光谱差分策略在扩散近似模型和简化球谐近似模型中的应用

光谱差分策略在扩散近似模型和简化球谐近似模型中的应用 Application of spectral differential strategy in diffusion approximation model and simplified spherical harmonic approximation model 1 2 first-author 刘艳秋（1992-），女，山西忻州人，博士研究生，2017年于西北大学获得硕士学位，主要从事光学分子影像、医学图像处理的研究。E-mail： 18292866952@163.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990907&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990911&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990909&type= 22.01332855 32.00399780 刘艳秋 （1992-），女，山西忻州人，博士研究生，2017年于西北大学获得硕士学位，主要从事光学分子影像、医学图像处理的研究。E-mail： 18292866952@163.com 18292866952@163.com 2 3 1 2 1 2 1 2 3 corresp E-mail： hexw@nwu.edu.cn E-mail： hexw@nwu.edu.cn 贺小伟（1977-），男，陕西米脂人，教授，博士生导师，2005年于西安交通大学获得硕士学位，2011年于西安电子科技大学获得博士学位，主要从事光学分子影像、医学图像处理及可视化、颅面形态学等方面的研究。E-mail： hexw@nwu.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990913&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990917&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990915&type= 22.01332855 32.00400925 贺小伟 （1977-），男，陕西米脂人，教授，博士生导师，2005年于西安交通大学获得硕士学位，2011年于西安电子科技大学获得博士学位，主要从事光学分子影像、医学图像处理及可视化、颅面形态学等方面的研究。E-mail： hexw@nwu.edu.cn hexw@nwu.edu.cn 西北大学 信息科学与技术学院，陕西 西安 710127 西北大学 信息科学与技术学院，陕西 西安 710127 School of Information Sciences and Technology， Northwest University， Xi’an 710127， China School of Information Sciences and Technology， Northwest University， Xi’an 710127， China 西北大学 西安市影像组学与智能感知重点实验室，陕西 西安 710127 西北大学 西安市影像组学与智能感知重点实验室，陕西 西安 710127 The Xi’an Key Laboratory of Radiomics and Intelligent Perception， Northwest University， Xi'an 710127， China The Xi’an Key Laboratory of Radiomics and Intelligent Perception， Northwest University， Xi'an 710127， China 西北大学 网络和数据中心，陕西 西安 710127 西北大学 网络和数据中心，陕西 西安 710127 Network and Data Center， Northwest University， Xi’an 710127， China Network and Data Center， Northwest University， Xi’an 710127， China 生物发光断层成像（Bioluminescence Tomography， BLT）是一种很有前途的在体分子成像工具，可以在细胞和分子水平上对生理和病理过程进行无创监测。BLT的重建精度受光传输模型误差和逆问题病态性影响，针对此问题，受高阶光传输模型可提高模型精度、多光谱方法可降低逆问题病态性的启发，本文将光谱差分理论和多光谱方法结合构建的光谱差分策略分别应用到基于扩散近似方程（Diffusion approximation Equation， DE）和三阶简化球谐近似方程（3rd Simplified spherical harmonic approximation equation， SP 3 ）建立的光传输模型。首先，对这两种辐射传输方程（Radiative Transfer Equation， RTE）近似产生的误差进行分析，对比了光谱差分策略对两种光传输模型误差的衰减作用。前向仿真实验结果表明光谱差分策略能有效地减少DE和SP 3 的模型误差，对DE模型采用光谱差分，能够获得接近SP 3 模型的传输精度，并且降低高阶近似对运算时间和存储空间的高要求。在此基础上，将光谱差分策略分别应用到DE和SP 3 光传输模型进行光源重建。实验结果表明光谱差分策略在提高两种光传输模型精度的同时，缓解了BLT中逆问题的病态性，使光源重建的位置误差小于1 mm，在目标定位、形状恢复和图像对比度等方面取得了更准确的效果。相比于SP 3 模型平均耗时约1 525 s，DE模型结合光谱差分策略平均耗时仅为34 s左右，较好地兼顾了重建精度和重建速率。 Bioluminescence tomography （BLT） is a promising in vivo molecular imaging tool that allows non-invasive monitoring of physiological and pathological processes at the cellular and molecular levels. The reconstruction accuracy of BLT is affected by the optical transmission model error and the ill-posedness of the inverse problem. The higher-order optical transmission model was able to improve the precision， while the multi-spectral method was able to alleviate the ill-posedness of the inverse problem. In this study， the spectral differential strategy， combining the spectral differential theory and multi-spectral method， was applied on the optical transmission model based on the diffusion approximation equation （DE） and third simplified spherical harmonic approximation equation （SP 3 ）. First， errors in these two radiative transfer equations （RTE） approximations were analyzed， and the attenuation effect on the error was compared when the spectral differential strategy was applied on two types of optical transmission models. The forward simulation experiment results showed that the spectral differential strategy can effectively reduce the model error of the DE and SP 3 models. The spectral differential strategy resulted in the transmission accuracy of the DE model resembling that of the SP 3 model， and decreased the high requirements on computing time and storage space of high-order approximation. On this basis， the spectral differential strategy was applied on the DE and SP 3 optical transmission models for light source reconstruction. The experimental results showed that the spectral differential strategy not only improves the accuracy of the two light transmission models， but also alleviates the ill-condition of the inverse problem in BLT， yields a location error of reconstructed source within 1 mm， and improves the accuracy of the light source reconstruction in target location， shape restoration， and image contrast. The average time required by the SP 3 model was approximately 1 525 s. In contrast， the DE model combined with spectral differential strategy had an average time consumption of only approximately 34 s， resulting in balanced reconstruction accuracy and speed. 生物发光断层成像 光谱差分 光传输模型 光源重建 bioluminescence tomography spectral differential optical transmission model source reconstruction 1 引 言 1 生物发光成像（Bioluminescence Imaging， BLI）是一种非侵入性、非电离的分子成像技术，能够在活体中显示荧光素标记的肿瘤细胞。由于肿瘤细胞具有较高的敏感性和特异性，BLI在小动物的预临床研究中发挥着越来越重要的作用 ［ 1 1 - 3 3 1-3 ］ 。与BLI相比，生物发光断层成像（Bioluminescence Tomography， BLT）是采用生物发光源三维重建，能更准确地定位和量化肿瘤信息 ［ 4 4 ］ ，已广泛应用于预临床研究。然而在实际生物应用中，由于光子在生物组织中的复杂传播和探测到的表面光子的限制，BLT的病态性限制了其光源重建精度 ［ 5 5 - 6 6 5-6 ］ 。 在生物发光成像中，光从生物体内部光源发出，通过复杂生物组织结构到达生物体表面。描述光在生物体内的传输过程的一个标准模型为辐射传输方程（Radiative Transfer Equation， RTE） ［ 7 7 ］ 。然而，在实际的生物发光成像中，RTE的计算成本很高 ［ 8 8 ］ 。最典型的方法是使用RTE的扩散近似方程（Diffusion approximation Equation， DE）作为前向模型。DE基本上是RTE的一阶球谐波近似的特例，是描述光在组织中传播速度最快的模型，但其精度有限，特别是在低散射区域、高吸收区域和边界处 ［ 9 9 ］ 。为了克服DE模型的局限性，需要对RTE进行高阶近似。相比于其它的高阶近似模型（如S N 、P N 模型），简化球谐近似（Simplified spherical harmonic approximation， SP N ）的计算负载更低，三阶简化球谐近似（3rd Simplified spherical harmonic approximation equation， SP 3 ）已被广泛应用于生物发光成像 ［ 10 10 - 12 12 10-12 ］ 。但由于SP 3 也是对RTE的近似，模型误差仍然存在，而且高阶近似需要求解的未知量是DE的几倍，带来了更高的计算负载。混合SP 3 和DE光传输模型（Hybrid Simplified spherical harmonics with Diffusion Equation， HSDE）的提出，一定程度上平衡了光传输精度和速度 ［ 13 13 - 14 14 13-14 ］ ，然而简化模型对于RTE的近似误差仍然存在，SP 3 模型导致的计算负载也不能完全得到缓解。 另外，由于将成像物体表面检测到的二维发光能量转化为物体内重建的三维生物发光源的BLT逆问题是一个数学不适定问题 ［ 4 4 ］ 。因此，需要融合足够的先验知识来保证解的唯一性和稳定性。可行域策略和多光谱方法分别通过减少未知变量和增加已知数据量减少光源重建的病态性，是BLT重建中常用的两种策略 ［ 15 15 ］ 。此外，基于压缩感知（Compressed Sensing， CS）理论的各种稀疏算法，如采用稀疏正则化项 ［ 16 16 - 17 17 16-17 ］ （如L 0 和L 1 ），使用贪婪策略 ［ 18 18 ］ 或采用稀疏贝叶斯方法 ［ 5 5 ， 19 19 ］ 等算法，用来减少噪声对重建结果的影响，使光学分子断层成像的重建精度不断提高。 在我们之前的研究中，分析了RTE的扩散近似产生的光传输误差、数据采集过程中成像系统存在的噪声以及逆问题固有的病态性对BLT光源重建精度的影响，提出了光谱差分策略，减弱DE光传输模型和成像系统的系统误差，并缓解重建问题的病态性 ［ 20 20 ］ 。在此基础上，本文将光谱差分策略分别应用到DE和SP 3 光传输模型，首先对这两种RTE近似产生的误差进行分析，对比光谱差分策略对两种光传输误差的衰减作用，进而将光谱差分策略分别应用到DE和SP 3 光传输模型进行光源重建，旨在有效提高光源重建的准确性和效率。 2 理论方法 1 2.1　光传输过程及误差分析 2 稳态的RTE为： <math display="block" id="M1"><mtable><mtr><mtd><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo>⋅</mo><mo>∇</mo><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><munder><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></munder><mrow><mi>Θ</mi></mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo>⋅</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi>Ω</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo>-</mo><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990921&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990919&type= 59.85933304 14.30866718 其中： <math id="M2"><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990925&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990923&type= 10.66800022 3.97933316 是辐射度； <math id="M3"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990930&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990928&type= 19.89666748 4.82600021 是传输系数； <math id="M4"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990936&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990933&type= 3.55599999 4.82600021 和 <math id="M5"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990943&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990941&type= 3.38666677 4.82600021 分别是生物组织的吸收系数和散射系数； <math id="M6"><mi mathvariant="bold-italic">Θ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo>·</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990947&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990945&type= 11.00666618 3.80999994 为散射相位函数，描述单次散射时光子从初始方向 <math id="M7"><msup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990952&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990949&type= 1.86266661 3.13266683 被散射到终止方向 <math id="M8"><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990956&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990954&type= 1.43933344 2.87866688 的概率； <math id="M9"><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990960&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990958&type= 10.32933331 3.97933316 为光源的空间分布。 （1）DE光传输模型误差 稳态扩散方程表示为： <math display="block" id="M10"><mo>-</mo><mo>∇</mo><mo>⋅</mo><mo stretchy="false">[</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>∇</mo><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990964&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990962&type= 61.29866791 4.82600021 ， 其中： <math id="M11"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990968&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990966&type= 25.39999962 9.05933285 为扩散系数； <math id="M12"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">)</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990972&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990970&type= 23.70666695 5.07999992 为约化散射系数， g 为各向异性参数； <math id="M13"><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><munder><mo>∫</mo><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>π</mi></mrow></munder><mrow><mi>ϕ</mi></mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo>,</mo><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">s</mi><mo>̂</mo></mover><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>Ω</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990977&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990975&type= 32.42733002 8.55133343 为光子密度。 通过有限元近似表示为： <math display="block" id="M14"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990981&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990979&type= 20.15066719 3.97933316 . <math id="M15"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990985&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990983&type= 7.95866632 3.72533321 为DE近似构造的系统矩阵， S 为光源能量密度， Φ m 为表面节点上的光通量。 DE是RTE的一阶球谐展开近似，在我们之前的研究中，分析了该近似过程对给定波长 λ 对应的系统矩阵 <math id="M16"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990988&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990986&type= 9.39799976 3.72533321 产生的误差 ［ 20 20 ］ ，现将其简单表示为： <math display="block" id="M17"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi>λ</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990992&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990990&type= 20.23533440 4.65666676 ， 其中：受波长 λ 影响的量用 <math id="M18"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990997&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990994&type= 3.97933316 3.72533321 表示，其它与波长无关的量用 Y 表示。 对于两个波长 λ j 和 λ k 对应的误差做差： <math display="block" id="M19"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991001&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34990999&type= 34.88266373 5.07999992 . 而且有： <math display="block" id="M20"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991005&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991003&type= 10.15999985 4.65666676 << <math display="block" id="M21"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991008&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991006&type= 8.80533314 4.23333359 或 <math display="block" id="M22"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991012&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991011&type= 9.56733322 5.33400011 . （2）SP 3 光传输模型误差 高阶简化球谐近似方程可以表示为： <math display="block" id="M23"><mtable><mtr><mtd><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>∇</mo><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>,</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>∇</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msub><mrow><mi 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mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>,</mo><mi>n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mi>g</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991021&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991018&type= 34.96733475 5.07999992 ， g 为各向异性参数， n 为阶数； <math id="M25"><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991025&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991023&type= 2.45533323 3.64066648 为勒让德多项式。 N =3时，SP 3 模型的方程为： <math display="block" id="M26"><mtable><mtr><mtd><mo>-</mo><mo>∇</mo><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>∇</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">φ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">φ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi 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mathvariant="normal">9</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">φ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">32</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">105</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></mfrac><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">φ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991029&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991027&type= 136.99067688 19.98133469 <math id="M27"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">φ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991032&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991031&type= 3.21733332 4.57200003 是辐射度的勒让德矩 <math id="M28"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">ϕ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991036&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991033&type= 3.21733332 4.57200003 的线性组合。 通过有限元近似表示为： <math display="block" id="M29"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991040&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991038&type= 20.48933220 4.74133301 ， 其中， <math id="M30"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991045&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991043&type= 8.29733276 4.48733330 为SP 3 近似构造的系统矩阵，类似于DE近似。SP 3 近似对给定波长 λ 对应的系统矩阵 <math id="M31"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991048&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991047&type= 9.73666668 4.48733330 产生的误差可以表示为： <math display="block" id="M32"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi>λ</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991053&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991051&type= 20.57399940 4.99533367 ， 其中：受波长 λ 影响的量用 <math id="M33"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991057&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991055&type= 3.97933316 3.72533321 表示，其它与波长无关的量用 Y 表示。 对于两个波长 λ j 和 λ k 之间的差值： <math display="block" id="M34"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">X</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991062&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991059&type= 35.22133255 5.24933338 . 同样 <math display="block" id="M35"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991066&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991064&type= 10.49866676 4.99533367 << <math display="block" id="M36"><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991070&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991068&type= 9.14400005 4.23333359 或 <math display="block" id="M37"><msub><mrow><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991074&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991072&type= 9.90600014 5.33400011 . 表明对于DE和SP 3 光传输模型，由于波长接近的光在通过相同光学路径时遇到相近的系统响应，对相近波长的测量数据做差可以一定程度上消除光传输模型产生的误差。 2.2　光谱差分策略在光源重建中的应用 2 由于成像问题的非唯一性以及光源重建的病态性，已证实多光谱方法可以缓解其病态性 ［ 21 21 ， 22 22 ］ 。假设测量数据包含3组波长，对于DE和SP 3 光传输模型，将各自系统矩阵组合： <math display="block" id="M38"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>•</mo><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991077&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991076&type= 24.72266769 15.91733265 ， <math display="block" id="M39"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">m</mi><mi mathvariant="bold">u</mi><mi mathvariant="bold">l</mi><mi mathvariant="bold">t</mi><mi mathvariant="bold">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991083&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991079&type= 22.26733208 3.97933316 ， 其中： <math id="M40"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991087&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991085&type= 4.57200003 3.64066648 是给定波长 λ i 对应的系统矩阵， <math id="M41"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991091&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991089&type= 4.82600021 3.80999994 是相同波长的表面光能量， <math id="M42"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991096&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991093&type= 7.36600018 3.72533321 和 <math id="M43"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">m</mi><mi mathvariant="bold">u</mi><mi mathvariant="bold">l</mi><mi mathvariant="bold">t</mi><mi mathvariant="bold">i</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991101&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991099&type= 7.45066643 3.97933316 是组合的系统矩阵和表面光能量。 在多光谱方法的基础上，光谱差分策略利用每个测量波长之间的数据差，将 式（13） 式（13） 和（14）变换为： <math display="block" id="M44"><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>•</mo><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991104&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991103&type= 43.94200134 15.91733265 ， <math display="block" id="M45"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">d</mi><mi mathvariant="bold">i</mi><mi mathvariant="bold">f</mi><mi mathvariant="bold">f</mi><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991109&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991106&type= 20.99733353 3.97933316 ， 其中， <math id="M46"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991112&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991111&type= 6.68866634 3.72533321 和 <math id="M47"><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">d</mi><mi mathvariant="bold">i</mi><mi mathvariant="bold">f</mi><mi mathvariant="bold">f</mi><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991117&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991115&type= 6.85799980 3.97933316 分别为差分的系统矩阵和差分的表面光能量。 由于光源在生物体中通常是稀疏分布的，且表面测量数据严重不足，基于压缩感知理论，采用L p 正则化方法将 式（16） 式（16） 的重建模型转化为以下最小化问题： <math display="block" id="M48"><munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>S</mi></mrow></munder><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac><mfenced open="‖" close="" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">S</mi><mo>-</mo></mrow></mfenced><msubsup><mrow><mfenced open="" close="‖" separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold">d</mi><mi mathvariant="bold">i</mi><mi mathvariant="bold">f</mi><mi mathvariant="bold">f</mi><mi mathvariant="bold">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>τ</mi><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">S</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">0</mn><mo><</mo><mi>P</mi><mo><</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991124&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991120&type= 68.07199860 7.87400007 ， 其中： <math id="M49"><msubsup><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">S</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>=</mo><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msup></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>/</mo><mi>p</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991129&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991126&type= 30.31066895 8.55133343 代表L p 拟范数， <math id="M50"><mi>τ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991136&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991132&type= 1.69333339 2.79399991 > 0为正则化参数。由于L p 范数正则化是一种非凸非光滑优化，故采用非凸稀疏正则化算法（non-Convex Sparse Regularization Algorithm， nCSRA） ［ 23 23 ］ 将其转换为加权L1范数正则化，进而采用迭代收缩阈值算法（Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm， ISTA） ［ 24 24 ］ 来求解。 3 实验与结果分析 1 3.1　实验设置 2 采用数值仿真实验验证光谱差分对于DE和SP 3 光传输模型误差的缓解作用，以及光谱差分策略在BLT光源重建中的性能。前向仿真实验和光源重建实验均采用常用的数字鼠模型，只研究数字鼠的躯干部分，高度为35 mm，包括肌肉、心脏、胃、肝脏、肾脏和肺六个主要组织，如 图1 图1 （a）所示。在肝脏中设置一个半径为1 mm的球形光源，其中心点坐标为（18 mm， 8 mm， 14.8 mm），位置如 图1 图1 （b）。在前向仿真实验中，三维数字鼠躯干离散网格如 图1 图1 （c）所示，包含20 263个节点。光源重建实验网格如 图1 图1 （d）所示，包含10 139个节点。本文选用BLT中常用波段范围的三个波长630 nm、650 nm和670 nm进行实验，由文献［ 25 25 ］中总结的公式，计算得到各生物组织在各个波长下对应的光学参数如 表1 表1 所示。 2 Tissue 2 630 nm 2 650 nm 2 670 nm µ a /mm -1 µ s /mm -1 µ a /mm -1 µ s /mm -1 µ a /mm -1 µ s /mm -1 Muscle 0.160 5 5.104 1 0.116 4 4.673 5 0.087 0 4.290 7 Heart 0.108 5 7.017 1 0.078 6 6.710 4 0.058 8 6.425 8 Stomach 0.020 7 19.066 7 0.015 0 18.497 3 0.011 4 17.961 5 Liver 0.650 5 7.233 4 0.470 8 6.999 9 0.381 5 6.780 7 Kidneys 0.121 6 17.660 5 0.088 1 16.846 5 0.066 0 16.092 9 Lungs 0.362 2 37.433 0 0.263 0 36.818 1 0.196 4 36.231 4 在前向仿真实验中，以蒙特卡罗方法（Monte Carlo extreme， MC） ［ 26 26 ］ 获得的表面光能量作为对比标准。以平均误差（Average error）和余弦相似度（Cosine similarity）作为定量评价指标，分析DE和SP 3 引起的光传输模型误差。 测量的表面光能量差值的计算方法如下： <math display="block" id="M51"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">y</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">M</mi><mi 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stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">Φ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">E</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow/><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">p</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">l</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991161&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991158&type= 140.20799255 12.27666664 . 计算630 nm、650 nm和670 nm波长下，分别通过MC和DE（SP 3 ）获得的表面光能量的差异，以及MC和DE（SP 3 ）获得的不同波长的表面光能量任意两组波长组合，差分之后的能量误差。进而采用平均误差定量评价上述能量误差： <math display="block" id="M52"><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">v</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">y</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mi>N</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991166&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991163&type= 40.13199997 12.86933327 ， 其中： <math id="M53"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">y</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991172&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991169&type= 17.52599907 3.72533321 代表第 i 个表面节点对应的能量误差， N 为表面节点总数目。 同时采用余弦相似度评估表面光能量的差异以及差分数据的差异： <math display="block" id="M54"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>C</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">y</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>θ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi><mo>⋅</mo><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">A</mi></mrow></mfenced><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mroot><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow/></mroot><mo>×</mo><mroot><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991178&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991175&type= 53.84799957 30.73399925 其中： A i 、 B i 分别表示被比较的向量 A 、 B 的分量。其值越接近1，表明两个向量越接近。 在光源重建实验中，采用常用的定量分析指标：定位误差（Location Error， I LE ）、Dice系数（ I Dice ）和对比噪声比（Contrast-to-Noise Ratio， I CNR ），定量分析各方法的目标定位、形状恢复和图像对比度性能。这些指标的计算方法如下： <math display="block" id="M55"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>z</mi><mo>-</mo><msub><mrow><mi>z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991184&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991181&type= 63.66933060 5.24933338 ， 其中： I LE 表示重建光源与真实光源之间的位置偏差，（ x ， y ， z ）和（ x 0 ， y 0 ， z 0 ）分别为重建能量加权中心点的坐标和真实光源中心的坐标。 <math display="block" id="M56"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>X</mi><mo>⋂</mo><mi>Y</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>X</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><mi>Y</mi></mrow></mfenced></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991190&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991187&type= 25.73866653 9.48266602 ， Dice系数用来评价形状恢复，其中， X 、 Y 分别为重建光源区域和实际光源区域。 <math display="block" id="M57"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">R</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfenced open="|" close="|" separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">O</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">O</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><msub><mrow><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">R</mi><mi mathvariant="normal">O</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow></msub><msub><mrow><msup><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">B</mi><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">K</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>/</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991196&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991193&type= 50.63066483 9.82133293 ， 对比噪声比用来评价图像对比度，其中：下标ROI和BCK分别表示被成像物体的目标区域和背景区域， <math id="M58"><mi>μ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991201&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991198&type= 2.11666679 3.64066648 、 <math id="M59"><mi>ω</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991208&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991204&type= 2.53999996 2.79399991 、 <math id="M60"><mi>σ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991215&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=34991211&type= 1.86266661 2.79399991 分别表示平均强度值、加权因子和方差。 3.2　前向仿真实验结果 2 为了分析比较DE和SP 3 模型在光传输过程中产生的误差，进行了前向仿真实验，进而验证光谱差分对于光传输误差消除的有效性。 首先，采用MC方法获得数字鼠模型对应630 nm、650 nm和670 nm波长的表面光能量，为了便于展示光能量的细节，将其投影到 X - Z 平面，如 图2 图2 （a）所示。相应的，分别采用DE和SP 3 模型获得数字鼠模型在各波长的表面光能量，分别如 图2 图2 （b）、（c）所示。对于各个光传输模型获得的表面光能量，都表现为波长越长，对应的表面光能量越强。这是因为在较长波长下，组织散射效应减弱，光穿透能力增强。对比 图2 图2 （a）、（b）和（c），直观上，DE模型在630 nm获得的表面光能量和MC与SP 3 差异较明显，而在650 nm和670 nm对应的表面光能量较为接近。 为了定量分析DE和SP 3 模型的光传输误差，采用 公式（18） 公式（18） 计算各特定光谱MC和DE（SP 3 ）获得的表面光能量的误差，再利用 公式（19） 公式（19） 计算平均误差。进而应用光谱差分，任意两组波长组合，利用 式（18） 式（18） 计算各组测量波长之间的能量差异，获得对应的差分后的能量误差，再利用 式（19） 式（19） 计算出平均误差。DE和SP 3 模型以及光谱差分后DE和SP 3 对应的平均误差值如 图3 图3 所示，对于DE模型，630 nm对应的能量平均误差较大，650 nm、670 nm对应的能量误差相应减小。SP 3 模型在各波长对应的能量平均误差和DE模型呈现相同的变化趋势，且各能量平均误差值都相对DE模型减小，表明SP 3 模型比DE模型具有更高的传输精度。分别对DE模型和SP 3 模型获得的表面光能量进行光谱差分，能量平均误差相对减小，尤其对于630 nm对应的能量平均误差改善较为明显，而且应用光谱差分策略后SP 3 模型比DE模型获得了更小的能量平均误差。 为了进一步验证前向仿真实验的结果，由 公式（20） 公式（20） 计算了MC和DE（SP 3 ）在同一波长下获得的表面光能量的余弦相似度，如 图4 图4 所示，余弦相似度越接近1，表明能量值越接近。由 图4 图4 可以看出，SP 3 模型的余弦相似度大于DE模型。进而通过MC与DE（SP 3 ）获得的各波长的能量差计算余弦相似度，从 图4 图4 可以看出，光谱差分后DE和SP 3 对应的余弦相似度显著增加。计算各个特定光谱和光谱差分对应的余弦相似度的平均值和方差，DE和SP 3 模型对应的三组波长余弦相似度的平均值和方差分别为0.985 8±0.006 0和0.988 1±0.003 0，任意两组波长组合光谱差分后DE和SP 3 模型对应的余弦相似度的平均值和方差分别为0.989 3±6.127 6e - 04和0.990 8±1.042 7e - 04。表明光谱差分能够有效减小DE模型的传输误差，使其接近SP 3 模型的传输精度，并且对SP 3 模型应用光谱差分能够获得更高的传输精度。 进而对各方法的运算效率进行论证，在获得各波长DE和SP 3 模型对应的表面光能量的同时记录下了其所耗时间，DE模型在630 nm、650 nm和670 nm波长下耗时分别为：212.90 s、208.41 s和211.73 s， 而SP 3 模型在三个波长耗时分别为：992.55 s、990.35s 和994.26 s，DE模型耗时远低于SP 3 。对三组波长对应的表面光能量进行光谱差分，DE模型的光能量差分总耗时为0.031 s，SP 3 模型的光能量差分总耗时为0.030 s。即采用DE模型获得三组波长的光能量并进行光谱差分，总耗时仍低于SP 3 模型获得一组波长光能量的耗时。 3.3　光源重建实验结果 2 为了验证光谱差分策略在光源重建中的可行性与适用性，进行逆向光源重建实验。采用MC方法模拟的630 nm、650 nm和670 nm波长的表面光能量作为测量的表面数据。分别对DE和SP 3 模型获得的三组波长对应的系统矩阵进行光谱差分，获得 式（16） 式（16） 的表达，采用ISTA方法重建，并将MC获得的630 nm波长的表面光能量分别采用DE和SP 3 模型进行光源重建作为对比。 DE和SP 3 模型在630 nm对应的重建结果分别如 图5 图5 （a）和（b）所示，采用光谱差分策略的DE（DE-spectral differential）、SP 3 方法（SP 3 -spectral differential）对应的重建结果分别如 图5 图5 （c）和（d）所示。三维视图中的红色球体表示真实光源的实际位置，绿色不规则形状为重建光源。相应的矢状面、冠状面和横切面根据真实光源的中心位置来确定，截面图中的红色圆圈代表真实光源的位置。 图5 图5 （a）、（b）中重建光源距离真实光源有一定的偏离，且由于重建光源位置比真实光源偏上，在 Z =14.8 mm横切面图中观测不到重建光源信息。 图5 图5 （c）、（d）中DE-spectral differential和SP 3 -spectral differential方法都能够较为准确地定位真实光源，然而，相比于DE-spectral differential方法，SP 3 -spectral differential方法的重建光源与真实光源重叠更好。 表2 表2 中的评价指标定量分析验证了 图5 图5 中的结论，DE和SP 3 模型在630 nm对应的重建结果LE均大于1 mm，且Dice较小。这和前向仿真实验中，在630 nm波长DE和SP 3 模型获得的表面光能量和MC的误差较明显的结论一致。DE-spectral differential方法获得的LE小于1 mm，且Dice和CNR值相对增大，提高了光源重建的准确性。而SP 3 -spectral differential方法重建光源的LE最小（0.724 mm），Dice和CNR值最大，在目标定位、形状恢复和图像对比度等方面有更好的效果。这是由于光谱差分策略在光源重建过程中，有效减少了DE和SP 3 模型的光传输误差，提高了模型精度，并且缓解了BLT逆问题的病态性，使光源重建的位置误差小于1 mm，获得了更准确的重建精度。 Methods Reconstructed source center/mm LE/mm Dice CNR DE-630 （18.08，8.65，13.58） 1.382 0.15 1.74 SP 3 -630 （17.79，8.70，13.82） 1.221 0.18 3.45 DE-spectral differential （18.00，8.80，14.64） 0.816 0.35 3.65 SP 3 -spectral differential （17.45，8.46，14.70） 0.724 0.44 4.97 此外，DE模型获得630 nm、650 nm和670 nm波长对应的系统矩阵耗时分别为33.61 s、33.66 s 和34.81 s，SP 3 模型获得三组波长对应的系统矩阵耗时分别为：1 530.68 s、1 520.63 s和1 522.52 s，DE模型构建系统矩阵耗时远低于SP 3 。对三组波长对应的系统矩阵以及表面光能量进行光谱差分，获得 式（16） 式（16） 中差分的系统矩阵和差分的表面光能量，DE模型差分总耗时为0.401 s，SP 3 模型差分总耗时为0.414 s。即采用DE模型获得三组波长的系统矩阵，并对系统矩阵和表面光能量进行光谱差分，总耗时仍低于SP 3 模型获得一组波长数据的耗时。 4 结 论 1 在BLT研究中，高阶光传输模型可提高光在生物组织中的传输精度，多光谱方法可降低逆问题病态性，从不同角度提升光源信息的重建精度。在此基础上，本文对DE和SP 3 光传输模型获得的表面光能量进行光谱差分，对比了光谱差分策略对两种光传输误差的衰减作用，前向仿真实验结果表明光谱差分策略能有效地减少DE和SP 3 的模型误差，对DE模型采用光谱差分，能够获得接近SP 3 模型的传输精度，并且降低高阶近似对运算时间和存储空间的高要求。进而将光谱差分策略分别应用到DE和SP 3 光传输模型进行光源重建，实验结果表明光谱差分策略在提高两种光传输模型精度的同时，缓解了BLT中逆问题的病态性，使光源重建在目标定位、形状恢复和图像对比度等方面具有更准确的效果。其中DE模型结合光谱差分策略，在重建精度和速率上达到了较好的平衡。 参考文献 YIN L ， WANG K ， TONG T ， et al . 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Light source reconstruction method in fluorescence molecular tomography based on Laplacian manifold regularization and sparse reconstruction by separable approximation ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2018 ， 26 （ 10 ）： 2592 - 2604 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20182610.2592 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20182610.2592 Light source reconstruction method in fluorescence molecular tomography based on Laplacian manifold regularization and sparse reconstruction by separable approximation NASER M A ， PATTERSON M S . Algorithms for bioluminescence tomography incorporating anatomical information and reconstruction of tissue optical properties ［J］. Biomedical Optics Express ， 2010 ， 1 （ 2 ）： 512 - 526 . doi: 10.1364/boe.1.000512 http://dx.doi.org/10.1364/boe.1.000512 Algorithms for bioluminescence tomography incorporating anatomical information and reconstruction of tissue optical properties ZHANG X Q ， LU Y J ， CHAN T . 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