采用干涉条纹纹影法的轴对称温度场测量

采用干涉条纹纹影法的轴对称温度场测量 Measurement of axisymmetric temperature field by interference fringe Schlieren method 1 2 corresp first-author E-mail： j_wu@cauc.edu.com E-mail： j_wu@cauc.edu.com 吴 军（1986-），男，山西忻州人，副教授，硕士生导师，2014年于天津大学获得博士学位，主要研究方向：图像处理、视觉测量技术、飞机发动机故障诊断等。E-mail：j_wu@cauc.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629725&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629729&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629727&type= 22.01332855 32.00399780 吴 军 （1986-），男，山西忻州人，副教授，硕士生导师，2014年于天津大学获得博士学位，主要研究方向：图像处理、视觉测量技术、飞机发动机故障诊断等。E-mail： j_wu@cauc.edu.cn j_wu@cauc.edu.cn 1 1 2 2 2 中国民航大学 航空工程学院，天津 300300 中国民航大学 航空工程学院，天津 300300 College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China College of Aeronautical Engineering， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China 中国民航大学 电子信息与自动化学院，天津 300300 中国民航大学 电子信息与自动化学院，天津 300300 College of Electronic Information and Automation， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China College of Electronic Information and Automation， Civil Aviation University of China， Tianjin 300300， China 温度场作为一种状态监测参数，在大型工业装备状态监测领域有着广泛应用，纹影法作为一种流场可视化方法，是进行空间温度场测量的有效手段。传统纹影法一般通过直接测量光线偏折角重构空间折射率场，进而解算温度场，然而光线偏折角一般非常微小，直接测量会产生较大的测量误差。因此，本文提出一种采用干涉条纹的纹影偏折角放大方法，从而提高空间温度场重构精度。首先，测量激光通过双缝后将形成干涉条纹以代替传统背景纹影法的随机散斑图案；接着，通过视觉的方法测量干涉条纹穿越非均匀温度空间后所产生的条纹偏移，并基于该偏移量解算光线偏折角；然后，通过阿贝尔逆变换的方法解算空间折射率场的分布情况，进而获取空间温度场，最后，通过仿真与实验对本文所提方法的有效性及测量精度进而了验证。实验结果表明：与传统的背景纹影法相比，温度场重构误差下降约30%。本文所提的干涉条纹纹影法可有效提高纹影测量精度，拓展纹影温度测量的应用范围。 The temperature field is a common condition-monitoring parameter that is widely used to monitor the condition of large industrial equipment. The schlieren method is an effective flow-field visualization method to measure the spatial temperature field. The traditional schlieren method rebuilds the spatial refractive index field by directly measuring the light deflection angle and then calculating the temperature field. However， the light deflection angle is generally very small， and direct measurements produce large measurement errors. A method that uses interference fringes to amplify the light deflection angle is proposed， effectively improving the measurement accuracy of the schlieren technique. First， interference fringes were formed using a measuring laser that passes through a double slit to replace the random speckle pattern of the traditional schlieren method. When the fringe generated by interference fringes crosses the nonuniform temperature space， the fringe offset was measured by visual measurement， and the light deflection angle was calculated based on the offset. Next， the distribution of the spatial refractive index field was calculated using the Abel inverse transformation method to obtain the spatial temperature field. Finally， the effectiveness and measurement accuracy of the proposed method were verified experimentally using simulation. The experimental results showed that the temperature field reconstruction error induced in our method decreased by approximately 30% compared with the error induced in the traditional schlieren method. The proposed interference fringe schlieren method effectively improves the accuracy of schlieren measurement and expands the application range of schlieren temperature measurement. 纹影法 轴对称温度场 干涉条纹 激光诊断 schlieren method axisymmetric temperature field interference fringe laser-diagnose technology 1 引 言 1 航空发动机的运行状态监测在飞行安全领域发挥着重要作用 ［ 1 1 - 2 2 1-2 ］ 。在航空发动机工作时，尾气产生的温度场中蕴含着大量关于发动机燃烧状态的信息 ［ 3 3 - 4 4 3-4 ］ 。这些状态信息都可以对发动机运行状态控制提供理论依据与数据支持 ［ 5 5 - 6 6 5-6 ］ 。以航空发动机的尾气为例，根据火焰燃烧特性，温度分布按照中心对称并沿着空气流动方向逐渐降低形成三维温度场，采取接触式测温会破坏流场结构，影响温度测量，现阶段常用光学测量法通过测量空气折射率分布实现非接触式测温 ［ 7 7 ］ 。激光吸收光谱测温法是利用光在散射后发生能量衰减来对温度测量 ［ 8 8 - 10 10 8-10 ］ ，常适用于需要搭建大量测量结构的温度场截面测量，在尾气流场这样温度场测量中受到限制。 现代定量纹影测量技术由Moreno-Hernández ［ 11 11 ］ 提出，具有精度高，可视化效果好等优点。纹影系统结构近似为傅里叶光学处理器，使用刀口充当了空间频谱的半平面掩模，对通过待测流场的平行光束实现空间滤波，可以显示出折射率场中的纹影细节 ［ 12 12 ］ 。这一方法受到透镜尺寸的影响，一般测量范围在15 cm左右，多用于实验室内测量。2013年Martinez-Gonzalez ［ 13 13 ］ 采用定标纹影法测量了加热金属板引起的空气自然对流中的温度场，2017年，Alvarez-Herrera ［ 14 14 ］ 通过改良纹影技术完成了发动机内部温度场重建。 反射式纹影技术，是20世纪中期提出的一种将高速相机与反光屏幕和纹影技术相结合的简易纹影法。该方法早期被应用在航空弹道学和直升机旋翼的测试分析中，现在与高速相机摄像、反光屏幕等相结合进行纹影测量 ［ 15 15 ］ 。2017年Gihyeon Min ［ 16 16 ］ 在实验室条件下用此方法对蜡烛、沸腾热水壶、加热器和燃气火炬引起的空气湍流进行了成像。经过亮度补偿后，干涉精度对比原始纹影精度平均提高14.15倍。2018年，Martinez-Gonzalez ［ 17 17 ］ 利用此方法设计了一种测量流体平面温度场的方法，并测量了商业热风枪焊接时喷嘴发出的热空气平面温度场。可以看出，与激光诊断技术 ［ 18 18 ］ 相结合的光学测量方法在温度测量方面具有更高的工程应用价值。结合二者优点的纹影测温方法具有非接触测量、对测量结果响应速度快和空间分辨率高的优势。由于传统的背景纹影法的局限性是测量范围基于相机的成像模型，不可避免存在图像畸变，而边缘位置图像偏移量本身较小，会导致整体测量精度的下降。本文结合纹影成像模型和激光干涉测温等原理，提出了利用干涉条纹光程差解算折射率分布的方法。该方法在保留背景纹影法测量设备简单的基础上，极大地提高了测量的稳定性与精确性。由于激光干涉条纹对折射率场变化敏感且有良好的相干性，因此产生的干涉条纹可以放大光线偏折角，进而有效提高纹影法温度测量精度。 2 干涉条纹纹影轴对称温度场测温原理 1 2.1　干涉条纹的形成及变形原理 2 条纹背景纹影法，是利用光线在通过固定狭缝后会发生的干涉现象对固定场内影响折射率分布因素的测量。 杨氏双缝干涉实验的条纹产生原理如 图1 图1 所示。相干光源 <math id="M1"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629732&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629730&type= 3.38666677 3.72533321 和 <math id="M2"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629736&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629734&type= 3.38666677 3.72533321 由单色点光源 S 垂直射到相邻的两个小孔上，此时两个小孔就相当于两个同相位的次级光源，光束在 xOy 平面上的成像区域叠加会产生条纹图样。这种干涉条纹是由强度相同，相位不同的光干涉产生的。 设定干涉图样存在 xOy 平面上，该平面与 <math id="M3"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629745&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629744&type= 7.02733374 3.72533321 的垂直等分线 CO 正交，且 x 轴平行于 <math id="M4"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629745&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629744&type= 7.02733374 3.72533321 。假设两个小孔的间隔 d 相对于两孔连线到观察面的距离 a 很小，对于点成像平面上的 P （ x，y ）而言，存在路径关系： <math display="block" id="M5"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>P</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629747&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629746&type= 52.15466690 11.17599964 ， <math display="block" id="M6"><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>P</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629749&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629748&type= 52.15466690 11.17599964 . 得到实际路径差： <math display="block" id="M7"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>x</mi><mi>d</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629751&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629750&type= 34.62866592 8.38199997 . 根据温度场的变化， r 1 与 r 2 路径上的折射率值发生改变，同一位置在温度场存在前后的光程差主要受到温度影响，从而改变相位差。在不考虑折射率变化的情况下有相位差关系： <math display="block" id="M8"><mi>δ</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi>n</mi><mi>x</mi><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>a</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629756&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629753&type= 18.79599953 8.38199997 . 由于光在非均匀折射率场中传播时会受到介质的折射率影响改变传播速度，相干光源在经过特定的区域后，产生的相位差会发生变化。由于干涉条纹本身具有尺度的特性，在固定位置的纹影测量实验中，使用条纹干涉纹影测量的方法能够得到条纹偏移的真实距离，从而解算相位差。 条纹是根据相干光源叠加产生的，即等波长，相同传播方向，不同相位的光线叠加，可以看作两个振幅为 <math id="M9"><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629759&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629757&type= 3.04800010 3.72533321 的矢量波 <math id="M10"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629762&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629761&type= 3.80999994 3.72533321 和 <math id="M11"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629764&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629763&type= 3.80999994 3.72533321 的叠加： <math display="block" id="M12"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>∫</mo><mi>k</mi><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mfenced separators="|"><mrow><mo>∫</mo><mi>k</mi><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629766&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629765&type= 42.16400146 18.45733452 . 其中： <math id="M13"><mi>ω</mi><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629768&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629767&type= 3.72533321 2.79399991 由于光源波长相同，频率一致， <math id="M14"><mo>∫</mo><mi>k</mi><mi>r</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629770&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629769&type= 9.48266602 6.60400009 为光线经过高温区域产生的相位变化值。 令相干光源的相位值 <math id="M15"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>k</mi><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629772&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629771&type= 18.54199982 6.60400009 ， <math id="M16"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>∫</mo><mi>k</mi><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629774&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629773&type= 18.54199982 6.60400009 ，根据 <math id="M17"><mi>I</mi><mo>∝</mo><msup><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629776&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629775&type= 9.82133293 3.04800010 ，可以得到光强与相位差之间的函数关系： <math display="block" id="M18"><mi>E</mi><mo>=</mo><mi>A</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>α</mi><mo>-</mo><mi>ω</mi><mi>t</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629778&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629777&type= 30.22599983 3.55599999 ， <math display="block" id="M19"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msup><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>α</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629780&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629779&type= 45.21200180 16.59466553 . 直接通过匹配光强条纹的偏移求得条纹偏移量，进而推出相位差的变化。相干光的相位变化值，可以得到光程差变化量，进而得到光路直线上折射率值的积分。 2.2　基于干涉条纹变形的轴对称温度场重构 2 在理想状态下，火焰温度场呈轴对称均匀分布。因此当火焰处于测量位置中心时，受到温度影响的光线折射率分布也均匀轴对称，从各个视角得到的纹影图像结果相同。假设火焰满足理想温度分布条件，就可以利用一个角度的测量信息反解出火焰的三维温度场分布。 对于轴对称的介质而言，Abel反演公式可以实现从一维投影场重建二维平面结果。构建一个高斯分布的折射率场 n ，则有光线通过的积分路径如 图2 图2 所示。高斯分布的折射率场，有距离中心距离相同处折射率相同的对称特点，由于相干光线位置接近，实际产生的相位差等价于由不同的积分半径造成的积分差，其中 r 表示被测平面任意位置的轴向半径， R 表示测量区域内的最大轴向半径。 根据干涉条纹的产生性质，相位差是光程差与光频率的关系，当光线穿过轴对称折射率场时，由于光线的偏折角极小，在 x 处产生的相位差 <math id="M20"><mi>δ</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629785&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629784&type= 1.94733346 2.79399991 可以根据 公式（8） 公式（8） 计算： <math display="block" id="M21"><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>x</mi><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>n</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi></mrow></mfrac><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mroot><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629787&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629786&type= 44.61933517 10.92199993 ， 其中的变量 n 为归一化折射率，即以测试场周围环境折射率为1等比例求解的折射率分布。此归一化的折射率 n 分布可以由Abel逆变换求得： <math display="block" id="M22"><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msubsup><mrow><mi>δ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>x</mi></mrow><mrow><mroot><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629789&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629788&type= 50.29199982 10.92199993 . 根据此公式求解积分函数时会存在奇点问题，因此求解时采用数值近似方法求解。设定两束相干光线的距离固定，且相干光线相邻两段 <math id="M23"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629791&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629790&type= 18.11866570 3.72533321 的相位差变化量为 <math id="M24"><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629793&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629792&type= 2.70933342 3.72533321 ，积分得到 <math id="M25"><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629795&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629794&type= 7.95866632 3.97933316 为不同位置的折射率梯度。变量 i 和 j 表示光线发生偏折区域的顺序数据点，即积分路径上的顺序。线性算子系数 <math id="M26"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629817&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629816&type= 4.23333359 3.72533321 与相干光线间距 <math id="M27"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629799&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629798&type= 4.14866638 2.79399991 无关系，利用反演算法可以确定： <math display="block" id="M28"><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>⋅</mo><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629801&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629800&type= 26.92399979 9.05933285 . 将 式（10） 式（10） 带入变换公式中，利用辛普森 <math id="M29"><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>/</mo><msup><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629803&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629802&type= 7.19666624 3.47133350 进行求解： <math display="block" id="M30"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>n</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></mfrac><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mo>∫</mo><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></mrow></msubsup><mrow><mfrac><mrow><mi>δ</mi><mfenced separators="|"><mrow><mi>r</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><mi>r</mi></mrow><mo>=</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>π</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>i</mi><mi>n</mi><mi>c</mi><mi>r</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>N</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>r</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mroot><mrow><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>δ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mroot><mrow><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629805&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629804&type= 94.65733337 25.82333374 . 带入得到线性算子系数 <math id="M31"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629817&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629816&type= 4.23333359 3.72533321 ： <math display="block" id="M32"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mroot><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>,</mo></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mtext>   </mtext><mi>j</mi><mo>></mo><mi>i</mi><mtext>  </mtext><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mtext>   </mtext><mi>j</mi><mo>≠</mo><mi>N</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>+</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo>-</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><mroot><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>,</mo></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mtext>   </mtext><mi>j</mi><mo>=</mo><mi>N</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">f</mi><mtext>   </mtext><mi>j</mi><mo><</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629809&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629808&type= 102.70066833 36.49133301 . 通过 <math id="M33"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629817&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629816&type= 4.23333359 3.72533321 外推后，可以得到消除 <math id="M34"><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629813&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629812&type= 7.02733374 3.64066648 处的奇点，得到结果： <math display="block" id="M35"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo stretchy="false">)</mo></mrow></msub><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>i</mi><mo>≤</mo><mi>N</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn><mo>,</mo></mtd><mtd><mi>i</mi><mo>=</mo><mi>N</mi><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629815&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629814&type= 41.65599823 9.65200043 . 此时得到的 <math id="M36"><msub><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629817&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629816&type= 4.23333359 3.72533321 为相位变化值与折射率之间的关系。其中，1标准大气压下，波长为644 nm的可见光在15 ℃且CO 2 含量450 ppm的干燥空气中折射率是1.000 276 4。空气中光的折射率 n 受到传播介质的温度、密度以及光线的波长等条件限制，对于光线的折射率计算存在众多经验公式，符合实验室环境条件选取了Ciddor公式 ［ 19 19 ］ 。将水蒸气含量百分比 <math id="M37"><mi>e</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629819&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629818&type= 8.12800026 2.79399991 ，大气压 <math id="M38"><mi>P</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">101</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">325</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">P</mi><mi mathvariant="normal">a</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629822&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629821&type= 23.87599945 2.87866688 ，光波长 <math id="M39"><mi>λ</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.54</mn><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">μ</mi><mi mathvariant="normal">m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629824&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629823&type= 19.89666748 3.64066648 ，带入可以得到空气的折射率与温度之间的反比关系： <math display="block" id="M40"><mi>n</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>T</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">0.080</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">416</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">13</mn></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629826&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629825&type= 40.38600159 7.87400007 . 2.3　条纹系统对温度场重构的影响 2 因为条纹图案是根据双缝干涉产生的，条纹间距反应了光程差的信息。在系统构型固定的情况下，条纹变化就可以反映该测量空间内空气折射率的变化信息，因此在固定系统构型时需要充分考虑干涉条纹的影响。由于激光干涉的特殊性质，在衍射光线夹角超过6°后，得到的干涉条纹的条纹间距就已经不能视为宽度相等，且随着条纹亮度衰减，对于不同宽度的双缝片的选取在实验中显得更加重要。 在成像平面上，激光器发出的相干光的衍射效果可以近似为夫琅和费衍射，利用近似公式可以得到条纹的光强分布。当相干光线照射在宽度为 d 双缝上，根据惠更斯-菲涅耳原理，双缝上每个间隙都可以视为无数个新的子波源，子波源向各方向发出球面次波，这些次波在成像平面上叠加，可以得到平行于狭缝的条纹图样。 a 为双缝中每一条缝的宽度， λ 为此激光波长。对于是夫琅和费近似，有成像平面上光强的公式 ［ 20 20 ］ ： <math display="block" id="M41"><mi>ψ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><mi>π</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∮</mo><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow/></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>ψ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">r</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><msup><mrow><mo>∇</mo></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>R</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>R</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><msup><mrow><mo>∇</mo></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup><mi>ψ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">r</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629834&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629832&type= 75.09933472 10.41399956 ， <math display="block" id="M42"><mi>ψ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">r</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></mfrac><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo>∮</mo><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow/></munderover></mstyle><mrow><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mi>ψ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">r</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfenced><mfrac><mrow><mo>∂</mo></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfrac><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>R</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mo>-</mo><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi><mi>R</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>R</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced><mfrac><mrow><mo>∂</mo><mi>ψ</mi><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi>r</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>∂</mo><msup><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mi mathvariant="normal">d</mi><msup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629839&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629836&type= 74.42199707 10.41399956 ， <math display="block" id="M43"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>θ</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">4</mn><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>u</mi></mrow><mrow><msup><mrow><mi>u</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msup><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup><mi>v</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>u</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>a</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mfrac><mo>,</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">π</mi><mi>d</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi>θ</mi></mrow><mrow><mi>λ</mi></mrow></mfrac></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629843&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629841&type= 45.21200180 19.30400085 . 可以看出，纹影系统构型对条纹纹影法测量精度存在影响。根据 公式（17） 公式（17） ，对影响成像平面上光强的变量进行仿真比较。 当波长 <math id="M44"><mi>λ</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">560</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629847&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629845&type= 12.36133385 2.79399991 nm时，对于夫琅和费单缝衍射的光线强度可以计算得出。取双缝中心对应成像平面为条纹中心，成像平面距离 l+L =800 mm，对成像平面上条纹图像进行窗口为1的高斯滤波，得到不同狭缝的仿真结果如 图4 图4 所示。 假设一束相干光通过（0，0）位置的双缝经过温度场，选取两组成像平面，根据 公式（17） 公式（17） 可以得到光线穿过折射率场后产生的相应的光程差，如 图5 图5 所示。 1;2; 根据折射率场存在前后光程差变化，根据激光波长固定的原理，可以求解相位差，通过切面验证得到条纹偏移量结果如 图6 图6 所示。 可以看出，调节干涉系统的大小对偏移结果影响成放大倍数关系。当固定双缝和成像平面的距离，调节火焰在干涉系统中位置时，条纹整体宽度无影响，但随折射率变化受到很大影响，如 图7 图7 所示，进而可以得到 图8 图8 所示的干涉条纹的偏移量。 1;2; 当双缝和成像平面位置固定时，温度场距离光源越近在成像平面上得到的条纹偏移越明显。由于光线偏折角的角度很小，因此可以将光线传播路径近似为直线。由于激光传播的性质，光程差就是路径上折射率的积分。因此可以根据条纹偏移结果解算出火焰温度分布。 3 干涉条纹纹影测温的数值模拟 1 由2.3节可知，不同的火焰中心温度对条纹的偏移量存在影响。设定高斯温度场火焰中心位于（1 000，0）处，双缝宽度为0.2，成像平面位于 y =1 500处（单位：mm），分别设定两组轴对称温度场，距离中心的温度如 图9 图9 （a）所示，并根据经验公式求得两组温度场对应的折射率分布。 1;2; 将折射率分布带入仿真程序中，可以得到不同中心温度火焰对应的干涉条纹偏移效果如 图10 图10 所示。可以看出，不同温度的轴对称场对应的折射率场不同，进而导致干涉条纹的最大偏移量位置，以及偏移量都不同。 可以利用 <math id="M45"><mi>δ</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>r</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629909&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=39629908&type= 7.28133297 3.55599999 采用上述Abel逆变换，可以反演求得空间中的折射率分布 n （ r ），由于该给定温度场是标准高斯分布，选取中心角度折射率值进行对比。将中心温度为800 K的条纹偏移量带入 公式（6） 公式（6） 中，可以计算折射率分布，径向温度分布图如图所示，由于区域范围对应实际宽度为20 mm之内，选取200组点进行拟合对比，结果如 图11 图11 （b）所示。 1;2;3;4; 分别选取4种不同的中心温度，采用仿真方法计算条纹偏移对其产生的影响，并采用Abel重建获得温度分布，如 图11 图11 所示。此处产生最大误差的原因是投影过程中采用了离散取值并进行的Abel重建，反演算法时选取了边缘为可靠已知量，累计中会产生累计误差，当投影选取的离散间隔足够小时，误差可以消除。 通过 图11 图11 的数据对比，已知条纹变化量，可以得知对应温度分布中心温度。在这种温度场变化趋势固定的情况下，对中心温度多次求偏移拟合可以得到 图12 图12 所示的最大偏移量与温度的关系。因此可以根据测量得到的最大偏移量推导出中心温度。 4 轴对称温度场条纹纹影重建测量实验 1 用酒精灯模拟轴对称温度场，其中由于火焰燃烧存在的不稳定性，温度真实结果是采用热电偶对火焰固定区域进行长时间测量的平均值。在实验室条件下，采用高精度铂铱热电偶（WRP-130S，测量温度范围为0~1 600 ℃）配备XMTA-308型数字温度显示器以及高精度三坐标平移台对酒精灯火焰进行对应坐标的温度验证。利用条纹纹影法和背景纹影法同时重建酒精灯的火焰截面，辅以热电偶测得的实际温度值。搭建干涉条纹纹影测温系统如 图13 图13 。 在纹影系统之中，由于温度影响产生的折射率场的存在，激光器在成像平面上得到的干涉条纹会发生抖动，预先标定偏移量对激光频率造成的影响进行补偿。本实验中使用功率为50 mW的激光模组进行原理验证。如 图14 图14 所示，先进行小尺度（平面）验证，当波长为540 nm激光时，在成像平面上得到的干涉图样条纹宽度在3 mm左右。 由于50 mW的激光经过衍射后，中央亮条纹整体亮度较高，得到条纹的光强分布曲线 图15 图15 ，即干扰偏移量最大值为4 pix，约单个条纹间距的10%。通过激光准直，可以精确地测量固定热电偶到火焰截面处。相机拍摄的干涉条纹由于明暗特性自身带有宽度信息。 通过与无火焰状态下条纹光强的波形对比，利用相位角和光强成正比的关系，可以求出全部拍摄区域的干涉条纹偏移量如 图16 图16 。根据推导的双缝干涉的光强公式，可以根据条纹的光强衰减变化即可求得相位差。 根据条纹的偏移量，可以积分得到归一化折射率的梯度分布，进而得到的重建温度场如 图17 图17 所示。根据条纹宽度，可以确定相可以确定相机拍摄的范围为20 cm，而由于酒精灯位于狭缝和成像平面中间位置，即重建得到的火焰边界为10 cm左右。 采用背景纹影法重建火焰截面与此方法进行比较，如 图18 图18 所示。 实验将热电偶固定在高精度平移台上，每次沿同一方向移动5.00 mm，根据热电偶测量的酒精灯温度，和重建得到的温度场进行对比。结果如 图19 图19 所示。 考虑到热电偶测温存在传热不均匀的问题，整体重建结果较好。对于酒精灯火焰温度场的重建，背景纹影法平均误差为22.7 ℃，对应的测量误差范围为0.5 mm；相比条纹纹影法测量范围可达到0.2 mm，对应平均误差为15.8 ℃。 5 结 论 1 本文详细地推导了干涉条纹纹影法轴对称温度场测温的原理，搭建了一个干涉条纹纹影系统，通过对轴对称温度场的仿真和实验，重建出轴对称火焰的温度分布。 提出了基于干涉条纹纹影系统的轴对称温度测量方法。通过相机拍摄激光干涉得到的偏移条纹信号，进而推断出待测区域的折射率场分布。利用相机的成像，与传统激光光谱测温方法相比，增大了测量区域。通过引入激光干涉，简化了传统纹影技术的复杂装置的同时，保留了纹影技术高分辨率的特点。数值模拟和对比实验的结果表明，本文提出的方法可以实现轴对称场的温度测量。在后续研究中，将进一步研究基于多角度层析重构的非轴对称温度场重构方法。 参考文献 李航 ， 张洋铭 . 基于状态监测数据的航空发动机剩余寿命在线预测 ［J］. 南京航空航天大学学报 ， 2020 ， 52 （ 4 ）： 572 - 579 . doi: 10.16356/j.1005 http://dx.doi.org/10.16356/j.1005 基于状态监测数据的航空发动机剩余寿命在线预测 LI H ， ZHANG Y M . Online remaining useful lifetime prediction for aero-engine based on condition monitoring data ［J］. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics ， 2020 ， 52 （ 4 ）： 572 - 579 . （in Chinese） . doi: 10.16356/j.1005 http://dx.doi.org/10.16356/j.1005 Online remaining useful lifetime prediction for aero-engine based on condition monitoring data GUO J C ， JIANG H ， ZHONG Z R ， et al . Online monitoring experiments of turbo-shaft engine based on electrostatic sensor ［J］. Aircraft Engineering and Aerospace Technology ， 2021 ， 93 （ 5 ）： 745 - 754 . doi: 10.1108/aeat-07-2020-0132 http://dx.doi.org/10.1108/aeat-07-2020-0132 Online monitoring experiments of turbo-shaft engine based on electrostatic sensor 于之靖 ， 李雁玲 ， 郑建文 ， 等 . 采用纹影法的微型航空发动机尾喷温度场测量方法 ［J］. 光学技术 ， 2020 ， 46 （ 4 ）： 420 - 426 . 采用纹影法的微型航空发动机尾喷温度场测量方法 YU ZH J ， LI Y L ， ZHENG J W ， et al . The temperature field measurement method by using schlieren method for micro aero-engine ［J］. Optical Technique ， 2020 ， 46 （ 4 ）： 420 - 426 . （in Chinese） The temperature field measurement method by using schlieren method for micro aero-engine 饶剑 ， 马国鹭 ， 宋子军 ， 等 . 基于微粒示踪的燃烧尾喷流速场测量方法研究 ［J］. 光学技术 ， 2021 ， 47 （ 5 ）： 577 - 581 . 基于微粒示踪的燃烧尾喷流速场测量方法研究 RAO J ， MA G L ， SONG Z J ， et al . Research on measurement method of velocity field for combustion exhaust plume based on particle tracing ［J］. Optical Technique ， 2021 ， 47 （ 5 ）： 577 - 581 . （in Chinese） Research on measurement method of velocity field for combustion exhaust plume based on particle tracing HE Z Y ， SHAO H D ， DING Z Y ， et al . Modified deep autoencoder driven by multisource parameters for fault transfer prognosis of aeroengine ［J］. IEEE Transactions on Industrial Electronics ， 2022 ， 69 （ 1 ）： 845 - 855 . doi: 10.1109/tie.2021.3050382 http://dx.doi.org/10.1109/tie.2021.3050382 Modified deep autoencoder driven by multisource parameters for fault transfer prognosis of aeroengine SONG F C ， WU J ， ZHU Y H ， et al . Temperature field reconstruction method for aero engine exhaust using the colored background oriented Schlieren technology ［J］. Optoelectronics Letters ， 2022 ， 18 （ 4 ）： 243 - 250 . doi: 10.1007/s11801-022-1139-1 http://dx.doi.org/10.1007/s11801-022-1139-1 Temperature field reconstruction method for aero engine exhaust using the colored background oriented Schlieren technology 杨曦 ， 孙鹏帅 ， 庞涛 ， 等 . 激光吸收光谱系统中气室的高精度温控设计 ［J］. 光学学报 ， 2020 ， 40 （ 12 ）： 205 - 213 . doi: 10.3788/aos202040.1230001 http://dx.doi.org/10.3788/aos202040.1230001 激光吸收光谱系统中气室的高精度温控设计 YANG X ， SUN P SH ， PANG T ， et al . High precision temperature control design of gas cell in laser absorption spectroscopy system ［J］. Acta Optica Sinica ， 2020 ， 40 （ 12 ）： 205 - 213 . （in Chinese） . doi: 10.3788/aos202040.1230001 http://dx.doi.org/10.3788/aos202040.1230001 High precision temperature control design of gas cell in laser absorption spectroscopy system 周王峥 ， 王珍珍 ， 严俊杰 ， 等 . 带压燃烧场2D温度分布的激光吸收光谱测量初步研究 ［J］. 推进技术 ， 2021 ， 42 （ 9 ）： 2129 - 2137 . 带压燃烧场2D温度分布的激光吸收光谱测量初步研究 ZHOU W ZH ， WANG ZH ZH ， YAN J J ， et al . Preliminary study on 2D temperature distribution in pressure combustion field by using tunable diode laser absorption spectroscopy ［J］. Journal of Propulsion Technology ， 2021 ， 42 （ 9 ）： 2129 - 2137 . （in Chinese） Preliminary study on 2D temperature distribution in pressure combustion field by using tunable diode laser absorption spectroscopy BONG C ， LEE J ， SUN H ， et al . TDLAS measurements of temperature and water vapor concentration in a flameless MILD combustor ［J］. Measurement Science and Technology ， 2021 ， 32 （ 5 ）： 055204 . doi: 10.1088/1361-6501/abd8ff http://dx.doi.org/10.1088/1361-6501/abd8ff TDLAS measurements of temperature and water vapor concentration in a flameless MILD combustor 李国华 ， 胡志云 ， 王晟 ， 等 . 基于相干反斯托克斯拉曼散射的二维温度场扫描测量 ［J］. 光学 精密工程 ， 2016 ， 24 （ 1 ）： 14 - 19 . doi: 10.3788/ope.20162401.0014 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20162401.0014 基于相干反斯托克斯拉曼散射的二维温度场扫描测量 LI G H ， HU ZH Y ， WANG SH ， et al . 2D scanning CARS for temperature distribution measurement ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2016 ， 24 （ 1 ）： 14 - 19 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20162401.0014 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20162401.0014 2D scanning CARS for temperature distribution measurement ALVAREZ-HERRERA C ， MORENO-HERNÁ NDEZ D ， BARRIENTOS-GARCÍA B ， et al . Temperature measurement of air convection using a Schlieren system ［J］. Optics & Laser Technology ， 2009 ， 41 （ 3 ）： 233 - 240 . doi: 10.1016/j.optlastec.2008.07.004 http://dx.doi.org/10.1016/j.optlastec.2008.07.004 Temperature measurement of air convection using a Schlieren system WU J ， LI Y L ， SONG F C ， et al . 3D non-axisymmetric temperature field measurement using rotating tomographic mechanism schlieren method ［J］. Measurement Science and Technology ， 2021 ， 32 （ 12 ）： 125204 . doi: 10.1088/1361-6501/ac1ede http://dx.doi.org/10.1088/1361-6501/ac1ede 3D non-axisymmetric temperature field measurement using rotating tomographic mechanism schlieren method MARTÍNEZ-GONZÁLEZ A ， MORENO-HERN ÁNDEZ D ， GUERRERO-VIRAMONTES J A . Measurement of temperature and velocity fields in a convective fluid flow in air using schlieren images ［J］. Applied Optics ， 2013 ， 52 （ 22 ）： 5562 - 5569 . doi: 10.1364/ao.52.005562 http://dx.doi.org/10.1364/ao.52.005562 Measurement of temperature and velocity fields in a convective fluid flow in air using schlieren images ALVAREZ-HERRERA C ， MORENO-NIETO A R ， MURILLO-RAMÍREZ J G . Study of Temperature Distribution Over a Stirling Engine by Using the Schlieren Technique ［M］. Cham ： Springer International Publishing ， 2016 . doi: 10.1007/978-3-319-28513-9_12 http://dx.doi.org/10.1007/978-3-319-28513-9_12 Study of Temperature Distribution Over a Stirling Engine by Using the Schlieren Technique HARGATHER M J ， SETTLES G S . Retroreflective shadowgraph technique for large-scale flow visualization ［J］. Applied Optics ， 2009 ， 48 （ 22 ）： 4449 - 4457 . doi: 10.1364/ao.48.004449 http://dx.doi.org/10.1364/ao.48.004449 Retroreflective shadowgraph technique for large-scale flow visualization MIN G ， LEE B T ， KIM N W ， et al . Pattern-projected schlieren imaging method using a diffractive optics element ［J］. Measurement Science and Technology ， 2018 ， 29 （ 4 ）： 045403 . doi: 10.1088/1361-6501/aaa6ed http://dx.doi.org/10.1088/1361-6501/aaa6ed Pattern-projected schlieren imaging method using a diffractive optics element MARTÍNEZ-GONZÁLEZ A ， MORENO-HERNÁNDEZ D ， GUERRERO-VIRAMONTES J A ， et al . Temperature measurement of fluid flows by using a focusing schlieren method ［J］. Sensors （Basel， Switzerland） ， 2018 ， 19 （ 1 ）： 12 . doi: 10.3390/s19010012 http://dx.doi.org/10.3390/s19010012 Temperature measurement of fluid flows by using a focusing schlieren method 刘洋 ， 张天舒 ， 赵雪松 ， 等 . 高精度测温拉曼激光雷达光谱仪的光学设计 ［J］. 光学 精密工程 ， 2018 ， 26 （ 8 ）： 1904 - 1909 . doi: 10.3788/ope.20182608.1904 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20182608.1904 高精度测温拉曼激光雷达光谱仪的光学设计 LIU Y ， ZHANG T SH ， ZHAO X S ， et al . Optical design and analysis of laser radar spectrometer with high accuracy ［J］. Opt. Precision Eng. ， 2018 ， 26 （ 8 ）： 1904 - 1909 . （in Chinese） . doi: 10.3788/ope.20182608.1904 http://dx.doi.org/10.3788/ope.20182608.1904 Optical design and analysis of laser radar spectrometer with high accuracy CIDDOR P E . Refractive index of air： new equations for the visible and near infrared ［J］. Applied Optics ， 1996 ， 35 （ 9 ）： 1566 - 1573 . doi: 10.1364/ao.35.001566 http://dx.doi.org/10.1364/ao.35.001566 Refractive index of air： new equations for the visible and near infrared HARGATHER M J ， SETTLES G S . A comparison of three quantitative schlieren techniques ［J］. Optics and Lasers in Engineering ， 2012 ， 50 （ 1 ）： 8 - 17 . doi: 10.1016/j.optlaseng.2011.05.012 http://dx.doi.org/10.1016/j.optlaseng.2011.05.012 A comparison of three quantitative schlieren techniques 10.37188/OPE.20233102.0150 TB874 A 1004-924X（2023）02-0150-10 吴军,宋丰成,潘智祥等.采用干涉条纹纹影法的轴对称温度场测量[J].光学精密工程,2023,31(02):150-159. 吴军,宋丰成,潘智祥等.采用干涉条纹纹影法的轴对称温度场测量[J].光学精密工程,2023,31(02):150-159. WU Jun,SONG Fengcheng,PAN Zhixiang,et al.Measurement of axisymmetric temperature field by interference fringe Schlieren method[J].Optics and Precision Engineering,2023,31(02):150-159. WU Jun,SONG Fengcheng,PAN Zhixiang,et al.Measurement of axisymmetric temperature field by interference fringe Schlieren method[J].Optics and Precision Engineering,2023,31(02):150-159. 国家自然科学基金资助项目（No.52005500，No.62173331）；天津市教委科研计划资助项目（No.2020KJ013） 2022-07-25 2022-11-08 2023-01-25 2023-02-08 光学精密工程 2 31