></mfrac><mo>+</mo><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mi>y</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mover><mrow><mi>F</mi></mrow><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965240&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965235&type= 54.52533722 8.46666718 ， 式中： <math id="M49"><mover accent="true"><mi>m</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965248&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965244&type= 2.79399991 2.79399991 为V型电热驱动器的等效质量； <math id="M50"><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>z</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965254&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965251&type= 2.53999996 3.72533321 为运动阻尼，但驱动器尺寸较小，不属于大平板运动，因此忽略运动阻尼的影响； <math id="M51"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965305&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965301&type= 3.80999994 3.72533321 为V型电热驱动器的等效刚度系数； <math id="M52"><mover accent="true"><mi>F</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965311&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965308&type= 2.53999996 3.30200005 为V型电热驱动器所受的等效外力； y （ t ）为V型电热驱动器位移 y 关于时间 t 的函数。 对于V型电热驱动器的等效刚度系数 <math id="M53"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965305&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965301&type= 3.80999994 3.72533321 ，由材料力学可得： <math display="block" id="M54"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>E</mi><mi>A</mi><mi>d</mi><mi>θ</mi><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">6</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><msup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965277&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965274&type= 57.65800095 4.65666676 ， 式中： A 为V型电热驱动器梁的横截面积； d 为V型电热驱动器中心到两梁根部连线的垂直距离； <math id="M55"><mi>E</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965283&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965280&type= 2.62466669 2.79399991 为V型电热驱动器梁的杨氏模量； <math id="M56"><mi>I</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965290&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965286&type= 1.26999998 2.79399991 为V型电热驱动器梁的惯性矩。当倾斜角 <math id="M57"><mi>θ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965297&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965294&type= 1.77800000 2.79399991 为0时，等效刚度系数 <math id="M58"><msub><mrow><mi>K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965305&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965301&type= 3.80999994 3.72533321 =6 EI / L 3 ，该结果与简支梁中心刚度的计算公式一致。而且在等效外力 <math id="M59"><mover accent="true"><mi>F</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965311&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965308&type= 2.53999996 3.30200005 作用下，V型电热驱动器的拉伸量与热膨胀产生的伸长量相等，可得： <math display="block" id="M60"><msub><mrow><mover accent="true"><mi>F</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>E</mi><mi>A</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mi>L</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965317&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965314&type= 35.22133255 4.65666676 ， 式中Δ l t 为V型电热驱动器的热膨胀总伸长量。 依据电-热耦合子模型中关于温度的分析，并结合热膨胀计算公式，可得V型电热驱动器左、右梁的热膨胀总伸长量为： <math display="block" id="M61"><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mo movablelimits="false">∑</mo><mrow><mi>m</mi></mrow></munder><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>N</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></munderover></mstyle><mrow><mi>α</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>T</mi></mrow></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>m</mi><mo>=</mo><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><mi>L</mi><mo>,</mo><mi>R</mi></mrow></mfenced><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965323&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965320&type= 68.15666962 22.09799957 式中： <math id="M62"><mi>α</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965339&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965337&type= 1.94733346 2.79399991 （ <math id="M63"><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965345&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965342&type= 2.53999996 2.79399991 ）为V型电热驱动器的热膨胀系数 <math id="M64"><mi>α</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965339&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965337&type= 1.94733346 2.79399991 关于温度 <math id="M65"><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965345&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965342&type= 2.53999996 2.79399991 的函数。 结合式（18）~ 式（20） 式（20） ，并对 式（16） 式（16） 进行差分离散可得： <math display="block" id="M66"><mover accent="true"><mi>m</mi><mo>¯</mo></mover><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><msup><mrow><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo>=</mo><msup><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mi>F</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965354&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965348&type= 61.72200012 8.38199997 ， 式中： <math display="block" id="M67"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>E</mi><mi>A</mi><mi>d</mi><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><msub><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">6</mn><mi>E</mi><mi>I</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><msup><mrow><mi>L</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>l</mi></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub><mi>E</mi><mi>A</mi><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>L</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msup><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>L</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>L</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><msub><mrow><mi>θ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965362&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965359&type= 71.79733276 21.84399986 . 由式（21）~ 式（22） 式（22） 可得V型电热驱动器的位移为： <math display="block" id="M68"><mi>y</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mi>F</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>t</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>m</mi><mo>¯</mo></mover><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mover accent="true"><mi>m</mi><mo>¯</mo></mover><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mover accent="true"><mi>m</mi><mo>¯</mo></mover><mo>+</mo><msup><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msup><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965367&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32965364&type= 54.44067001 10.07533360 . 3 仿 真 1 V型电热驱动器的结构参数如 表1 表1 所示，所使用的材料为高浓度P型掺杂单晶硅，单晶硅在室温下（273K）的热学和力学材料参数如 表2 表2 所示。 参数 L /µm w /µm θ /（°） h /µm g /µm 数值 1 500 37 1 100 100 参 数 符号 值 比热容/（J·m -1 ·K -1 ） c 787 密度/（kg·m -3 ） ρ d 2 300 导热系数/（W·m -1 ·K -1 ） κ 0 146 电阻率/（Ω·m） ρ 0 2×10 -4 热膨胀系数/ K -1 α 0 2.56×10 -6 杨氏模量/GPa E 1.1×10 11 泊松比 v 0.28 依据 表1 表1 所列参数建立V型电热驱动器的有限元仿真模型，如 图5 图5 所示。选择solid226作为网格划分单元，然后施加约束条件，设置参数，最后求解并查看结果。 在16 V电压的作用下，V型电热驱动器在理论和仿真下的温度分布如 图6 图6 所示。从图中可以看出：当时间为5 ms和10 ms时，V型电热驱动器的理论温度和仿真温度曲线基本重合； 当时间为50 ms时，驱动器中心区域的理论温度和仿真温度曲线基本重合，而驱动器其他区域的理论温度和仿真温度曲线差异较大，这是因为对理论模型的时域处理采用的是欧拉前向差分方法，这种方法在温度梯度较大的区域进行计算会导致结果偏大。 不同电压作用下，V型电热驱动器的理论和仿真瞬态位移曲线如 图7 图7 所示。从图中可以看出：一段时间后，V型电热驱动器在理论和仿真下的位移不再变化；8 V电压作用下，驱动器理论下位移与仿真值误差较大，这是因为欧拉前向差分法在温度较低时，刚度值较小，且电压越低，由于重力作用而产生的分位移越大，驱动器 y 方向的位移越小，因此8 V电压作用下，驱动器理论下位移与仿真值误差较大；16 V电压作用下，电热驱动器稳态阶段的理论位移小于仿真值，这是因为此时驱动器位移不再是小变形问题，理论模型中的受迫振动方程不再适用。 4 实 验 1 4.1　高速光学动态测量系统平台 2 利用基于高速摄影的MEMS结构动态测试技术来进行V型电热驱动器动态响应特性实验，所搭建的动态测量系统实验平台如 图8 图8 所示。该实验平台主要由电压激励源和光学测量系统两部分组成，其中，电压激励源提供激励电压，光学测量系统测量V型电热驱动器的瞬态位移。 4.2　恒定电压激励 2 在3种不同恒定电压作用下，V型电热驱动器位移的实验测量结果如 图9 图9 所示。由图可知：在恒定电压作用下，V型电热驱动器位移的输出速度和稳态幅值随着电压的增大而增大。 在12 V和16 V的电压作用下，V型电热驱动器瞬态位移的理论、仿真和实验曲线如 图10 图10 所示。从图中可以看出：在相同电压作用下，实验获得的位移响应速度比仿真和理论响应速度快。这是因为在理论和有限元仿真过程中难以建立热耗散系数与温度之间的关系，而将热耗散系数设置为恒定值。在初始阶段，由于理论和仿真所采用的热耗散系数大于实际值，温度升高较慢，因此理论和仿真位移增长速度较小；在稳态阶段，由于理论和仿真采用的热耗散系数与实际值相差不大，因此理论与仿真的稳态位移与实验结果接近。 4.3　周期方波电压激励 2 将频率为20 Hz、峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压1和频率为20 Hz、峰峰值为7 V、偏置为+7 V的周期方波电压2施加到V型电热驱动器上，对应的V型电热驱动器位移分别为位移1和位移2。所施加的电压-时间曲线与V型电热驱动器在第一个周期中的位移-时间曲线如 图11 图11 所示。从图中可以看出，V型电热驱动器位移的最小值和最大值分别对应电压相位的0 °和180 ° ，这表明在方波电压加载下，驱动器位移与电压相位不出现滞后现象；电热驱动器的位移呈三角波形变化，这是因为电热驱动器的位移到达稳态阶段所用时间大于方波电压的一个周期，导致在方波电压周期内的高电压作用阶段，电热驱动器的位移始终增加，而低电压作用阶段，位移始终减小。 将频率为50 Hz、峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压3和频率为50 Hz、峰峰值为7 V且偏置为+7 V的周期方波电压4施加到V型电热驱动器上，对应的V型电热驱动器位移分别为位移3和位移4。V型电热驱动器在第13，14个周期中的位移-时间曲线，与在前10个周期中电压相位为0°和180°时的位移-周期曲线如图 12 12 （a）和 12 12 （b）所示。从 图12 图12 （a）中可以看出：在周期方波电压作用一段时间后，V型电热驱动器做周期性运动，且运动周期与周期方波电压的周期相等。从 图12 图12 （b）中可以看出：在电压频率、峰峰值和偏置相同的条件下，180°相位所对应的位移到达稳态用时比0°相位少；在电压相位和频率相同的条件下，位移4的变化幅度比位移3的变化幅度小。 1;2; 将频率为100 Hz、峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压5和频率为100 Hz、峰峰值为7 V且偏置为+7 V的周期方波电压6施加到V型电热驱动器上，所对应的V型电热驱动器位移分别为位移5和位移6。V型电热驱动器在第26，27个周期中的位移-时间曲线，与在前20个周期中电压相位为0°和180°时的位移-周期曲线如图 12 12 （c）和 12 12 （d）所示。从图中可以看出：在周期方波电压作用一段时间后，V型电热驱动器做周期性运动；与图 12 12 （a）和 12 12 （b）相比，位移3和位移5的平均值近似相等，约为20 µm，位移4和位移6的平均值也近似相等，约为28 µm；位移3和位移4的变化幅度近似相等，约为15 µm，位移5和位移6的变化幅度近似相等，约为8 µm。 5 结 论 1 本文在建立V型电热驱动器的电-热-力耦合模型时，引入了材料参数更新函数，并利用改进型切比雪夫谱方法求解电-热模型中的偏微分方程，最终推导出V型电热驱动器的温度和瞬态位移表达式。将理论下V型电热驱动器的温度和瞬态位移结果与有限元仿真下温度和瞬态位移结果进行对比。最后，通过实验测量V型电热驱动器在恒定电压和周期方波电压作用下的位移响应。实验结果表明：周期方波电压作用下，V型电热驱动器在稳态阶段做周期性运动，且周期与方波电压的周期相等；在峰峰值为14 V且无偏置的周期方波电压作用下，V型电热驱动器的位移平均值约为20 µm，但在峰峰值为7 V且偏置为+7 V的周期方波电压作用下，位移平均值约为28 µm；在其他参数相同的条件下，频率为50 Hz和100 Hz时，位移变化幅度分别为15 µm和8 µm。由实验数据可知：V型电热驱动器的位移变化幅度与频率负相关，频率的变化不影响位移的平均值。 参考文献 胡意立 ， 胡影 ， 李建平 ， 等 . 具有“前进-前进”运动模式的惯性压电驱动器 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 6 ）： 1356 - 1364 . doi: 10.37188/ope.20212906.1356 http://dx.doi.org/10.37188/ope.20212906.1356 具有“前进-前进”运动模式的惯性压电驱动器 HU Y L ， HU Y ， LI J P ， et al . Piezoelectric inertial actuator with “forward-forward” motion mode ［J］. Optics and Precision Engineering ， 2021 ， 29 （ 6 ）： 1356 - 1364 . （in Chinese） . doi: 10.37188/ope.20212906.1356 http://dx.doi.org/10.37188/ope.20212906.1356 Piezoelectric inertial actuator with “forward-forward” motion mode 尤清扬 . 气/液环境中光热微驱动机构的静态与动态驱动技术研究 ［D］. 杭州 ： 浙江大学 ， 2021 . 气/液环境中光热微驱动机构的静态与动态驱动技术研究 YOU Q Y . Static/dynamic Actuation Technique of Optothermal Microactuators Operated in Air and Liquid ［D］. Hangzhou ： Zhejiang University ， 2021 . （in Chinese） Static/dynamic Actuation Technique of Optothermal Microactuators Operated in Air and Liquid 沈林坤 . 基于光波导结构的微驱动器设计研究 ［D］. 南京 ： 南京邮电大学 ， 2020 . 基于光波导结构的微驱动器设计研究 SHEN L K . Study of Micro-actuators Design based on Optical Waveguide Structure ［D］. Nanjing ： Nanjing University of Posts and Telecommunications ， 2020 . （in Chinese） Study of Micro-actuators Design based on Optical Waveguide Structure 刘加凯 . 静电驱动MOEMS保险机构的设计与试验 ［J］. 光学 精密工程 ， 2019 ， 27 （ 2 ）： 334 - 340 . doi: 10.3788/ope.20192702.0334 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192702.0334 静电驱动MOEMS保险机构的设计与试验 LIU J K . Design and test of electrostatic driving MOEMS arming device ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2019 ， 27 （ 2 ）： 334 - 340 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20192702.0334 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20192702.0334 Design and test of electrostatic driving MOEMS arming device TAKANAMI S ， KITAGAWA W ， TAKESHITA T . Design for improvement of torque-thrust charac⁃teristic in simultaneous drive in two-degree-of-freedom electromagnetic actuator ［C］. 19th International Conference on Electrical Machines and Systems ， Chiba， Japan. ICEMS ， 2017 ： 1 - 6 . Design for improvement of torque-thrust charac⁃teristic in simultaneous drive in two-degree-of-freedom electromagnetic actuator 李致富 ， 黄楠 ， 钟云 ， 等 . 压电驱动器迟滞非线性的分数阶建模及实验验证 ［J］. 光学 精密工程 ， 2020 ， 28 （ 5 ）： 1124 - 1131 . 压电驱动器迟滞非线性的分数阶建模及实验验证 LI ZH F ， HUANG N ， ZHONG Y ， et al . Fractional order modeling and experimental verification of hysteresis nonlinearities in piezoelectric actuators ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2020 ， 28 （ 5 ）： 1124 - 1131 . （in Chinese） Fractional order modeling and experimental verification of hysteresis nonlinearities in piezoelectric actuators 陈浩 ， 曹云 ， 王新杰 ， 等 . 工艺误差影响下微电热驱动器失效分析 ［J］. 光学 精密工程 ， 2021 ， 29 （ 6 ）： 1365 - 1374 . doi: 10.37188/OPE.20212906.1365 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212906.1365 工艺误差影响下微电热驱动器失效分析 CHEN H ， CAO Y ， WANG X J ， et al . Failure analysis of electro-thermal micro-actuator under effect of process error ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2021 ， 29 （ 6 ）： 1365 - 1374 . （in Chinese） . doi: 10.37188/OPE.20212906.1365 http://dx.doi.org/10.37188/OPE.20212906.1365 Failure analysis of electro-thermal micro-actuator under effect of process error PUSTAN M ， CHIOREAN R ， BIRLEANU C ， et al . Reliability design of thermally actuated MEMS switches based on V-shape beams ［J］. Microsystem Technologies ， 2017 ， 23 （ 9 ）： 3863 - 3871 . doi: 10.1007/s00542-015-2789-8 http://dx.doi.org/10.1007/s00542-015-2789-8 Reliability design of thermally actuated MEMS switches based on V-shape beams 张绪平 ， 张卓 . V型和Z型电热微驱动器性能比较与分析（邀请论文） ［J］. 北京工业大学学报 ， 2015 ， 41 （ 11 ）： 1636 - 1643 . doi: 10.1109/icma.2015.7237626 http://dx.doi.org/10.1109/icma.2015.7237626 V型和Z型电热微驱动器性能比较与分析（邀请论文） ZHANG X P ， ZHANG ZH . Performance comparison and analysis of V-and Z-shaped electrothermal actuators（invited paper） ［J］. Journal of Beijing University of Technology ， 2015 ， 41 （ 11 ）： 1636 - 1643 . （in Chinese） . doi: 10.1109/icma.2015.7237626 http://dx.doi.org/10.1109/icma.2015.7237626 Performance comparison and analysis of V-and Z-shaped electrothermal actuators（invited paper） ZHANG Z ， ZHANG W Z ， WU Q Y ， et al . A comprehensive analytical model and experimental validation of Z-shaped electrothermal microactuators ［C］. Recent Advances in Mechanism Design for Robotics ， 2015 ： 177 - 187 . doi: 10.1007/978-3-319-18126-4_17 http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-18126-4_17 A comprehensive analytical model and experimental validation of Z-shaped electrothermal microactuators HOANG K T ， NGUYEN D T ， PHAM P H . Impact of design parameters on working stability of the electrothermal V-shaped actuator ［J］. Microsystem Technologies ， 2020 ， 26 （ 5 ）： 1479 - 1487 . doi: 10.1007/s00542-019-04682-y http://dx.doi.org/10.1007/s00542-019-04682-y Impact of design parameters on working stability of the electrothermal V-shaped actuator SHAN T Q ， QI X L ， CUI L ， et al . Thermal behavior modeling and characteristics analysis of electrothermal microactuators ［J］. Microsystem Technologies ， 2017 ， 23 （ 7 ）： 2629 - 2640 . doi: 10.1007/s00542-016-3070-5 http://dx.doi.org/10.1007/s00542-016-3070-5 Thermal behavior modeling and characteristics analysis of electrothermal microactuators VAMEGH ESTAHBANATI S ， DHAOUADI R ， BAKRI-KASSEM M . Macromodeling of thermally driven V-shaped MEMS actuators ［J］. Mechatronics ， 2017 ， 46 ： 193 - 204 . doi: 10.1016/j.mechatronics.2017.03.006 http://dx.doi.org/10.1016/j.mechatronics.2017.03.006 Macromodeling of thermally driven V-shaped MEMS actuators ZHANG Z ， YU Y Q ， LIU X Y ， et al . Dynamic modelling and analysis of V- and Z-shaped electrothermal microactuators ［J］. Microsystem Technologies ， 2017 ， 23 （ 8 ）： 3775 - 3789 . doi: 10.1007/s00542-016-3180-0 http://dx.doi.org/10.1007/s00542-016-3180-0 Dynamic modelling and analysis of V- and Z-shaped electrothermal microactuators ZHANG Z ， YU Y Q ， LIU X Y ， et al . A comparison model of V- and Z-shaped electrothermal microactuators ［C］. 2015 IEEE International Conference on Mechatronics and Automation （ICMA）. August 2 - 5 ， 2015 . Beijing， China. IEEE ， 2015 ： 1025 - 1030 . doi: 10.1109/icma.2015.7237626 http://dx.doi.org/10.1109/icma.2015.7237626 A comparison model of V- and Z-shaped electrothermal microactuators NGUYEN D T ， HOANG K T ， PHAM P H . Larger displacement of silicon electrothermal V-shaped actuator using surface sputtering process ［J］. Microsystem Technologies ， 2021 ， 27 （ 5 ）： 1985 - 1991 . doi: 10.1007/s00542-020-04985-5 http://dx.doi.org/10.1007/s00542-020-04985-5 Larger displacement of silicon electrothermal V-shaped actuator using surface sputtering process ZHANG Z ， YU Y Q ， ZHANG X P . Vibration analysis of V-shaped beam electrothermal microactuators ［C］. Proceedings of ASME 2017 International Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference ， 69，2017 ， Cleveland， Ohio， USA . 2017 . doi: 10.1109/crc.2017.16 http://dx.doi.org/10.1109/crc.2017.16 Vibration analysis of V-shaped beam electrothermal microactuators ZHANG Z ， ZHANG W Z ， WU Q Y ， et al . Closed-form modelling and design analysis of V- and Z-shaped electrothermal microactuators ［J］. Journal of Micromechanics and Microengineering ， 2017 ， 27 （ 1 ）： 015023 . doi: 10.1088/1361-6439/27/1/015023 http://dx.doi.org/10.1088/1361-6439/27/1/015023 Closed-form modelling and design analysis of V- and Z-shaped electrothermal microactuators 陈浩 ， 王新杰 ， 王炅 ， 等 . V型电热驱动器理论模型及动态特性 ［J］. 上海交通大学学报 ， 2021 ， 55 （ 10 ）： 1263 - 1271 . V型电热驱动器理论模型及动态特性 CHEN H ， WANG X J ， WANG J ， et al . Theoretical model and dynamic performance of V-shaped electrothermal actuator ［J］. Journal of Shanghai Jiao Tong University ， 2021 ， 55 （ 10 ）： 1263 - 1271 . （in Chinese） Theoretical model and dynamic performance of V-shaped electrothermal actuator VOICU R C ， TIBEICA C ， MULLER R ， et al . Design， simulation and testing of polymeric microgrippers with V-shaped electrothermal actuators and encapsulated heaters ［C］. 2016 International Semiconductor Conference （CAS）. October 10 - 12 ， 2016 . Sinaia， Romania. IEEE ， 2016 ： 89 - 92 . doi: 10.1109/smicnd.2016.7783048 http://dx.doi.org/10.1109/smicnd.2016.7783048 Design， simulation and testing of polymeric microgrippers with V-shaped electrothermal actuators and encapsulated heaters 10.37188/OPE.20223013.1572 TH122 A 1004-924X（2022）13-1572-10 李峰,王新杰,陈浩.V型电热驱动器的理论建模及位移响应特性[J].光学精密工程,2022,30(13):1572-1581. 李峰,王新杰,陈浩.V型电热驱动器的理论建模及位移响应特性[J].光学精密工程,2022,30(13):1572-1581. LI Feng,WANG Xinjie,CHEN Hao.Theoretical modeling and displacement response characteristics of V-shaped electrothermal actuator[J].Optics and Precision Engineering,2022,30(13):1572-1581. LI Feng,WANG Xinjie,CHEN Hao.Theoretical modeling and displacement response characteristics of V-shaped electrothermal actuator[J].Optics and Precision Engineering,2022,30(13):1572-1581. 国家自然科学基金资助项目（No.52075263） 2022-02-26 2022-03-25 2022-07-10 2022-08-07 光学精密工程 13 30