Application of principal component algorithm in spindle thermal error modeling of CNC machine tools

主成分算法在数控机床主轴热误差补偿中的应用 Application of principal component algorithm in spindle thermal error modeling of CNC machine tools 1 first-author 魏新园（1994-），男，安徽淮北人，博士，讲师，2015年和2020年于合肥工业大学分别获得学士和博士学位，现为安徽工业大学电气与信息工程学院讲师，主要从事精密数控机床热误差建模理论与精度保障技术研究。E-mail：weixy@ahut.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007497&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007501&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007499&type= 22.01333237 32.00401306 魏新园 （1994-），男，安徽淮北人，博士，讲师，2015年和2020年于合肥工业大学分别获得学士和博士学位，现为安徽工业大学电气与信息工程学院讲师，主要从事精密数控机床热误差建模理论与精度保障技术研究。E-mail： weixy@ahut.edu.cn weixy@ahut.edu.cn 1 2 corresp E-mail： miaoem@163.com E-mail： miaoem@163.com 苗恩铭（1970-），男，安徽阜阳人，博士生导师、教授，2004年于合肥工业大学获得博士学位，主要研究方向为精密机械工程、精度理论、数控机床热误差补偿、机械热鲁棒性结构设计理论与应用技术。E-mail：miaoem@163.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007503&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007507&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007504&type= 22.01332855 32.00399780 苗恩铭 （1970-），男，安徽阜阳人，博士生导师、教授，2004年于合肥工业大学获得博士学位，主要研究方向为精密机械工程、精度理论、数控机床热误差补偿、机械热鲁棒性结构设计理论与应用技术。E-mail： miaoem@163.com miaoem@163.com 1 3 安徽工业大学 电气与信息工程学院，安徽 马鞍山 243032 安徽工业大学 电气与信息工程学院，安徽 马鞍山 243032 School of Electrical and Information Engineering， Anhui University of Technology， Ma’anshan 243032， China School of Electrical and Information Engineering， Anhui University of Technology， Ma’anshan 243032， China 重庆理工大学 机械工程学院，重庆 400054 重庆理工大学 机械工程学院，重庆 400054 School of Mechanical Engineering， Chongqing University of Technology， Chongqing 400054， China School of Mechanical Engineering， Chongqing University of Technology， Chongqing 400054， China 合肥工业大学 仪器科学与光电工程学院，安徽 合肥 230009 合肥工业大学 仪器科学与光电工程学院，安徽 合肥 230009 School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China School of Instrument Science and Opto-electronics Engineering， Hefei University of Technology， Hefei 230009， China 为了提高数控机床热误差补偿模型的预测精度与稳健性，对主成分算法在数控机床主轴热误差建模中的应用进行了研究。首先，根据主成分算法原理，提出基于主成分分析的温度敏感点选择算法和热误差建模算法。然后，以一台三轴立式加工中心为对象进行全年温度范围内的主轴热误差测量实验，并基于实验数据建立主轴热误差主成分回归（Principal Component Regression， PCR）模型。进而，将所建立的PCR模型与多元线性回归模型、BP神经网络模型和岭回归模型的预测精度与稳健性进行比对分析，实验结果表明PCR模型在该四种模型中具有最高的预测精度和稳健性，分别达到6.8 μm和2.4 μm。最后，使用所建立的PCR模型对按照转速图谱运行的机床主轴热误差进行预测，预测精度和稳健性分别为6.12 μm和3.43 μm。并将PCR模型嵌入到热误差补偿控制器中进行热误差补偿实验，以验证本文建模算法的有效性。 To improve the prediction accuracy and robustness of the spindle thermal error compensation model of computer numerical control （CNC） machine tools， this study investigates the application of the principal component algorithm to the thermal error modeling of CNC machine tools. First， a selection algorithm of the temperature sensitive point and thermal error modeling algorithm based on principal component algorithm are proposed. Second， a three-axis vertical machining center is used to measure the spindle thermal error over an entire year. Thereafter， the principal component regression （PCR） model of the spindle thermal error is established based on the experimental data obtained. Then， the prediction accuracy and robustness of the PCR model are compared with those of the multivariate linear regression， back propagation （BP） neural network， and ridge regression models. The experimental results show that the PCR model has the highest prediction accuracy （6.8 μm） and robustness （2.4 μm）. Finally， the developed PCR model is used to predict the thermal errors of machine spindles that operate according to the speed spectrum. In this case， the model exhibits a prediction accuracy and robustness of 6.12 μm and 3.43 μm， respectively. Finally， the PCR model is embedded into the thermal error compensation controller for performing thermal error compensation experiments to verify the effectiveness of the proposed modeling algorithm. 机床主轴热误差 主成分 建模算法 模型稳健性 thermal error of machine tools spindle principal component modeling algorithm model robustness 1 引　言 1 随着机床朝着高精度、智能化、高速和高可靠性的方向发展，热误差对机床精度的影响逐渐占主导地位 ［ 1 1 ］ 。机床热误差是由于内外部热源变化导致零部件产生热变形，从而造成刀具与工件之间的相对位置发生变化 ［ 2 2 ］ 。对于机床热误差问题，一方面可以通过热源控制和结构设计减少零部件的热变形，即硬件预防法 ［ 3 3 ］ 。另一方面可以通过建立热误差关于温度的预测模型，对热误差进行预测和补偿，即软件补偿法 ［ 4 4 ］ 。软件补偿法以其成本低和易于实现等优点较常被采用，其核心理论技术包括热误差测量方法、建模理论和补偿技术。其中热误差建模算法是影响最终补偿效果的关键，所建立的热误差预测模型需要具有高预测精度和高稳健性 ［ 5 5 ］ 。 多元线性回归算法（Multiple Linear Regression，MLR） ［ 6 6 ］ 常用于建立热误差预测模型，并且建模精度随着模型阶次的增大而提高，但模型对其他批次实验的预测精度下降。常用的建模算法还有神经网络 ［ 7 7 - 8 8 7-8 ］ 、支持向量机 ［ 9 9 - 10 10 9-10 ］ 和时间序列 ［ 11 11 - 12 12 11-12 ］ 等；新的建模方法如无模型数据驱动建模方法 ［ 13 13 ］ 和无偏估计法 ［ 14 14 ］ 等。神经网络算法通过增加训练次数能够显著提高热误差建模精度，但需要大量的热误差样本数据，不利于在工程应用中推广。支持向量机算法在处理高维、非线性数据中具有显著优势，但算法较为复杂，对补偿控制器的性能要求较高。 此外由于机床内外部热源之间具有复杂的耦合关系 ［ 15 15 ］ ，温度变量之间具有严重的多重共线性 ［ 16 16 ］ 问题，会进一步造成模型稳健性下降。因此在建模之前通常需要对用于建模的温度测点进行筛选，即温度敏感点（Temperature Sensitive Points，TSP）选择 ［ 17 17 ］ 。模糊聚类结合灰色关联算法（Fuzzy clustering combined with grey correlation algorithm，FCGC） ［ 18 18 ］ 常用于TSP选择，该算法首先对温度测点进行分类以降低温度测点之间共线性的影响，然后从每一类中选择与热误差相关性最大的温度测点作为TSP。按照这一思想，有学者提出粗糙集理论结合灰色关联度算法 ［ 19 19 ］ 和模糊聚类结合相关系数算法 ［ 20 20 ］ 等TSP选择算法。同时有学者基于其它思路进行TSP选择，Tan et al.提出一种基于包装机器方法的TSP选择算法 ［ 21 21 ］ ；Fu et al.提出一种将机床划分为不同区域，进而从不同区域中选择全局最优TSP的方法 ［ 22 22 ］ 。 主成分回归（Principle Component Regression， PCR） ［ 23 23 - 24 24 23-24 ］ 、岭回归 ［ 25 25 ］ 和偏最小二乘 ［ 26 26 ］ 等偏回归算法自身能够有效抑制自变量间多重共线性的影响，有学者使用这些算法建立热误差预测模型，并取得了较好的预测效果。但存在的问题是当外部环境温度变化较大时，模型的稳健性难以得到保证。对此，本文对全年范围内的机床主轴热误差数据进行分析，提出了基于主成分分析（Principal Component Analysis， PCA）的热误差稳健建模算法。该算法不再对温度变量进行分类，而是直接基于PCA选择对热误差影响权重大的温度变量作为TSP，以保证参与建模的温度变量中包含充分的温度信息。进而使用PCR算法建立热误差预测模型，以消除TSP之间共线性对建模效果的影响。本文以一台三轴立式加工中心为对象，通过实验研究分析了本文所提建模算法中TSP个数对建模效果的影响规律，从而确定最佳的TSP个数。然后根据TSP选择结果建立相应的热误差PCR模型，并将所建立的PCR模型与多元线性回归模型、BP神经网络模型和岭回归模型进行预测效果比对分析。最后，使用所建立的PCR模型对按照转速图谱运行的机床主轴热误差进行预测，并将PCR模型嵌入到热误差补偿控制器中进行热误差补偿实验，以验证本文建模算法的有效性。实验结果表明，本文所提基于PCA的机床主轴稳健建模算法具有高预测精度和高稳健性。本文的研究对于机床主轴热误差建模和补偿具有重要的理论价值和实际工程意义。 2 主成分建模算法 1 首先介绍主成分算法基本原理，进而提出基于PCA的TSP选择算法，并分析热误差PCR建模算法。 2.1　PCA基本原理 2 PCA是一种常用的降维算法，该算法可以使用少数不相关的变量，即主成分，取代原有多个相关性较高的变量。设原始数据 <math id="M1"><mi>p</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007510&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007509&type= 1.86266661 3.64066648 个变量 <math id="M2"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007514&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007512&type= 19.13466644 4.14866638 的样本观测值为 <math id="M3"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007518&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007516&type= 20.91266632 4.14866638 ，其中 <math id="M4"><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>N</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007522&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007520&type= 34.37466812 4.65666676 ， <math id="M5"><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mi>p</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007527&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007524&type= 19.13466644 3.64066648 ， <math id="M6"><mi>N</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007532&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007530&type= 2.87866688 2.87866688 为样本点个数。则主成分 <math id="M7"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007696&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007694&type= 3.13266683 3.72533321 可表示为： <math display="block" id="M8"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007541&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007539&type= 53.00133133 3.80999994 ， 其中，对于每一个 <math id="M9"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007718&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007716&type= 1.10066664 2.79399991 值，需要满足三个条件：① <math id="M10"><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007548&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007546&type= 16.08666801 9.39799976 ；② <math id="M11"><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mtext> </mtext><mi>V</mi><mi>a</mi><mi>r</mi><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007554&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007552&type= 20.65866661 4.91066647 ；③ <math id="M12"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mi mathvariant="normal">相</mi><mi mathvariant="normal">互</mi><mi mathvariant="normal">正</mi><mi mathvariant="normal">交</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007558&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007556&type= 18.20333290 4.40266657 。 2.2　基于PCA的TSP选择 2 基于上述基本原理，本文提出一种基于PCA的TSP选择算法。该算法首先选择出贡献率最低的主成分，然后将该主成分中系数绝对值最大的一个变量剔除，因为该变量对该主成分贡献率低的影响作用最大。之后对剩余变量进行PCA，并重复上述剔除过程，直至剩余的变量个数满足TSP个数要求。这种逐步剔除变量的做法可以保证剩余温度变量中包含有效的温度信息，从而简化模型结构并提高稳健性。本文没有直接选择贡献率最高的主成分中系数绝对值最大的变量作为温度敏感点，原因在于其余主成分中可能同样包含重要的温度信息，其中的变量可能同样具有较大的影响权重。如果只从贡献率最高的主成分选择TSP，有可能出现漏选的情况。基于PCA的TSP选择具体步骤如下： （1）首先将原始数据 <math id="M13"><mi mathvariant="normal">X</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007562&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007560&type= 29.63333130 4.48733330 标准化得到 <math id="M14"><msup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msup><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007567&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007565&type= 31.15733528 4.65666676 。标准化公式为： <math display="block" id="M15"><msubsup><mrow><mi mathvariant="normal">X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mi>E</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mroot><mrow><mi>D</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007571&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007568&type= 48.93733215 10.75266743 . （2）根据原始数据 <math id="M16"><mi mathvariant="normal">X</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007574&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007572&type= 25.82333374 4.48733330 的相关矩阵 <math id="M17"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi mathvariant="normal">ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>×</mo><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007578&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007577&type= 17.78000069 4.99533367 的特征值 <math id="M18"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007630&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007627&type= 2.53999996 3.72533321 和相应的特征向量，求得主成分 <math id="M19"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007696&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007694&type= 3.13266683 3.72533321 ： <math display="block" id="M20"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>…</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>k</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>k</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007594&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007591&type= 54.61000061 18.79599953 ， 其中， <math id="M21"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></mrow><mrow><mo>·</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">[</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>i</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">]</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007600&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007597&type= 27.94000053 4.65666676 为相关矩阵 <math id="M22"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007634&type= 2.70933342 2.79399991 的特征向量。 （3）计算出每个主成分的贡献率，选择贡献率最小的一个主成分。第 <math id="M23"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007718&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007716&type= 1.10066664 2.79399991 个主成分的贡献率 <math id="M24"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007723&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007721&type= 3.80999994 3.80999994 为： <math display="block" id="M25"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub></mrow></mrow></mfrac><mo stretchy="false">(</mo><mi>j</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>k</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007623&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007620&type= 38.52333450 14.13933277 . 其中， <math id="M26"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007630&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007627&type= 2.53999996 3.72533321 为相关矩阵 <math id="M27"><mi mathvariant="bold-italic">R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007634&type= 2.70933342 2.79399991 的特征值。从上式中可以看出主成分贡献率的大小是由特征值决定的。 （4）在贡献率最小的一个主成分中，选择对该主成分占最大权重的变量，即模型系数绝对值最大的变量。设贡献率最小的主成分为 <math id="M28"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007643&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007640&type= 3.13266683 3.72533321 ，则从 <math id="M29"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007696&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007694&type= 3.13266683 3.72533321 的表达式 <math id="M30"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mi>k</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007655&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007652&type= 51.30799866 4.06400013 中，挑选出绝对值最大的 <math id="M31"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">j</mi><mi mathvariant="bold-italic">i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007660&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007658&type= 2.87866688 3.72533321 所对应的变量 <math id="M32"><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007665&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007663&type= 3.21733332 3.97933316 ，然后把第 <math id="M33"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007672&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007668&type= 1.10066664 3.64066648 个变量剔除。其中： <math id="M34"><mi>i</mi><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007677&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007675&type= 7.45066643 3.64066648 分别表示主成分序号、自变量序号和自变量的个数。 （5）使用剔除之后的变量数据，重复步骤（1）~（4），直至剩余的变量个数为要求的TSP个数，即完成TSP选择。 2.3　基于PCR的热误差建模算法 2 机床热误差数据与温度数据之间不存在数量级上的差别，因此本文提出使用原始数据的协方差矩阵计算主成分。这样能够避免使用相关矩阵计算主成分时，原始数据间的真实离散程度丢失。算法具体步骤如下： （1）计算原始数据 <math id="M35"><mi mathvariant="normal">X</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007683&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007680&type= 29.63333130 4.48733330 的协方差矩阵 <math id="M36"><mi>Q</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi>c</mi><mi>o</mi><msub><mrow><mi>v</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub><msub><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>×</mo><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007689&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007686&type= 21.42066574 4.48733330 ，进而计算其特征值和相应的特征向量，可求得主成分 <math id="M37"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007696&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007694&type= 3.13266683 3.72533321 如 式（5） 式（5） 所示。 <math display="block" id="M38"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>…</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>p</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>p</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mi>*</mi><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007702&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007698&type= 54.69466782 18.79599953 ， 其中， <math id="M39"><msub><mrow><mi mathvariant="bold-italic">e</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="bold-italic">i</mi><mi mathvariant="bold-italic">j</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007709&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007704&type= 2.87866688 3.72533321 为协方差矩阵 <math id="M40"><mi>Q</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007715&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007712&type= 2.87866688 3.21733332 的特征向量 （2）根据累积贡献率选择主成分。第 <math id="M41"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007718&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007716&type= 1.10066664 2.79399991 个主成分的贡献率 <math id="M42"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007723&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007721&type= 3.80999994 3.80999994 如 式（4） 式（4） 所示，将主成分按照贡献率降序排列。累积贡献率 <math id="M43"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>g</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007730&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007727&type= 4.14866638 3.80999994 指前 <math id="M44"><mi>g</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007735&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007732&type= 1.94733346 3.64066648 个主成分贡献率的求和。通常选取 <math id="M45"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>g</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007741&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007738&type= 4.14866638 3.80999994 大于85%的主成分，本文中为了避免数据信息丢失选取 <math id="M46"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>g</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007749&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007745&type= 4.14866638 3.80999994 大于95%的主成分。 （3）建立因变量 <math id="M47"><mi mathvariant="normal">y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007755&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007751&type= 1.86266661 3.64066648 与所选主成分的回归模型： <math display="block" id="M48"><mi>y</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>g</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>g</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007761&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007758&type= 45.80466461 4.65666676 . （4）将 式（5） 式（5） 带入回归方程 式（6） 式（6） 中得到原始数据 <math id="M49"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>…</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007768&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007765&type= 18.54199982 4.48733330 与因变量 <math id="M50"><mi>y</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007774&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007771&type= 1.86266661 3.72533321 之间的方程式： <math display="block" id="M51"><mi>y</mi><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mo>…</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007780&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007777&type= 53.17066193 4.65666676 ， 其中，常数项 <math id="M52"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007786&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007783&type= 3.04800010 3.72533321 通过下式计算得到： <math display="block" id="M53"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mover accent="true"><mi>y</mi><mo>¯</mo></mover><mo>-</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mi>*</mi><mover><mrow><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007794&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007789&type= 27.43199921 8.97466660 . 上述步骤没有对原始数据进行标准化处理，因此在建立热误差关于主成分的回归模型后，不需要进行标准化还原。 3 热误差测量实验 1 3.1　实验装置 2 本文以一台Vcenter-55型号的三轴立式加工中心为实验对象进行热误差测量实验，机床实物如 图1 图1 所示。 热误差测量参考国际标准《机床检验通则第3部分：热效应的确定》（ISO 230-3：2020） ［ 27 27 ］ ，使用五点测量法。在X、Y和Z三个方向分别使用2个、2个和1个测量精度为1 μm的高精度电容位移传感器，如 图2 图2 所示。 图2 图2 中T1~T9为同步测量机床9处关键位置温度信息的铂电阻温度传感器，测量精度为0.1 ℃。T10没有在图中画出，位于机床外壳上测量环境温度。10个温度传感器安放位置及作用如 表1 表1 所示。 传感器 安放位置 作用 T1~T5 主轴前轴承 测量电机发热 T7，T8 主轴外箱 测量主轴发热 T6，T9 主轴电机 测量主轴发热 T10 机床外壳 测量环境温度 3.2　实验安排 2 在每批次实验过程中机床主轴以恒定转速空转，工作台沿 X ， Y 轴向以恒定进给速度往返运行，每运行5 min测量并保存一次热误差和温度数据，整个实验过程不低于6 h。本文在全年时间内不同环境温度下，共进行9批次热误差测量实验，记为K1-K9，各批次实验参数如 表2 表2 所示。其中主轴转速设定为2 000，4 000和6 000 r·min - 1 三种不同转速。由于本文主要对机床主轴热误差进行研究，而工作台进给速度对机床主轴热误差规律影响较小，因此本文在实验过程中选取一个常用的工作台进给速度进行实验，即进给速度设定为1 500 mm·min - 1 。 批次 环境温度 范围/℃ 主轴转速/r·min -1 进给速度/mm·min -1 K1 3.81-6.00 2 000 9 1500 K2 2.94-4.94 4 000 K3 3.62-7.19 6 000 K4 9.00-10.93 2 000 K5 13.81-16.00 4 000 K6 12.94-14.94 6 000 K7 21.12-24.81 2 000 K8 28.68-33.75 4 000 K9 32.37-35.06 6 000 3.3　实验数据分析 2 经过统计，以上各批次实验的初始环境温度分布范围为2.94~32.37 ℃，说明全年环境温度范围较大。对实验数据进一步处理分析，可绘制出各批次实验的热误差变化曲线和温度变化曲线， 图3 图3 和 图4 图4 为K1与K9批次实验的10个关键位置的温度变化曲线。 同理可绘制出9批次实验的Z向热误差变化曲线，如 图5 图5 所示，从图中可观察出，不同环境温度下机床热误差变化规律存在明显差别。 4 基于主成分的热误差模型建立 1 根据前面介绍的热误差建模算法，对9批次热误差数据进行建模分析。首先筛选TSP，然后建立热误差PCR模型，进而分析最佳的TSP个数。 4.1　TSP选择 2 以选择2个TSP为例介绍基于PCA的TSP选择过程。如计算K1批次实验10个温度变量的主成分，其贡献率如 表3 表3 所示。 <math id="M54"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007885&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007881&type= 2.70933342 3.21733332 <math id="M55"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007895&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007891&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M56"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007903&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007899&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M57"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>3</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007912&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007907&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M58"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>4</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007923&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007919&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M59"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>5</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007927&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M60"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>6</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007940&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007936&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M61"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>7</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007948&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007945&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M62"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>8</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007956&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007953&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M63"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>9</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007963&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007960&type= 3.04800010 3.21733332 <math id="M64"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn>10</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007971&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007967&type= 3.89466691 3.21733332 <math id="M65"><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007978&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007974&type= 3.30200005 3.21733332 98.5 1.35 0.11 0.02 0.01 0 0 0 0 0 表3 表3 中各主成分是按照贡献率降序排列后的结果，即 <math id="M66"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007995&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24007991&type= 4.48733330 3.72533321 贡献率最低。因此应该首先根据 <math id="M67"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008026&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008022&type= 4.48733330 3.72533321 中的变量系数大小来剔除温度变量。 <math id="M68"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008010&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008006&type= 4.48733330 3.72533321 表达式为： <math display="block" id="M69"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.27</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0.51</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.38</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.04</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0.23</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0.22</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">5</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.10</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.26</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">0.26</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">8</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.14</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">9</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0.57</mn><msubsup><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow><mrow><mi>*</mi></mrow></msubsup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008018&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008014&type= 66.88666534 13.54666710 由 式（9） 式（9） 可知 <math id="M70"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008026&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008022&type= 4.48733330 3.72533321 中变量 <math id="M71"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008034&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008029&type= 4.14866638 3.72533321 的系数绝对值最大，因此剔除温度变量T10。然后从剩余的9个温度测点数据中重复上述主成分计算和剔除变量的过程，直至剩余2个温度变量，即为选择的TSP。上述过程可通过MATLAB软件编程实现，经过计算可得K1~K9各批次数据的TSP选择结果，如 表4 表4 所示。 批次 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 结果 1，7 1，7 1，7 1，7 1，10 1，10 1，8 8，10 1，8 4.2　PCR模型的建立 2 使用所选择的TSP建立热误差PCR模型，仍以K1批次数据为例进行介绍。由 表4 表4 可知K1批次数据的TSP为T1，T7，即建模自变量为 <math id="M72"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008122&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008119&type= 6.18066692 3.72533321 ， <math id="M73"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008055&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008052&type= 6.18066692 3.72533321 。根据建模变量的协方差矩阵Q可得主成分 <math id="M74"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008096&type= 3.47133350 3.72533321 和 <math id="M75"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008069&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008066&type= 3.47133350 3.72533321 分别为： <math display="block" id="M76"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.708</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">9</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.705</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.705</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0.708</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">9</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008077&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008073&type= 49.36066818 8.80533314 . 该两个主成分的贡献率分别为99.88%和0.12%，因此选取第一个主成分 <math id="M77"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008096&type= 3.47133350 3.72533321 用于建立热误差变量 <math id="M78"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008092&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008089&type= 3.04800010 4.57200003 关于主成分 <math id="M79"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008099&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008096&type= 3.47133350 3.72533321 的回归方程： <math display="block" id="M80"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">3.140</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">4</mn><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008108&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008103&type= 22.43666649 4.57200003 . 将 式（10） 式（10） 中第一式代入 式（11） 式（11） 中，并进一步计算可得原始数据 <math id="M81"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008116&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008112&type= 3.04800010 4.57200003 关于 <math id="M82"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008122&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008119&type= 6.18066692 3.72533321 ， <math id="M83"><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008129&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008126&type= 6.18066692 3.72533321 的回归方程： <math display="block" id="M84"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2.226</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2.215</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">2</mn><mi mathvariant="normal">Δ</mi><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">10.833</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">7</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008137&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008133&type= 65.19332886 4.65666676 . 同理可计算得到K2~K7批次数据的主成分归模型，不再详细介绍。 4.3　最佳TSP个数分析 2 以上的建模分析是以选择2个TSP为前提的，实际上TSP个数也会对模型的预测效果产生影响。因此下面基于实验数据分析TSP个数对模型预测效果的影响规律，从而确定最佳的TSP个数。 使用K1~K9批次数据分别选择1-10个TSP，并建立相应的PCR模型，进而对其它各批次数据分别进行预测。模型对单一批次数据的预测效果使用预测残余标准差 <math id="M85"><mi>S</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008144&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008141&type= 2.20133328 2.79399991 表示，计算公式为： <math display="block" id="M86"><mi>S</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mo>^</mo></mover><mo>-</mo><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008150&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008147&type= 31.32666588 14.05466747 ， 其中： <math id="M87"><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008154&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008151&type= 2.87866688 4.57200003 为热误差数据点， <math id="M88"><mover accent="true"><mrow><msub><mrow><mi>y</mi></mrow><mrow><mi>k</mi></mrow></msub></mrow><mo>^</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008160&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008157&type= 2.87866688 4.82600021 为对应的回归模型热误差预测值。 使用模型对其他批次数据的预测残余标准差的平均值 <math id="M89"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008166&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008163&type= 6.60400009 3.72533321 和标准差 <math id="M90"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008172&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008169&type= 4.74133301 3.72533321 ，分别表征模型的预测精度和稳健性，计算公式分别为： <math display="block" id="M91"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008177&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008174&type= 19.81200027 12.78466606 ， <math display="block" id="M92"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">t</mi><mi mathvariant="normal">d</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>m</mi><mi>e</mi><mi>a</mi><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mrow><mrow><mi>K</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008183&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008181&type= 37.33800125 14.05466747 . 式（14） 式（14） 和（15）中 <math id="M93"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008193&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008188&type= 2.96333337 3.72533321 为 公式（13） 公式（13） 计算的模型对K i 批次数据的预测残余标准差， <math id="M94"><mi>K</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">9</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008200&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008197&type= 9.48266602 2.79399991 为数据批次。将不同批次所建模型的预测效果取平均值，得到不同TSP个数下模型的预测效果。使用K1~K9批次数据计算得到不同TSP个数下的建模效果如 图6 图6 所示。 由 图6 图6 可以观察出，随着TSP个数的增加模型预测精度有所下降，但稳健性逐渐提高。为了平衡模型的预测精度与稳健性，本文选用4个TSP建立热误差PCR模型。 5 模型预测效果分析 1 为了验证本文所提PCR建模算法的有效性，本文使用FCGC算法选择TSP，并分别使用MLR、BP神经网络和岭回归算法建立热误差模型。进而比对分析三种热误差模型与PCR模型的建模预测效果。 5.1　比对模型的建立 2 按照文献 ［ 22 22 ］ 中建模过程，使用FCGC筛选2个TSP，各批次数据的TSP选择结果如 表5 表5 所示。 批次 K1 K2 K3 K4 K5 K6 K7 K8 K9 结果 1，10 1，10 1，10 1，8 1，10 1，10 1，8 1，10 1，10 基于 表5 表5 中TSP选择结果，进一步建立热误差关于TSP的MLR模型，模型系数如 表6 表6 所示。 2 批次 3 模型系数 <math id="M95"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008254&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008252&type= 2.62466669 3.21733332 <math id="M96"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008258&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008255&type= 2.62466669 3.21733332 <math id="M97"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008261&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008259&type= 2.62466669 3.21733332 K1 -3.67 6.06 -3.97 K2 -3.83 6.17 -4.82 4 …… K8 4.49 9.39 -11.14 K9 -3.09 8.05 -2.89 同时根据BP神经网络算法使用上述各批次热误差实验数据，建立BP神经网络热误差模型。所建立的BP神经网络结构如 图7 图7 所示，转移函数选择线性转移函数。 BP神经网络结构设为输入层、隐藏层和输出层，每层节点数分别设定为2个，3个和1个。输入层两个节点代表2个TSP变量，输出层1个节点代表主轴Z向热误差变量。基于实验数据对BP神经网络进行训练，得到各节点的权值和阈值，完成BP神经网络热误差预测模型的建立。 同理根据 表5 表5 中TSP选择结果，可分别建立各批次数据的岭回归预测模型，模型系数如 表7 表7 所示。 2 批次 3 模型系数 <math id="M98"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008254&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008252&type= 2.62466669 3.21733332 <math id="M99"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008258&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008255&type= 2.62466669 3.21733332 <math id="M100"><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008261&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=24008259&type= 2.62466669 3.21733332 K1 6.258 1.811 1.773 K2 14.474 1.633 1.644 4 …… K8 6.656 2.244 2.348 K9 14.905 1.775 1.850 5.2　建模效果比对分析 2 使用上一小节所建立的MLR模型、BP神经网络模型、岭回归模型分别对其他各批次数据进行预测。同时使用本文所提的PCR建模算法，选择4个TSP并建立热误差预测模型，并对其他各批次进行预测。四种建模算法对其他各批次数据的拟合精度和预测精度使用 公式（13） 公式（13） 和（14）计算，其中拟合精度即为建模数据对自身进行预测的预测精度。进而根据 公式（15） 公式（15） 计算模型的稳健性。 从而得到各批次数据所建模型的拟合精度、预测精度和稳健性，结果分别如图 8 8 ~ 10 10 所示。 通过对比各模型的预测结果可知，BP神经网络模型的拟合精度最高，但模型的预测精度和稳健性较差。PCR模型的拟合精度最低，但预测精度和稳健性最高。MLR预测模型的拟合精度低于BP神经网络，但预测精度和稳健性高于BP神经网络。岭回归预测模型相比MLR和BP模型具有较高的预测精度和稳健性，但低于PCR模型。经过计算得到PCR算法的预测精度和稳健性分别达到6.8 μm和2.4 μm，相较于常用的MLR算法，模型的预测精度和稳健性分别提升了23.4%和57.7%。通过分析可知，若模型对数据的拟合精度过高，则其预测精度和稳健性会下降。这是由于过高的拟合精度会造成所建立的模型较为敏感，容易受到外部环境变化的干扰，从而对其他批次数据的预测精度和稳健性下降。 5.3　实验验证 2 为了进一步说明本文所建PCR模型具有高预测精度和高稳健性，本文参考国际标准 ［ 27 27 ］ 的转速图谱，进行了3批次验证实验，记为V1~V3。国际标准中转速图谱选择的转速分别为最高转速的25%，50%，75%和100%。本文中最大主轴转速设定为6 000 r·min - 1 ，则验证实验中不同主轴转速分别为1 500，3 000，4 500和6 000 r·min - 1 。三批次验证实验的转速图谱如 图11 图11 所示，其中每种转速持续15 min。V1~V3批次验证实验的环境温度在25.6~26.8 ℃范围内变化。 使用本文所建立PCR模型对3批次验证实验进行预测，如对使用K1批次数据建立的热误差模型对V1批次数据进行预测，预测结果如 图12 图12 所示。 观察 图12 图12 可知，本文所建立的PCR模型能够有效对按照转速图谱运行的机床主轴热误差进行预测。根据计算各批次数据所建立模型对V1~V3验证实验的预测精度为6.12 μm，稳健性为3.43 μm。由此验证了本文所建立PCR模型具有高预测精度和高稳健性。 将根据K1批次实验所建立的PCR热误差模型嵌入到热误差补偿控制器后，进行机床主轴热误差测量实验。热误差补偿控制器的原理 ［ 28 28 ］ 是使用数控系统坐标原点偏移功能，根据热误差实时预测值实现坐标原点的反向调整，以抵消热误差对机床精度的影响。实验过程中主轴转速设为6 000 r·min - 1 ，工作台进给速度为1 500 mm·min - 1 。在实验开始2 h后开启热误差补偿功能，以比对补偿前后热误差情况。热误差测量结果如 图13 图13 所示。 由 图13 图13 可知，补偿前热误差逐步升高，补偿后的热误差在 - 1~+5 μm范围内。从而验证了本文所建立的热误差预测模型能够有效补偿机床热误差。 6 结　论 1 本文提出了基于PCA的TSP选择算法和热误差建模算法，并进一步建立了主轴热误差PCR模型。实验验证表明，本文所建立的机床主轴热误差预测模型在预测精度和稳健性方面优于MLR算法、BP神经网络算法和岭回归算法。根据计算，本文所提建模算法对2.94~32.37 ℃环境温度范围内的实验数据，预测精度和稳健性较MLR算法分别提升了23.4%和57.7%。将建立的PCR模型对不同主轴转速谱下的机床热误差进行预测，预测精度和稳健性均较高，并且实际热误差补偿效果较好。本文所提PCR机床主轴热误差稳健建模算法具有重要理论意义和工程应用价值。 参考文献 王海同 ， 李铁民 ， 王立平 ， 等 . 机床热误差建模研究综述 ［J］. 机械工程学报 ， 2015 ， 51 （ 9 ）： 119 - 128 . doi: 10.3901/JME.2015.09.119 http://dx.doi.org/10.3901/JME.2015.09.119 机床热误差建模研究综述 WANG H T ， LI T M ， WANG L P ， et al . 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