三耦合柔性梁振动的视觉检测与H_∞控制

三耦合柔性梁振动的视觉检测与H ∞ 控制 Visual detection and H ∞ vibration control of three coupled flexible beams corresp first-author E-mail： zhchqiu@scut.edu.cn E-mail： zhchqiu@scut.edu.cn 邱志成（1973-），男，辽宁朝阳人，博士，教授，博士生导师，分别于1995年和1997年在哈尔滨工业大学获学士学位和硕士学位，2000年于中国科学院沈阳自动化研究所获工学博士学位，2000年8月~2003年4月在中国空间技术研究院北京控制工程研究所博士后流动站。主要从事基于视觉的柔性结构振动测试、柔性机器人精密控制、空间柔性结构的建模及振动主动控制等方面的研究。E-mail： zhchqiu@scut.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115050&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115054&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115052&type= 22.01332855 32.00399780 邱志成 （1973-），男，辽宁朝阳人，博士，教授，博士生导师，分别于1995年和1997年在哈尔滨工业大学获学士学位和硕士学位，2000年于中国科学院沈阳自动化研究所获工学博士学位，2000年8月~2003年4月在中国空间技术研究院北京控制工程研究所博士后流动站。主要从事基于视觉的柔性结构振动测试、柔性机器人精密控制、空间柔性结构的建模及振动主动控制等方面的研究。E-mail： zhchqiu@scut.edu.cn zhchqiu@scut.edu.cn 何成虎（1998-），男，广东湛江人，硕士研究生，就读于华南理工大学机械与汽车工程学院，主要从事耦合多柔性体的振动控制研究。E-mail：2668302405@qq.com 何成虎（1998-），男，广东湛江人，硕士研究生，就读于华南理工大学机械与汽车工程学院，主要从事耦合多柔性体的振动控制研究。E-mail：2668302405@qq.com 2668302405@qq.com 华南理工大学 机械与汽车工程学院，广东 广州 510641 华南理工大学 机械与汽车工程学院，广东 广州 510641 School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510641， China School of Mechanical and Automotive Engineering， South China University of Technology， Guangzhou 510641， China 航天器上的太阳帆板和卫星天线等为多柔性体的耦合系统。耦合多柔性体结构具有密集模态、低刚度和小阻尼等特点，易受扰动激励产生持久且幅值较大的耦合拍频振动。为了研究耦合多柔性体结构的主动振动抑制和抗扰动能力，本文针对一种三耦合柔性梁系统，采用机器视觉进行振动检测并用于反馈，通过一种非线性H ∞ 控制方法进行振动控制。建立了基于视觉检测的弹簧连接的三耦合柔性压电梁实验平台。建立了有限元模型，并且根据自由振动信号和正弦响应信号激励辨识修正了模型参数。基于H ∞ 算法给出了抗扰动指标，利用已辨识的有限元模型和所设计的非线性控制器，并且基于抗扰动指标、控制速度指标和能量消耗指标获得了H ∞ 控制器。进行了基于视觉反馈的扰动振动控制实验研究。实验结果显示：H ∞ 控制与PD控制振动抑制速度基本一致，但振动平稳时H ∞ 控制的振动幅值较小。这表明H ∞ 控制比PD控制具有更好的抗扰动能力。 Solar panels and satellite antennas on spacecraft are coupled systems with multiple flexible bodies. Multiple flexible coupling structures have the characteristics of close modes， low stiffness， and small damping； they are easily excited by disturbances to produce long-lasting and large amplitude coupled beat vibrations. To study the active vibration suppression and anti-disturbance ability of coupled multi-flexible structures， aiming at a three-coupled flexible beam （TCFB） system， the machine vision is used for vibration detection and feedback， and a nonlinear H ∞ control method is used for vibration control. A three-coupling flexible piezoelectric beam experimental platform is established based on visual inspection and spring connection. The finite element model is established， and the parameters of the model are corrected according to the excitation identification of the free vibration and sinusoidal response signals. The anti-disturbance index is given based on the H ∞ algorithm. By using the identified finite element model and the designed nonlinear control law， the H ∞ controller is obtained based on the anti-disturbance， control speed， and energy consumption indices. The experimental study of disturbance vibration control based on visual feedback is carried out. The experimental results show that the vibration suppression speed of the H ∞ control is approximately the same as that of the PD control， but the vibration amplitude of the H ∞ control is lower when the vibration is stable. The experimental results indicate that the H ∞ control method has better anti-disturbance ability than the PD control method. 多柔性体结构 耦合振动 视觉检测 H ∞ 控制 flexible multi-body structure coupling vibration visual detection H ∞ control 1 引 言 1 与刚性结构相比，柔性结构具有重量轻、能耗低等优点，被广泛应用于航空航天、生物医学和机器人领域 ［ 1 1 ］ 。由于柔性体刚度小、阻尼小，因此在受到外界激励时容易产生持久且幅值较大的振动，难以自由衰减 ［ 2 2 ］ 。这会影响柔性体结构的工作精度，并且由于长时间的往复振动，很快导致结构疲劳损坏 ［ 3 3 ］ 。而航天器柔性结构多为耦合多柔性体结构，具有密集模态特性，并且各个柔性体的振动会相互耦合影响，容易产生拍频振动现象。所以耦合多柔性体结构的振动控制值得进一步研究。 设计基于模型的控制器进行振动主动控制时，系统的控制性能往往受模型的准确性影响。柔性结构的动力学建模方法主要包括假设模态法（Assumed Mode Method， AMM）和有限元方法（Finite Element Method， FEM）。Gao等 ［ 4 4 ］ 使用假设模态法建立了具有不确定扰动的柔性梁系统的动力学模型。Fu等 ［ 5 5 ］ 运用有限元方法获得了柔性梁结构的模态频率和模态振型，并且获得了动力学模型。一般来说，建立的模型和实际的模型之间还有一些偏差，所以，基于建立的模型，并结合实验模型辨识的方法，可得到比较准确的数学模型，基于该接近实际系统模型进行基于模型的控制器设计，最终的控制效果更佳。 对于闭环控制而言，振动信息的检测必不可少。振动测量传感器的性能会直接影响控制器的性能。如今传感器可以分为接触式测量和非接触式测量两类。振动的接触式测量方法主要包括电阻应变片 ［ 6 6 ］ 、压电传感器 ［ 7 7 ］ 和尖端加速度传感器 ［ 8 8 ］ 等。振动的非接触式测量方法主要包括激光位移传感器和机器视觉等。Zhu等 ［ 9 9 ］ 研究了直线电机驱动的阻尼可控柔性机械臂，使用激光位移传感器进行振动检测。马天兵等依次采用了线结构光 ［ 10 10 ］ 和一种机器视觉方法 ［ 11 11 ］ 检测柔性梁的振动位移，并且反馈用于PID控制。非接触式测量意味着增加传感器不会改变模型的参数，比如系统的质量矩阵和刚度矩阵。对于基于模型的控制方法，使用非接触式测量反馈控制是一种有效的振动控制方法。 柔性结构的特点在于，轻微的扰动便可以激励系统，并且产生幅值较大的振动。在持续扰动输入的环境中，柔性系统将持续处于振动状态。对于具有扰动输入的系统，如何减少柔性梁系统稳态时的振动幅值是一个值得研究的问题。对于柔性结构的振动控制方法，相关研究包括非线性控制、智能自适应控制、学习控制及鲁棒控制等。H 2 /H ∞ 控制是一种减少扰动影响的经典控制方法。Yalçın等 ［ 12 12 ］ 针对于多频率抗干扰问题，对三自由度零功率微振隔离器进行了H ∞ 和H 2 反馈控制实验，实现了零功率目标下的微振隔离。Wei等 ［ 13 13 ］ 提出了一种仅利用实测接收值的区域特征值分配来实现的H 2 最优控制算法。徐亚兰等 ［ 14 14 ］ 给出了一种基于遗传算法的H ∞ /H 2 混合振动控制器设计方法，兼顾了系统鲁棒性和系统时域性能。艾海平等 ［ 15 15 ］ 基于无源性理论提出了一种神经网络鲁棒H ∞ 控制策略以实现失稳混合体的镇定控制。 本文对三耦合柔性梁结构振动检测和主动控制进行了研究。第2节介绍了研究对象三耦合柔性梁系统，并且对该系统进行了有限元建模；第3节介绍了非线性H ∞ 控制算法设计；第4节给出了机器视觉的振动检测方法；第5节进行了扰动控制的H ∞ 控制与比例微分控制（Proportional plus Derivative control， PD）实验比较研究。最后一节给出本文的结论。 2 三耦合柔性梁结构与建模 1 2.1　三耦合柔性梁系统 2 如 图1 图1 所示，三耦合柔性梁系统由3根柔性梁、4根拉伸弹簧、粘贴在梁表面并靠近固定端的压电（PZT）致动器、两个相机、运动控制卡、端子板和控制计算机组成。3根柔性梁的根部固定在底座上，平行放置，通过弹簧连接，形成多体耦合结构。 采用相机检测柔性梁的振动信号。采用PZT致动器抑制柔性梁的振动。测量图像信号经过传输到计算机后，计算机通过运行相应的视觉处理算法获得振动信号，然后运行控制算法计算出控制信号。通过运动控制卡的D/A转换，将控制信号输出到电压放大器进行放大，再传输到PZT致动器从而抑制振动。三根梁分别命名为梁I、梁II和梁III。每根柔性梁的几何尺寸为 <math id="M1"><mn mathvariant="normal">800</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">150</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115070&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115068&type= 22.69066620 2.79399991 （mm）。PZT致动器的几何尺寸为 <math id="M2"><mn mathvariant="normal">60</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">25</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115075&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115072&type= 19.04999924 2.79399991 （mm）。 2.2　三耦合柔性梁系统的动力学建模 2 将柔性梁划分为有限数目的板单元，包含梁单元、压电致动器单元和压电传感器单元。结合哈密顿原理进行有限元建模，计算总动能和总势能，引入瑞利阻尼项 ［ 16 16 ］ <math id="M3"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115079&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115077&type= 3.72533321 3.72533321 ，得到系统总体动力学方程 ［ 17 17 ］ ： <math display="block" id="M4"><mi mathvariant="bold-italic">M</mi><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">q</mi></mrow><mi mathvariant="bold-italic">¨</mi></mover><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo>˙</mo></mover><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">K</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">N</mi><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115083&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115081&type= 36.57600021 4.57200003 ， 式中： M 是质量矩阵； <math id="M5"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>α</mi><mi mathvariant="bold-italic">M</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115086&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115084&type= 23.36800003 4.65666676 是瑞利阻尼矩阵，其中 α 和 β 分别是瑞利质量阻尼系数和刚度阻尼系数； K 是刚度矩阵； N 是控制力系数矩阵； u 是控制电压向量； q 是系统的广义坐标向量。 相机检测被测点的振动位移，有： <math display="block" id="M6"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115091&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115088&type= 20.40466690 4.57200003 ， 式中， <math id="M7"><msub><mrow><mi>q</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115095&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115093&type= 7.70466709 4.57200003 是测量点的横向振动位移。 有限元计算可以获得系统总体的输出方程 ［ 17 17 ］ ： <math display="block" id="M8"><mi mathvariant="bold-italic">y</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">q</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115098&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115096&type= 13.12333298 4.57200003 . 将广义坐标 q 变换为模态坐标 <math id="M9"><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115102&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115100&type= 2.20133328 2.79399991 ，如 式（6） 式（6） ： <math display="block" id="M10"><mi mathvariant="bold-italic">q</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115106&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115104&type= 11.93799973 3.64066648 ， 式中：变换矩阵 V 是模态矩阵，满足： K * V = M * V * D ，对角矩阵 <math id="M11"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">d</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115109&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115107&type= 37.08399963 3.97933316 ，其中 <math id="M12"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115113&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115111&type= 2.53999996 3.72533321 是第 <math id="M13"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115117&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115115&type= 1.10066664 2.79399991 阶模态角频率 <math id="M14"><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>_</mo><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115120&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115118&type= 5.24933338 3.97933316 的平方，即 <math id="M15"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>_</mo><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115122&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115121&type= 12.61533356 3.97933316 ；模态坐标 <math id="M16"><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mtd><mtd><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo><mo>⋅</mo></mtd><mtd><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115124&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115123&type= 36.06800079 4.74133301 ， k 是模态阶数。 系统总体结构动力学方程变换为： <math display="block" id="M17"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></mrow><mi mathvariant="bold-italic">¨</mi></mover><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>˙</mo></mover><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115126&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115125&type= 30.98800087 3.64066648 ， 式中：矩阵 <math id="M18"><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">M</mi><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">N</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115128&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115127&type= 34.37466812 5.16466665 ；矩阵 <math id="M19"><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mo>=</mo><mi>α</mi><mi mathvariant="bold-italic">I</mi><mo>+</mo><mi>β</mi><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115130&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115129&type= 20.65866661 3.72533321 是对角矩阵。 相机位移传感器的输出方程变换为： <math display="block" id="M20"><mi mathvariant="bold-italic">y</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115132&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115131&type= 11.68400002 3.64066648 ， 式中， <math id="M21"><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115135&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115133&type= 14.39333248 3.80999994 。 由于高频模态振动不易激励并且自由振动衰减迅速，仅针对三耦合柔性梁系统的前三阶振动模态进行研究。计算得到的前三阶振动模态频率分别为2.249 7 Hz，2.556 2 Hz和2.817 1 Hz。 图2 图2 所示为前三阶模态的振型图。三柔性耦合梁的低频振动特性为这三阶模态耦合的密频振动。 1;2;3; 3 非线性H ∞ 控制器设计 1 为了研究扰动输入对振动控制的影响，通过梁Ⅰ的致动器进行扰动输入，将梁Ⅱ和梁Ⅲ的致动器用于振动控制。系统总体结构动力学方程为： <math display="block" id="M22"><mover accent="true"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></mrow><mi mathvariant="bold-italic">¨</mi></mover><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>˙</mo></mover><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">w</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">w</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115150&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115149&type= 45.21200180 4.57200003 . 对 式（7） 式（7） 进行拉普拉斯变换可得： <math display="block" id="M23"><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">I</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">w</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">W</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">U</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115152&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115151&type= 67.30999756 4.48733330 ， 式中， <math id="M24"><mi mathvariant="bold-italic">I</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115154&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115153&type= 1.86266661 2.79399991 是单位矩阵。 对 式（6） 式（6） 进行拉普拉斯变换可得： <math display="block" id="M25"><mi mathvariant="bold-italic">Y</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115156&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115155&type= 23.19866753 3.97933316 . 振动抑制的期望值为0，因此偏差为 <math id="M26"><mi mathvariant="bold-italic">e</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="bold-italic">y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115158&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115157&type= 11.93799973 3.64066648 ，得： <math display="block" id="M27"><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115160&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115159&type= 26.50066566 3.97933316 . 由于控制量 <math id="M28"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115162&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115161&type= 2.11666679 2.79399991 根据偏差 <math id="M29"><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115164&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115163&type= 1.60866666 2.79399991 计算而得，得： <math display="block" id="M30"><mi mathvariant="bold-italic">U</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">G</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115166&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115165&type= 29.88733101 3.97933316 ， 式中， <math id="M31"><mi mathvariant="bold-italic">G</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115168&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115167&type= 8.04333401 3.97933316 是控制器的传递函数。 式（11） 式（11） 代入 式（8） 式（8） 后，结合 式（10） 式（10） 可得： <math display="block" id="M32"><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">I</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">G</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">w</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">W</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="bold-italic">W</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115170&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115169&type= 66.88666534 17.10266685 ， 式中： <math id="M33"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">I</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">G</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">C</mi><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">w</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115172&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115171&type= 67.73333740 5.41866684 可称为灵敏度函数 ［ 18 18 ］ ； <math id="M34"><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>s</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">I</mi><mo>+</mo><mi>s</mi><mi mathvariant="bold-italic">E</mi><mo>+</mo><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115174&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115173&type= 39.28533173 5.16466665 。 H ∞ 控制的目标就是获取一个控制器 <math id="M35"><mi mathvariant="bold-italic">G</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115176&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115175&type= 8.04333401 3.97933316 ，使灵敏度函数 <math id="M36"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115188&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115187&type= 7.87400007 3.97933316 在H ∞ 范数下最小。也就是说，H ∞ 振动控制器在设计时，目的是最大程度减少扰动输入对振动控制的影响。 <math id="M37"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115188&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115187&type= 7.87400007 3.97933316 的H ∞ 范数为矩阵 <math id="M38"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115188&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115187&type= 7.87400007 3.97933316 的最大奇异值在频域内的最大值 ［ 18 18 ］ ，如下： <math display="block" id="M39"><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msub><mo>=</mo><munder><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">u</mi><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow><mrow><mi>ω</mi></mrow></munder><mfenced open="{" close="}" separators="|"><mrow><msub><mrow><mover accent="true"><mi>δ</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi mathvariant="normal">j</mi><mi>ω</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115184&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115183&type= 44.36533356 7.36600018 ， 式中：sup（ ）表示求最大值； <math id="M40"><msub><mrow><mover accent="true"><mi>δ</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mi>s</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115186&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115185&type= 2.79399991 4.23333359 表示矩阵奇异值中的最大值。 在柔性梁的振动控制研究中，需要充分考虑振动控制的快速性，并折中考虑控制能量的消耗，在考虑 <math id="M41"><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115188&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115187&type= 7.87400007 3.97933316 的基础上引入控制速度指标和能量消耗指标，有： <math display="block" id="M42"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>k</mi><msub><mrow><mfenced open="‖" close="‖" separators="|"><mrow><mi mathvariant="bold-italic">F</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>s</mi></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">∞</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>+</mo><msup><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">δ</mi><mo>˙</mo></mover><mo>+</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">u</mi></mrow></mfenced><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>t</mi></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115190&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115189&type= 80.94133759 8.21266651 . 控制器的设计准则就是使 <math id="M43"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115196&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115195&type= 3.21733332 3.72533321 最小。PZT致动器的输出控制电压存在极限。线性的控制器用于柔性梁振动控制的时候，振动幅值大时控制电压有切波的现象，即存在一段时间的接近方波控制量，这会在控制时激励高阶模态振动。采用非线性的控制律可以很大程度上解决这个问题。基于该想法，设定H ∞ 控制律为 <math id="M44"><mi mathvariant="bold-italic">u</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">h</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></mrow></msub><mi mathvariant="bold-italic">e</mi><mo>+</mo><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">e</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></msub><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">e</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115194&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115193&type= 40.04733276 4.91066647 。按 <math id="M45"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115196&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115195&type= 3.21733332 3.72533321 最小的原则，使用多维优化方法可获取控制律中的参数矩阵 <math id="M46"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115198&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115197&type= 3.97933316 3.72533321 和 <math id="M47"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">K</mi></mrow><mrow><mover accent="true"><mi mathvariant="bold-italic">e</mi><mo>˙</mo></mover></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115200&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115199&type= 3.97933316 3.72533321 ，本文使用粒子群优化算法 ［ 19 19 ］ 实现。 获取控制器需要相对精确的系统模型，使用辨识的方法修正有限元模型 ［ 20 20 ］ 。对耦合自由振动信号作小波辨识可获取 式（5） 式（5） 中的模型参数矩阵 <math id="M48"><mi mathvariant="bold-italic">E</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115202&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115201&type= 2.87866688 2.79399991 和 <math id="M49"><mi mathvariant="bold-italic">D</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115204&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115203&type= 3.04800010 2.79399991 。对各个梁的耦合自由振动信号依次进行粒子群分解可获取 式（6） 式（6） 中的模型参数矩阵 <math id="M50"><mi mathvariant="bold-italic">C</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115206&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115205&type= 2.70933342 2.79399991 。获取正弦响应信号，计算每个梁的致动器对模态振动的控制能力，可获取 式（5） 式（5） 中的模型参数矩阵 <math id="M51"><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115208&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115207&type= 2.79399991 2.79399991 。于是，运用已辨识模型和粒子群优化算法可获得H ∞ 控制器。 4 机器视觉检测 1 机器视觉检测属于非接触式的测量方式，非接触式测量的优点在于不会改变柔性梁的结构刚度和质量等物理特性，即不会改变柔性梁的动力学模型。但要考虑视觉处理时间和实时性问题，这里对应三耦合梁低频模态振动频率情况，是满足要求的。 与激光位移传感器相比，机器视觉测量的优势为：测量范围广，相机安装位置限制不大，且可以多点测量。多耦合柔性梁结构在空间机械臂、卫星和空间站等航天器中广泛出现，在这些环境下难以在振动末端安装激光位移传感器，而使用机器视觉测量振动只需将相机安装于柔性结构的根部即可。因此在研究中使用机器视觉测量柔性梁末端的振动位移。 视觉测量前，采用基于平面格点的摄像机标定方法 ［ 21 21 ］ 来标定，以确定被测三维点 <math id="M52"><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115224&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115223&type= 3.97933316 2.96333337 与像素坐标系下点 <math id="M53"><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115226&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115225&type= 3.04800010 2.79399991 的变换关系。柔性梁振动时被测点 <math id="M54"><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115224&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115223&type= 3.97933316 2.96333337 的移动被结构限制于一个平面，于是假设世界坐标系的 XOY 平面为该平面。所以被测三维点 <math id="M55"><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115224&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115223&type= 3.97933316 2.96333337 的高度信息可以不考虑，对应的齐次坐标可以表示为 <math id="M56"><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>x</mi></mtd><mtd><mi>y</mi></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115218&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115217&type= 26.67000008 5.58799982 。像素坐标系下点 <math id="M57"><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115226&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115225&type= 3.04800010 2.79399991 的齐次坐标可以表示为 <math id="M58"><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mi>u</mi></mtd><mtd><mi>v</mi></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115222&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115221&type= 25.90800095 4.74133301 。被测三维点 <math id="M59"><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115224&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115223&type= 3.97933316 2.96333337 与像素坐标系下点 <math id="M60"><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115226&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115225&type= 3.04800010 2.79399991 齐次坐标的变换关系为： <math display="block" id="M61"><mi>s</mi><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">m</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">H</mi><mover><mrow><mi mathvariant="bold-italic">M</mi></mrow><mrow><mi>˜</mi></mrow></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115228&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115227&type= 15.91733265 3.64066648 ， 式中：坐标变换矩阵 <math id="M62"><mi mathvariant="bold-italic">H</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115242&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115241&type= 3.47133350 2.79399991 由标定获得； <math id="M63"><mi>s</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115232&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115231&type= 1.26999998 2.79399991 为任意的非零尺度因子。 使用相机实时获取图像，并且图像处理从而获取梁的形变位移，图像处理获取梁形变位移的过程如 图3 图3 所示。首先截取感兴趣区域进行处理，从而加快计算速度和减少干扰信息。对感兴趣区域归一化，然后高斯滤波以减少噪声点。使用“类间方差阈值分割法”对滤波之后的图像进行阈值分割。然后使用CANNY边缘检测算法进行计算轮廓。 以平静状态的图像为基准，计算轮廓的质心变化量，从而获取轮廓像素平面上的位移。根据 式（17） 式（17） 即可算出测量点的振动位移。 5 扰动振动控制实验 1 PD控制作为一种应用于工业领域的经典线性控制器，并没有改进以提高其抗扰动的能力。而H ∞ 控制器是基于减少扰动影响的目标获取的。为了验证H ∞ 控制器减少扰动影响的能力和抑制振动的能力，设计了扰动振动控制实验，并与PD控制进行了比较。 为了减少实验信号中的干扰信息，在实验过程中，相机测量的振动位移信号需要经过带通滤波器滤除噪声后再输入控制器。由于滤波器的使用不可避免地会导致信号的相位滞后，因此采用了一种相位补偿算法。 每一次振动控制实验的初始激励保持基本一致。为了显示初始激励的一致性和控制前后的效果，我们展示了控制之前2 s内的振动。 扰动振动控制实验中，由梁I的PZT致动器输入正弦扰动信号 <math id="M64"><mi>w</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">2.4</mn><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>φ</mi></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115237&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115236&type= 41.99466705 4.91066647 ，梁II和梁III的PZT致动器输入控制信号以抑制三耦合柔性梁系统的振动。相机检测梁II和梁III的振动位移并且用于反馈控制，激光位移传感器监测梁I的振动位移。 三耦合柔性梁实验台如 图4 图4 所示。激光位移传感器为日本松下公司产品，其型号为HG-C1050，测量范围（50±15）mm，测量精度30 μm。运动控制卡采用固高运动控制卡，型号为GTS-400-ACC2-V-AD16。PZT致动器的极限输出电压为±150 V。电压放大器的放大倍数是15。扰动振动控制实验的采样频率为20 Hz。 相机选用映美精USB接口彩色CCD相机，型号是DFK21BU04，分辨率是640×480，帧率为60帧。选用相机工作的频率为60 Hz。 两个相机标定所得的坐标变换矩阵 <math id="M65"><mi mathvariant="bold-italic">H</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115242&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115241&type= 3.47133350 2.79399991 很相近，但是不完全相同，测量梁II的相机标定结果（振动位移单位是mm）如 式（16） 式（16） ： <math display="block" id="M66"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">H</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">b</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">3.428</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">4</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1.202</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">3.427</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">4</mn></mtd><mtd><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">8.144</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">4.728</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">10</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">3.662</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">7</mn></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">2.374</mn><mi mathvariant="normal">e</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">3</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115244&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115243&type= 71.54333496 18.11866570 根据 式（16） 式（16） 可以推算出，像素平面上一个像素大约对应振动位移0.138 mm。 控制程序从采集图像中得到位移信息的时间花销约为10 ms。从采集图像中得到位移信息的过程中，控制程序开启两个子线程以同时处理两个图像的信息。获取两个相机图像的时间几乎为同一时刻，不过两个子线程图像处理的时间花销会浮动。在两个相机的图像均处理完成并且得到位移信息后，才输出控制量。然后控制程序进入待机状态，直到下一个控制周期开始。 自由振动实验如 图5 图5 所示，各梁初始的振动位移较大，在持续的耦合振动中，由于阻尼的存在，振动能量会逐渐消耗，三耦合柔性梁系统的振动会慢慢衰减。由于三梁之间的耦合作用，每个梁的振动都会受到其他梁的影响，自由振动信号会呈现忽大忽小的现象。而在耦合的振动过程中，振动能量只是在3个梁间转移，三耦合柔性梁系统总体的振动能量并不会忽大忽小，而是在阻尼作用下逐渐减小。 PD控制实验如 图6 图6 所示，振动幅值较大时，PD反馈控制使三耦合柔性梁系统的振动很快抑制了下来。实验PD控制器的控制参数选取为 <math id="M67"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115254&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115253&type= 2.79399991 3.72533321 =2.5， <math id="M68"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115252&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115251&type= 2.79399991 3.72533321 =0.1。 <math id="M69"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115254&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115253&type= 2.79399991 3.72533321 和 <math id="M70"><msub><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115256&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115255&type= 2.79399991 3.72533321 是通过反复实验测试和调整确定的。基于大量的实验测试选择PD控制器的控制参数，并且考虑了控制器的快速性和稳定性以及振动控制量。PD参数的选择准则是尽可能达到最佳控制效果，并且控制信号饱和周期数与H ∞ 控制器大致相同。 梁I具有持续的正弦扰动输入。 图5 图5 显示，振动幅值比较大时，扰动输入不会阻止三耦合柔性梁系统振动的自然衰减。不过在振动幅值比较小时，扰动输入的影响就会很明显，会使耦合振动永远持续下去。 图6 图6 中显示，即使开启振动控制器，也无法完全抑制振动，只能减小振动幅值。 H ∞ 控制实验如 图7 图7 所示。 图7 图7 中显示，振动幅值较大时，H ∞ 反馈控制使三耦合柔性梁系统的振动很快抑制了下来。而且在振动幅值较小时，即扰动影响较大时，H ∞ 控制对振动也有更好的抑制作用。 在扰动振动控制实验中，H ∞ 控制与PD控制的对比如 图8 图8 所示。 图8 图8 （a）为振动控制开始后15 s内的功率谱密度（PSD）图。放大的区域有3个峰，这3个峰就对应着3个模态，峰的高度对应着振动幅值。振动幅值越小，峰值越低。 图8 图8 （a）显示，H ∞ 控制与PD控制的峰值高度基本一致，这说明两种控制在15 s内的控制速度很接近。 图8 图8 （b）为三柔性梁系统的广义能量 <math id="M71"><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mo>∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msubsup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msubsup><mrow><mi>ω</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>_</mo><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><msubsup><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><msubsup><mrow><mover accent="true"><mi>δ</mi><mo>˙</mo></mover></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow></mfenced></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115268&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115265&type= 36.66066742 5.50333309 的变化图，可以代表梁系统总振动能量。为了表达清楚， 图8 图8 （b）的纵坐标为 <math id="M72"><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115271&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115269&type= 12.78466606 3.97933316 ： <math display="block" id="M73"><mi mathvariant="normal">L</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mo>×</mo><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>J</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">e</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115275&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=38115273&type= 39.36999893 3.97933316 . 图8 图8 （b）显示，在振动控制开始后的10 s内，H ∞ 控制器与PD控制器的振动抑制速度很接近，且H ∞ 控制器稍微快一点。在振动控制开始后的20 s后，梁系统的振动能量趋向于平稳，说明振动控制器的抑振效果已经和扰动的激振效果抵消持平。在平稳时，H ∞ 控制器的系统总振动能量更低。 图7 图7 显示H ∞ 控制振动平稳时梁I的振动幅值约为0.14 mm，而 图6 图6 中PD控制的振动幅值约为0.24 mm。这说明，H ∞ 控制比PD控制具有更好的抗正弦扰动能力。 总的来说，H ∞ 控制器与PD控制器的振动抑制速度很接近，但是H ∞ 控制器比PD控制器具有更好的抗扰动能力。这证明了 H ∞ 控制引入抗扰动指标确实很好地提高了控制器的抗扰动能力。 6 结 论 1 本文研究了基于视觉检测和反馈控制的三耦合柔性压电梁系统的振动控制。建立了三耦合柔性梁系统的有限元模型，基于模型设计了非线性H ∞ 控制器，在考虑控制速度和能量消耗的基础上，考虑了抗扰动的能力。构建了实验系统平台，进行了基于视觉测量、图像处理和振动提取实验研究。将视觉检测的振动信号进行反馈，进行了扰动振动控制的H ∞ 控制与PD控制实验比较研究。实验时，利用机器视觉进行振动检测并且用于反馈控制，一个梁输入正弦扰动信号，另外两个梁输入控制信号。实验结果表明，H ∞ 控制与PD控制的振动抑制速度几乎相同，但是设计的H ∞ 控制比PD控制具有更强的抗扰动能力。 参考文献 KUMAR P ， PRATIHER B . 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