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用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法
信息科学 | 更新时间：2022-08-08
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用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法
- CSA-NSGAII algorithm for magnetically shielded room shield lamination optimization
- 光学精密工程
- 作者机构：
1.西安理工大学 自动化与信息工程学院，陕西 西安 710048
2.西安高新技术研究所，陕西 西安 710000
- 作者简介：
[ "杨松楠（1994-），男，陕西西安人，博士研究生，2016年、2021年于西安理工大学分别获得学士、硕士学位，现为西安理工大学自动化与信息工程学院博士研究生，主要从事地磁导航与多目标优化算法方面的研究。E-mail：yang.son.nan@outlook.com" ]
杨松楠（1994-），男，陕西西安人，博士研究生，2016年、2021年于西安理工大学分别获得学士、硕士学位，现为西安理工大学自动化与信息工程学院博士研究生，主要从事地磁导航与多目标优化算法方面的研究。E-mail：yang.son.nan@outlook.com
[ "张晓晖（1973-），男，陕西西安人，教授，硕士生导师，1995年、2002年、2009年于西安理工大学分别获得学士、硕士、博士学位，主要从事电磁技术、先进导航与模式识别方面的研究。E-mail：xhzhang@xaut.edu.cn" ]
张晓晖（1973-），男，陕西西安人，教授，硕士生导师，1995年、2002年、2009年于西安理工大学分别获得学士、硕士、博士学位，主要从事电磁技术、先进导航与模式识别方面的研究。E-mail：xhzhang@xaut.edu.cn
- 基金信息：国家自然科学基金项目(51875447);陕西省重点研发计划项目(S2018-YF-ZDGY-0583)
- DOI：10.37188/OPE.20223014.1749 中图分类号： TP391.9;TM274
纸质出版日期：2022-07-25，
收稿日期：2022-04-20，
修回日期：2022-05-23，
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引用本文
杨松楠,张晓晖,刘媛媛等.用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法[J].光学精密工程,2022,30(14):1749-1763.
YANG Songnan,ZHANG Xiaohui,LIU Yuanyuan,et al.CSA-NSGAII algorithm for magnetically shielded room shield lamination optimization[J].Optics and Precision Engineering,2022,30(14):1749-1763.
杨松楠,张晓晖,刘媛媛等.用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法[J].光学精密工程,2022,30(14):1749-1763. DOI： 10.37188/OPE.20223014.1749.
YANG Songnan,ZHANG Xiaohui,LIU Yuanyuan,et al.CSA-NSGAII algorithm for magnetically shielded room shield lamination optimization[J].Optics and Precision Engineering,2022,30(14):1749-1763. DOI： 10.37188/OPE.20223014.1749.
用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法
用于磁屏蔽室屏蔽叠层优化的CSA-NSGAII算法 CSA-NSGAII algorithm for magnetically shielded room shield lamination optimization 1 first-author 杨松楠（1994-），男，陕西西安人，博士研究生，2016年、2021年于西安理工大学分别获得学士、硕士学位，现为西安理工大学自动化与信息工程学院博士研究生，主要从事地磁导航与多目标优化算法方面的研究。E-mail：yang.son.nan@outlook.com http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994770&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994780&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994774&type= 22.01333237 32.00400543 杨松楠 （1994-），男，陕西西安人，博士研究生，2016年、2021年于西安理工大学分别获得学士、硕士学位，现为西安理工大学自动化与信息工程学院博士研究生，主要从事地磁导航与多目标优化算法方面的研究。E-mail： yang.son.nan@outlook.com yang.son.nan@outlook.com 1 corresp E-mail： xhzhang@xaut.edu.cn E-mail： xhzhang@xaut.edu.cn 张晓晖（1973-），男，陕西西安人，教授，硕士生导师，1995年、2002年、2009年于西安理工大学分别获得学士、硕士、博士学位，主要从事电磁技术、先进导航与模式识别方面的研究。E-mail：xhzhang@xaut.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994785&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994792&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994788&type= 22.01332855 32.00399780 张晓晖 （1973-），男，陕西西安人，教授，硕士生导师，1995年、2002年、2009年于西安理工大学分别获得学士、硕士、博士学位，主要从事电磁技术、先进导航与模式识别方面的研究。E-mail： xhzhang@xaut.edu.cn xhzhang@xaut.edu.cn 1 2 1 西安理工大学 自动化与信息工程学院，陕西 西安 710048 西安理工大学 自动化与信息工程学院，陕西 西安 710048 School of Automation and Information Engineering， Xi'an University of Technology， Xi'an 710048， China School of Automation and Information Engineering， Xi'an University of Technology， Xi'an 710048， China 西安高新技术研究所，陕西 西安 710000 西安高新技术研究所，陕西 西安 710000 Xi'an Research Institute of High-Tech， Xi'an 710000， China Xi'an Research Institute of High-Tech， Xi'an 710000， China 为提高多层磁屏蔽室的屏蔽性能，进一步降低磁屏蔽室的建造成本，本文将磁屏蔽叠层结构优化视为多目标函数优化问题，在可行的建造成本与建造质量构成的约束下，提出一种分段交叉策略与自适应变异算子改进NSGAII算法（CSA-NSGAII），对屏蔽叠层结构参数进行优化。CSA-NSGAII算法解决了NSGAII算法种群收敛分布不均匀，全局搜索能力差和容易陷入局部最优等问题，从而能够获得屏蔽室最优叠层结构。与NSGAII算法、NSGAII-SDR、g-NSGAII和MOEA/D算法相比，CSA-NSGAII的GD、IGD与Spacing等指标均有显著提升，说明本文提出的CSA-NSGAII算法收敛性能更好，种群分布更均匀。实验结果表明：经优化后的叠层结构在屏蔽性能不变的情况下平均能够节省约14%的建造成本，并在干扰幅值为32 000 nT，频率为1 Hz的亥姆霍兹线圈中，实现约70 dB的屏蔽性能。 To improve the shielding performance of a multilayer magnetically shielded structure and to further reduce the construction cost of a magnetically shielded room， this study proposes to treat the magnetically shielded structure as a multi-objective function optimization problem， and to optimize the parameters of the shielded lamination structure using the non-dominated sorting genetic algorithm-II （NSGAII） under the constraints of feasible construction cost and quality construction composition. In this study， the NSGAII algorithm is improved using a segmental crossover strategy with an adaptive variation operator called CSA-NSGAII to solve the problems of the traditional NSGAII algorithm of uneven population convergence distribution， poor global search ability， and easily falling into a local optimum. Compared with the original NSGAII algorithm， NSGAII-SDR， g-NSGAII， and MOEA/D algorithms， the CSA-NSGAII is beneficial in GD， IGD， and spacing， indicating that the proposed CSA-NSGAII algorithm achieves improved convergence performance and a more uniform population distribution. By applying the algorithm proposed in this paper to the multi-objective optimization design problem of the magnetic shielding structure， the experimental results show that the optimized stacked structure can， on average， save approximately 14% of the construction costs while achieving the same shielding performance， and can achieve approximately 70 dB of shielding performance in a Helmholtz coil with an interference amplitude of 32 000 nT and frequency of 1 Hz. 磁屏蔽 多目标函数优化 NSGAII算法 叠层结构 magnetically shielded room multi-objective function optimization NSGAII algorithm lamination structure 1 引 言 1 近年来，弱磁环境在航空航天、光学研究、生物研究和通信等方面的应用愈加广泛 ［ 1 1 ］ 。作为一种能够减弱外部干扰磁场，营造弱磁环境封闭空间的装置，磁屏蔽室（Magnetic Shielded Room， MSR）得到广泛研究。在磁屏蔽室中，受磁场影响较大的精密设备，譬如基于磁流体（Magnetic Fluid， MF）的光学传感器 ［ 2 2 ］ 或超导量子干涉仪（Supperconducting Quantum Interference Device， SQUID） ［ 3 3 ］ 等的测量精度将会得到极大提升。高效的磁屏蔽室设计策略通常是使用多个封闭的金属层实现减弱屏蔽室目标区域中的磁场。然而，屏蔽室在建造时层叠材料厚度、绝缘层厚度以及不同材料特性的组合都会影响屏蔽室的屏蔽性能 ［ 4 4 ］ 。 对屏蔽室结构的优化是一个典型的多目标优化问题，国内外学者对多目标优化问题有着深入的研究，目前常用的多目标优化算法有NSGAII ［ 5 5 ］ 、SPEA2 ［ 6 6 ］ 和MOEA/D ［ 7 7 ］ 等算法。Canova等人 ［ 8 8 ］ 提出使用矢量免疫系统（Vetor Immune System， VIS）算法 ［ 9 9 ］ 来优化屏蔽室金属层叠结构，增强屏蔽性能，通过分析屏蔽材料在瑞利（Rayleigh）区域工作时的磁特性来评估圆柱体和球体屏蔽室的屏蔽性能，其优化方法是通过寻找每个单层材料的最优解来提升整个叠层性能。Li等人 ［ 10 10 ］ 提出使用NSGAII算法来优化四层屏蔽叠层，其使用Matlab工具箱来求取算法的多目标函数最小值。该方法能够优化屏蔽叠层，但NSGAII算法仍然存在收敛速度慢，种群分布不均，全局搜索能力差的问题，因此使用该方法对屏蔽叠层进行优化的方法仍然存在改进的空间。由Canova与Li等人的研究可以看出：在满足屏蔽性能要求的前提下，如何寻找最优的屏蔽室金属叠层厚度以及空气层厚度，并同时节省屏蔽室的整体造价可以被看作是一个低维多目标优化问题，能够使用多目标优化算法来求解。文献［ 11 11 ］说明VIS算法用于求解高维多目标优化问题时具有一定的优势，而针对低维多目标优化问题则存在收敛速度慢，容易陷入局部最优解等问题，因而解决屏蔽室叠层优化问题更适合使用NSGAII及其改进算法。因此，本文将在Canova与Li等人的基础上进行研究，以寻找更好的叠层优化方法。 针对上述问题，本文利用基因分段交叉策略并使用自适应变异算子对NSGAII算法进行改进，提出CSA-NSGAII （NSGAII Segmental Crossover Strategy with Adaptive Variation Operator）算法。该算法能够在迭代初期更均匀地搜索解空间，并随着进化的深入提升局部搜索解的能力，从而获得更高的收敛性与更均匀的种群分布。本文通过使用标准的ZDT测试函数对CSA-NSGAII与NSGAII ［ 5 5 ］ 、MOEA/D ［ 7 7 ］ 、NSGAII-SDR ［ 12 12 ］ 和g-NSGAII ［ 13 13 ］ 算法的性能进行了对比，结果显示本文方法在收敛性与解的均匀性上均有较大提升。最后，本文以多层屏蔽室的建设成本与建造质量作为待优化问题，以不同屏蔽层的厚度作为优化目标，使其在满足屏蔽性能的约束下达到最优，从而构成多目标优化问题。该问题应用本文提出的CSA-NSGAII算法求取帕累托最优解能够更好地平衡建设成本与建造质量，预测出不同频率下每种材料的最佳使用厚度，为磁屏蔽室的实际建造提供最优的理论设计。 2 研究问题与优化模型 1 2.1 金属薄板的屏蔽特性 2 对于磁屏蔽室性能的主要评价指标是屏蔽性能（Shield Effectiveness， SE），该指标采用屏蔽室建设前后的磁场强度或磁感应强度的比值来计算 ［ 14 14 ］ 。如 图1 图1 所示，为多层磁屏蔽室，将该室置于磁场中，可以将外部磁场反射或吸收，在装置内部形成一个弱磁环境。 磁屏蔽主要利用金属板对电磁波的吸收和反射损耗，吸收损耗是指电磁波通过屏蔽室时产生涡流发热而使其能量得以消耗，反射损耗是指电磁波射入到不同介质的分界面时，发生反射使穿过界面的能量减弱来降低屏蔽室内部磁感应强度 ［ 15 15 ］ 。影响屏蔽性能的因素主要有材料磁导率、材料电导率、材料层厚度与空气层厚度。电磁波穿过厚度为 <math id="M1"><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994819&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994814&type= 1.10066664 2.79399991 的屏蔽室时吸收损耗可表示为 ［ 16 16 ］ ： <math display="block" id="M2"><mi>A</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">131.43</mn><mi>t</mi><mroot><mrow><mi>f</mi><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994826&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994821&type= 30.05666542 4.99533367 ， 其中： <math id="M3"><mi>A</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994842&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994831&type= 2.87866688 2.79399991 为吸收损耗，单位为dB； <math id="M4"><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995537&type= 1.10066664 2.79399991 为材料板厚度，单位为m； <math id="M5"><mi>f</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994925&type= 1.10066664 3.64066648 为被抑制的电磁波频率，单位为 <math id="M6"><mi mathvariant="normal">H</mi><mi mathvariant="normal">z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994941&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994936&type= 4.40266657 2.79399991 ； <math id="M7"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994883&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994878&type= 2.79399991 4.57200003 为屏蔽材料的相对磁导率； <math id="M8"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994960&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994955&type= 2.53999996 3.72533321 为屏蔽材料的相对电阻率。 根据磁力波的阻抗将反射损耗分为低、中、高三部分，分别对应磁场、平面波和电场的损耗。对于磁屏蔽室，主要计算低阻抗场所引起的反射损耗，其计算公式为 ［ 16 16 ］ ： <math display="block" id="M9"><mi>R</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1.17</mn><mo>×</mo><msup><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow><mrow><mi>r</mi><mroot><mrow><mi>f</mi><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfrac><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">0.354</mn><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">5.35</mn><mi>r</mi><mroot><mrow><mi>f</mi><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>/</mo><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994901&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994896&type= 80.01000214 12.95400047 ， 其中： <math id="M10"><mi>R</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994910&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994906&type= 2.70933342 2.79399991 为反射损耗，单位为dB； <math id="M11"><mi>r</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994920&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994915&type= 1.52400005 2.79399991 表示源到屏蔽层的距离，单位为m； <math id="M12"><mi>f</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994931&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994925&type= 1.10066664 3.64066648 为被抑制的电磁波频率，单位为 <math id="M13"><mi mathvariant="normal">H</mi><mi mathvariant="normal">z</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994941&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994936&type= 4.40266657 2.79399991 ； <math id="M14"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994950&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994945&type= 2.79399991 4.57200003 为屏蔽材料的相对磁导率； <math id="M15"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994960&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994955&type= 2.53999996 3.72533321 为屏蔽材料的相对电阻率。 如 图2 图2 与 图3 图3 所示分别为厚度 t =1 mm的单层金属板吸收损耗、反射损耗随频率的变化曲线。图中，硅钢的相对磁导率 <math id="M16"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994967&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994963&type= 15.83266735 4.57200003 ，相对电阻率 <math id="M17"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.17</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994978&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994972&type= 14.05466747 3.72533321 ；铝的相对磁导率 <math id="M18"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994986&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994982&type= 9.56733322 4.57200003 ，相对电阻率 <math id="M19"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.61</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994995&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32994991&type= 14.05466747 3.72533321 ；1J85坡莫合金的相对磁导率 <math id="M20"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">80</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">000</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995005&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995000&type= 17.69533348 4.57200003 ，相对电阻率为 <math id="M21"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">0.03</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995015&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995011&type= 14.05466747 3.72533321 。由 图2 图2 可以看出，坡莫合金与硅钢的吸收损耗会随着干扰频率的增加而增加，而铝的吸收损耗微乎其微。由 图3 图3 可以看出，铝的反射损耗随着频率的增加而增加，而坡莫合金与硅钢的反射损耗则随着频率的增加而减少。通过分析可得，坡莫合金对于中低频磁场屏蔽的效果最好，但价格昂贵；硅钢对于中低频磁场具有一定的屏蔽效果，且价格便宜；铝对于较高频率磁场屏蔽效果较好，但对低频磁场效果较差。坡莫合金的单价约为硅钢的10倍，铝的6倍。因此，可以使用多种材料组合来提升屏蔽性能，同时降低建造成本。本文使用CSA-NSGAII算法，对由三种不同特性的金属材料建成的多层磁屏蔽室叠层结构这一多目标问题进行优化，以寻求最优的结构，在满足屏蔽性能的同时有效降低造价。 2.2 多层屏蔽室屏蔽性能估算方法 2 对于多层屏蔽室的屏蔽性能（ P SE ），可由吸收损耗（ A ）、反射损耗（ R ）以及多次反射修正项（ B ）三者进行计算。单层金属板结构屏蔽室的吸收损耗与反射损耗可由 公式（1） 公式（1） 与 公式（2） 公式（2） 得出。相比于单层金属板结构的屏蔽室，多层屏蔽室的金属层之间是绝缘的，低吸收损耗的薄壁屏蔽层会出现多次反射，需要额外计算多次反射修正项（ R ），而反射修正项与空气层的厚度直接相关，因此，空气层厚度也是影响屏蔽性能的重要因素 ［ 17 17 ］ 。对于三层金属叠层结构，屏蔽性能可通过以下公式估算 ［ 16 16 ］ ： <math display="block" id="M22"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>∑</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">3</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995060&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995055&type= 65.87065887 4.74133301 ， 其中： <math id="M23"><msub><mrow><mi>A</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995069&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995064&type= 3.64066648 3.72533321 表示第 <math id="M24"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995634&type= 1.10066664 2.79399991 层吸收损耗， <math id="M25"><msub><mrow><mi>R</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995092&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995085&type= 3.47133350 3.72533321 表示第 <math id="M26"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995634&type= 1.10066664 2.79399991 层反射损耗， <math id="M27"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995128&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995121&type= 4.65666676 3.72533321 表示第一层与第二层的修正项， <math id="M28"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995187&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995181&type= 4.65666676 3.72533321 表示第二层与第三层的修正项。 <math id="M29"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995128&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995121&type= 4.65666676 3.72533321 的计算公式为 ［ 16 16 ］ ： <math display="block" id="M30"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">w</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>j</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">w</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>j</mi><mn mathvariant="normal">8</mn><mo>×</mo><msup><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">6</mn></mrow></msup><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2.61</mn><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>×</mo><msup><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">7</mn></mrow></msup><mroot><mrow><mfrac><mrow><mi>f</mi><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995137&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995133&type= 92.45600128 28.36333466 ， 其中： <math id="M31"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995144&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995141&type= 4.06400013 3.72533321 表示金属板的特性阻抗，单位为 <math id="M32"><mi mathvariant="normal">Ω</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995167&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995164&type= 2.37066650 2.79399991 ； <math id="M33"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">w</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995160&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995156&type= 3.97933316 3.72533321 表示空气层波阻抗，单位为 <math id="M34"><mi mathvariant="normal">Ω</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995167&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995164&type= 2.37066650 2.79399991 ； t air_12 表示第一层与第二层金属层之间的空气层厚度，单位为m； <math id="M35"><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995176&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995169&type= 2.87866688 3.72533321 表示被抑制频率的波长，单位为m。同理可以计算出 <math id="M36"><msub><mrow><mi>B</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995187&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995181&type= 4.65666676 3.72533321 ，即第二层与第三层的修正项。因此，由 公式（4） 公式（4） 可以得出，当选定材料后，影响三层屏蔽室性能的决策变量有五个：三层金属的厚度 <math id="M37"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995197&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995192&type= 2.28600001 3.72533321 ， <math id="M38"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995202&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995200&type= 2.28600001 3.72533321 ， <math id="M39"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995210&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995207&type= 2.28600001 3.72533321 及两层空气层厚度 t air_12 和 t air_23 。 2.3 多层磁屏蔽叠层结构多目标优化模型 2 多目标优化问题的数学表达式为 <math display="block" id="M40"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mi>F</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>.</mo><mtext> </mtext><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>∈</mo><mi>Ω</mi></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995218&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995214&type= 63.07666779 9.99066734 ， 其中， <math id="M41"><mi>Ω</mi><mo>∈</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995225&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995221&type= 10.07533360 3.38666677 表示决策空间，且 <math id="M42"><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub><msup><mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995231&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995229&type= 30.81866837 4.65666676 表示决策向量， <math id="M43"><msup><mrow><mi mathvariant="bold">R</mi></mrow><mrow><mi>m</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995241&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995236&type= 4.31799984 2.96333337 表示 <math id="M44"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995486&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995483&type= 2.79399991 2.79399991 维目标空间。 多层磁屏蔽叠层结构优化问题可以描述为： <math id="M45"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995565&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995564&type= 1.86266661 2.79399991 层厚度为 <math id="M46"><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995537&type= 1.10066664 2.79399991 的相同材质或不同材质的磁屏蔽材料组成一个满足屏蔽性能的屏蔽体所需每种材料的最佳厚度以及整体最低造价。因此，本文以建造成本、建造质量为目标函数，以屏蔽性能与建造尺寸为约束条件，以材料厚度与空气层厚度为决策变量，为使用硅钢、铝和坡莫合金三种材料的多层磁屏蔽结构进行建模。另外，由于空气层并不会增加额外的建造成本，但会对屏蔽性能产生重大影响，因此模型还设置了一个目标函数，用于获得最优的空气层厚度。由 公式（6） 公式（6） 可以看出，多层磁屏蔽叠层优化问题的数学模型为非线性模型，同时，约束为非线性约束。在满足屏蔽性能的约束下，屏蔽室的建造总成本与总体质量将成为两个冲突的目标，需要对这两个目标进行折衷考虑才能找到最优解，这满足多目标优化问题的基本形式。本文所使用的多目标优化数学模型为： <math display="block" id="M47"><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><mo>∑</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo>∑</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>r</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub><mo>×</mo><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mi>i</mi><mi>r</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">s</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">t</mi><mo>.</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>≥</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub><mo>≥</mo><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">3</mn><mtext> </mtext></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995271&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995268&type= 94.14933777 35.30599976 ， 其中： <math id="M48"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995277&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995274&type= 1.86266661 3.72533321 为第 i 层材料的厚度，单位为m； <math id="M49"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995286&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995283&type= 2.96333337 3.72533321 为第 i 层材料所使用的面积，单位为m 2 ，其中第一层材料面积为 <math id="M50"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mo>-</mo><msup><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995292&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995289&type= 44.02666473 4.65666676 ，第二层材料面积为 <math id="M51"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo>×</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><msup><mrow><mo>+</mo><mi>d</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msup><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995300&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995296&type= 109.72799683 4.65666676 ，以此类推可以求得公式中 <math id="M52"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">3</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995308&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995304&type= 3.38666677 3.72533321 ， <math id="M53"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995316&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995312&type= 7.28133297 3.72533321 ， <math id="M54"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">23</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995322&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995318&type= 7.28133297 3.72533321 的大小； <math id="M55"><mi>d</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995332&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995328&type= 2.20133328 2.79399991 为屏蔽室内径； <math id="M56"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995340&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995335&type= 2.62466669 4.57200003 为第 i 层材料的密度，单位为kg/m 3 ； <math id="M57"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995347&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995343&type= 3.21733332 3.72533321 为第 i 层所使用的材料的单价，单位为CNY/kg； <math id="M58"><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995354&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995352&type= 4.82600021 3.72533321 为第 i 层空气层厚度，单位为m； <math id="M59"><msub><mrow><mi>ρ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995362&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995359&type= 4.06400013 4.57200003 为空气密度，单位为kg/m 3 ； <math id="M60"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">r</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mi mathvariant="normal">e</mi><mi mathvariant="normal">t</mi></mrow></msub></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995368&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995365&type= 8.55133343 3.89466691 为屏蔽室性能设计要求最小值，常数，单位为dB；结合 公式（3） 公式（3） ，约束 <math id="M61"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995371&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995370&type= 5.07999992 3.72533321 可由如下公式进行计算： <math display="block" id="M62"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>∑</mo><mn mathvariant="normal">131.43</mn><msub><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mroot><mrow><mi>f</mi><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi>i</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi><mi>i</mi></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot><mo>+</mo><mo>∑</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">g</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1.17</mn><mo>×</mo><msup><mrow><mn mathvariant="normal">10</mn></mrow><mrow><mo>-</mo><mn 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mathvariant="normal">r</mi><mo>_</mo><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">4</mn><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">w</mi></mrow></msub></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">c</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mn mathvariant="normal">4</mn><mi mathvariant="normal">π</mi><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msub><mrow><mi>λ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>-</mo><mi>j</mi><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mn mathvariant="normal">4</mn><mi 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995373&type= 125.98400116 33.35866928 3 用于结构优化的CSA-NSGAII算法 1 根据第2.3节所述，层叠结构优化是一种有约束的多目标优化问题，多个目标在约束区域应尽可能同时最佳。多目标优化的解通常是一组均衡解，即帕累托（Pareto）最优解 ［ 18 18 ］ 。帕累托解的等级定义为：寻找当前解集中的帕累托最优解，标记为等级1并从解集中删除，然后在剩余解集中继续寻找帕累托解，标记为等级2，并从解集中删除，以此类推，循环求解，并分别标记为等级3，4，…，并最终确定所有帕累托最优解的等级，此过程称为帕累托排序或非支配排序。NSGAII算法是在第一代遗传算法的基础上引入非支配排序与聚集距离的概念，在进行多次排序后，将帕累托解的解集集中在一个前沿面上，称为帕累托前沿，帕累托前沿上的解为最优解集 ［ 19 19 ］ 。由于NSGAII算法在解决复杂的非线性问题时常常会在获得全局最优解前陷入某个局部极值而发生未成熟的收敛。因此，为了避免算法在早期陷入局部极值，本文提出CSA-NSGAII算法，通过利用分段交叉策略，并将柯西随机分布引入变异算子来提高种群的多样性，使种群保持持续进化的能力，以此提高算法的全局搜索能力、增强收敛性能、更能逼近帕累托最优解。CSA-NSGAII算法的流程图如 图4 图4 所示，算法首先生成初始种群，利用适应度函数对种群进行分级；然后选取两组父代，随机大小对父代基因进行分段，并抽取分段后的基因进行交叉操作。对完成交叉后的子代根据迭代过程自适应变异，以保证在初期算法能够搜索整个解平面，并随着迭代过程的深入逐步缩小最优解的搜索范围；最后将变异完成的子代与父代作为初始种群再次进行上述流程，直至迭代次数满足要求。 3.1 针对交叉的改进 2 具体改进是将NSGAII算法中二进制交叉算子替换为实数编码的交叉算子并进行分段，在两个父代构成的空间内生成多个子集，随机选择一对子集进行交叉，该方法可以提高种群的多样性，以防止陷入局部最优。改进的具体方法为： （1）对于一个初始种群 <math id="M63"><mi>P</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995577&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995576&type= 2.45533323 2.79399991 ，随机选取两个父代个体 <math id="M64"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995477&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995475&type= 3.64066648 3.72533321 与 <math id="M65"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995399&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995396&type= 3.64066648 3.72533321 ， <math id="M66"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995565&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995564&type= 1.86266661 2.79399991 表示变量个数： <math display="block" id="M67"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995411&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995408&type= 35.64466476 9.65200043 . （2）求取两个父代个体 <math id="M68"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995477&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995475&type= 3.64066648 3.72533321 与 <math id="M69"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995419&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995417&type= 3.64066648 3.72533321 中各基因位上的最大值与最小值： <math display="block" id="M70"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced><mo>,</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995423&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995421&type= 56.21866989 9.65200043 . （3）将第 n 个基因位上的数离散为 <math id="M71"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995434&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995433&type= 1.10066664 3.64066648 个： <math display="block" id="M72"><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>,</mo><mi>i</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mfrac><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>j</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></mfrac><mo>×</mo><mo stretchy="false">(</mo><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>k</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>j</mi><mo>;</mo><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>n</mi></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995431&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995428&type= 54.44067001 19.55800056 . 则离散后得到的新的 <math id="M73"><mi>j</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995434&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995433&type= 1.10066664 3.64066648 个父代个体可表示为： <math display="block" id="M74"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">21</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">22</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>…</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>j</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mi>j</mi><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995438&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995436&type= 33.69733429 19.98133469 . （4）利用分段策略将所有基因进行划分，在1到 <math id="M75"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995565&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995564&type= 1.86266661 2.79399991 之间随机生成 <math id="M76"><mi>k</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995446&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995444&type= 8.38199997 2.79399991 个不同的正整数 <math id="M77"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>k</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995450&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995448&type= 26.16200066 4.48733330 ，然后将父代的 <math id="M78"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995565&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995564&type= 1.86266661 2.79399991 个基因随机分为 <math id="M79"><mi>k</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995458&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995455&type= 1.69333339 2.79399991 段， <math display="block" id="M80"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>e</mi></mrow><mrow><mn 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995468&type= 4.74133301 3.72533321 段与 <math id="M83"><msub><mrow><mi>E</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>v</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995473&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995471&type= 4.74133301 3.72533321 段的基因进行互换。 3.2 针对变异的改进 2 在遗传算法迭代过程中，种群能够不断地进化依赖于种群的多样性，丰富的种群个体是保持种群进化的动力，种群的多样性将提高算法的收敛速度。个体本质上是由不同的基因构成的，种群中个体之间的差异本质上是各个片段上的基因差异，通过对变异的改进，可以提升种群基因的变异强度，使个体结构的差异增大。本文所提出的CSA-NSGAII算法对基因变异的强度进行了改进，将柯西随机分布引入变异算子，增大随机变异的强度，变异程度随变异过程自适应变异。改进后的变异操作，在初始迭代时可以避免陷入局部最优，随着迭代过程的深入，可以使算法在局部搜索精确解。本文针对变异的改进是通过随机选取一个父代个体 <math id="M84"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995477&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995475&type= 3.64066648 3.72533321 ，对其中的一个元素 <math id="M85"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995486&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995483&type= 2.79399991 2.79399991 进行变异， <math id="M86"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995486&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995483&type= 2.79399991 2.79399991 为1到 <math id="M87"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995565&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995564&type= 1.86266661 2.79399991 之间的一个随机正整数。 <math id="M88"><mi>P</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">11</mn></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">12</mn></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mi>x</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995494&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995492&type= 47.41333389 4.65666676 为变异结果，对于 <math id="M89"><mi>x</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995528&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995527&type= 5.41866684 4.23333359 的变异操作为： （1）随机变异步长 <math id="M90"><mi>μ</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mtext> </mtext><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mi mathvariant="normal">d</mi><mtext> </mtext><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo stretchy="false">]</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995501&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995500&type= 24.12999916 3.97933316 ； （2）变异因子： <math display="block" id="M91"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>C</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>μ</mi><mo>+</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mi>μ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mtext> </mtext><mo>,</mo><mi>μ</mi><mo><</mo><mn mathvariant="normal">0.5</mn><mtext> </mtext></mtd></mtr><mtr><mtd><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mi>C</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">[</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mi>μ</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>+</mo><mn mathvariant="normal">2</mn><mo stretchy="false">(</mo><mi>μ</mi><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">0.5</mn><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">]</mo><mtext> </mtext><mo>,</mo><mi>μ</mi><mo>≥</mo><mn mathvariant="normal">0.5</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995503&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995502&type= 94.74199677 10.41399956 ， 其中， <math id="M92"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995505&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995504&type= 57.31933212 4.48733330 ， <math id="M93"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo>/</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995507&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995506&type= 57.65800095 4.48733330 ， <math id="M94"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995509&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995508&type= 8.38199997 3.72533321 为 <math id="M95"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995511&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995510&type= 6.01133299 3.72533321 中的第 <math id="M96"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995524&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995523&type= 2.79399991 2.79399991 个元素， <math id="M97"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995519&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995517&type= 8.04333401 3.72533321 为 <math id="M98"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995522&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995521&type= 5.67266655 3.72533321 中的第 <math id="M99"><mi>m</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995524&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995523&type= 2.79399991 2.79399991 个元素， <math id="M100"><mi>C</mi><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">0,1</mn><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995526&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995525&type= 11.59933376 3.55599999 表示以0为中心，尺度参数为1的柯西随机分布，相较于正态分布，柯西分布能够使算法具有较好的全局搜索与局部搜索能力。 （3）变异的 <math id="M101"><mi>x</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995528&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995527&type= 5.41866684 4.23333359 从以下策略中随机选择： <math display="block" id="M102"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>x</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">q</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub><mo>-</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mfrac><mrow><mi>t</mi></mrow><mrow><mi>T</mi></mrow></mfrac><mo stretchy="false">)</mo></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995530&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995529&type= 67.56400299 18.45733452 ， 其中： <math id="M103"><mi>T</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995532&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995531&type= 2.53999996 2.79399991 为最大迭代次数， <math id="M104"><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995537&type= 1.10066664 2.79399991 为当前迭代次数。算法在迭代开始时 <math id="M105"><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995537&type= 1.10066664 2.79399991 较小，可以产生较强的变异效果，使算法能够均匀的搜索解空间。随着迭代过程的深入， <math id="M106"><mi>t</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995538&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995537&type= 1.10066664 2.79399991 不断增大，变异效果减弱，基因中的 <math id="M107"><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>m</mi><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">a</mi><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995540&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995539&type= 8.38199997 3.72533321 占据主导地位，可将优势基因保留下来，并使算法在一个局部区域中进行搜索。 提出的CSA-NSGAII算法的具体步骤如下： （1）初始化算法参数，譬如种群规模、迭代次数、交叉与变异概率等； （2）初始化一个种群，计算每个种群的适应度，并进行非支配排序，根据排序结果进行分级； （3）使用锦标赛选择方法根据适应度进行选择，产生一组父代种群； （4）在父代种群中进行随机配对，两两一组进行交叉与变异操作，对每个子代个体进行拥挤度计算，提高种群的多样性，选取最优个体到子代种群中； （5）将父代与子代种群合并，再次进行非支配排序，根据拥挤度选取最优种群； （6）将上述过程所产生的种群作为下一次循环中的父代种群再次进行交叉、变异、排序操作，直至满足循环的终止条件。 CSA-NSGAII算法能够弥补NSGAII算法种群多样性保持策略中的不足，针对交叉与变异的部分进行改进，使算法具有更好的全局和局部搜索能力，能够更好地提高算法的收敛精度、保持种群的多样性并能够有效防止算法陷入局部最优。 4 实验与结果 1 4.1 CSA-NSGAII性能测试 2 为验证CSA-NSGAII算法的收敛性能与解的分布情况，本文选取经典的ZDT系列函数作为测试函数，将本文算法与NSGAII算法、NSGAII-SDR算法、g-NSGAII算法与MOEA/D算法进行了比较。选取ZDT系列函数原因是其与本文提出优化问题的形式相近，都属于两个目标的多目标优化问题，从而能够分析在相同的评价下CSA-NSGAII算法的有效性。其中，ZDT1函数为： <math display="block" id="M108"><mi mathvariant="normal">Z</mi><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">T</mi><mn mathvariant="normal">1</mn><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">(</mo><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><mroot><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn 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columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mfenced separators="|"><mrow><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><msub><mrow><mi>x</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>=</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo stretchy="false">)</mo><mfenced separators="|"><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>-</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>g</mi><mo stretchy="false">(</mo><mi>x</mi><mo 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mathvariant="normal">1,2</mn><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><mn mathvariant="normal">100</mn></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995550&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995549&type= 66.97133636 30.39533424 . 对于ZDT2问题，参数为种群规模为100，迭代次数为10 000，交叉变异概率为0.9。测试结果如 图6 图6 所示。可以看出，NSGAII、CSA-NSGAII算法与g-NSGAII算法都能够收敛，但CSA-NSGAII算法所求的解分布更加均匀；CSA-NSGAII算法比NSGAII-SDR和g-NSGAII算法有更好的收敛效果。 1;2; ZDT3函数用于测试具有多个凸解集，且解集不连续时算法的性能。其中，ZDT3函数为： <math display="block" id="M110"><mi mathvariant="normal">Z</mi><mi mathvariant="normal">D</mi><mi mathvariant="normal">T</mi><mn mathvariant="normal">3</mn><mtext> </mtext><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><mtext> </mtext><msub><mrow><mi>f</mi></mrow><mrow><mn 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mathvariant="normal">D</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mrow><mo stretchy="false">(</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></munderover></mstyle><mrow><msubsup><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msubsup></mrow><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mo>/</mo><mi>p</mi></mrow></msup></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995563&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995562&type= 25.23066711 12.78466606 ， 其中： <math id="M112"><mi>n</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995565&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995564&type= 1.86266661 2.79399991 表示变量个数， <math id="M113"><mi>p</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">2</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995567&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995566&type= 8.55133343 3.64066648 ， <math id="M114"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995588&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995587&type= 2.96333337 3.72533321 表示算法每一个解距真实解的欧几里得距离。 <math id="M115"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">D</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995571&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995570&type= 4.31799984 3.72533321 值越小，表明算法的收敛性越好。 IGD用于评价算法的综合性能，其计算公式为： <math display="block" id="M116"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">D</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><munder><mo movablelimits="false">∑</mo><mrow><msup><mrow><mi>j</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup><mo>∈</mo><mi>P</mi><msup><mrow><mi>F</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">*</mi></mrow></msup></mrow></munder><mrow><mi mathvariant="normal">m</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><msub><mrow><mi mathvariant="normal">n</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mo>∈</mo><mi>P</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">|</mo><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>¯</mo></mover><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>¯</mo></mover><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></mfrac></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995573&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995572&type= 35.98332977 11.59933376 ， 其中： <math id="M117"><mover accent="true"><mi>j</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995575&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995574&type= 1.10066664 3.97933316 表示到最终解集 <math id="M118"><mi>P</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995577&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995576&type= 2.45533323 2.79399991 中个体 <math id="M119"><mover accent="true"><mi>i</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995579&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995578&type= 1.10066664 3.13266683 的最小欧几里得距离。 <math id="M120"><msub><mrow><mi>I</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">D</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995581&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995580&type= 4.99533367 3.72533321 值越小，表明算法得到的近似解集越接近真实解集，算法的收敛性与均匀性越好。 Spacing用于评价算法解集中的个体在目标空间的分布情况，其计算公式为： <math display="block" id="M121"><mi>S</mi><mo>=</mo><mstyle displaystyle="true"><munderover><mo largeop="true">∑</mo><mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><mo stretchy="false">|</mo><mi>P</mi><mi>F</mi><mo stretchy="false">|</mo></mrow></munderover></mstyle><mrow><mfrac><mrow><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>-</mo><mover accent="true"><mi>d</mi><mo>¯</mo></mover></mrow><mrow><mo stretchy="false">|</mo><mi>P</mi><mi>F</mi><mo stretchy="false">|</mo></mrow></mfrac></mrow></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995583&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995582&type= 22.35199928 9.14400005 ， 其中： <math id="M122"><mi>P</mi><mi>F</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995586&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995585&type= 4.91066647 2.79399991 表示已知的帕累托最优面， <math id="M123"><msub><mrow><mi>d</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995588&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995587&type= 2.96333337 3.72533321 是指解集中非支配边界上两个连续向量的欧几里得距离， <math id="M124"><mover accent="true"><mi>d</mi><mo>¯</mo></mover></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995590&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995589&type= 2.20133328 3.30200005 表示这些距离的平均值。这种方法适用于在ZDT测试函数上评价算法解的均匀性，Spacing的值越小表明解集越均匀。 将本文提出的CSA-NSGAII算法与NSGAII算法、NSGAII-SDR算法、g-NSGAII算法和MOEA/D算法进行了比较，结果如 表1 表1 所示，其中黑色加粗数据为对比中获得的最优结果，表中结果为运行30次测试的平均值。由 表1 表1 可以看出： 2 算法 3 GD 3 IGD ZDT1 ZDT2 ZDT3 ZDT1 ZDT2 ZDT3 NSGAII 1.51E-03 9.36E - 04 8.03E-04 1.75E-02 7.32E-02 1.31E-02 NSGAII-SDR 3.37E-03 5.76E-03 5.67E-04 5.59E-02 4.19E-02 2.98E-02 g-NSGAII 1.23E-03 2.26E-03 7.54E-04 1.26E - 02 4.39E-02 1.16E-02 MOEA/D 8.83E-03 3.35E-03 1.17E-02 1.52E-01 5.12E-01 1.58E-01 CSA-NSGAII 1.02E - 03 1.37E-03 3.95E - 04 1.32E-02 2.40E - 02 7.33E - 03 2 算法 3 Spacing 3 Runtime ZDT1 ZDT2 ZDT3 ZDT1 ZDT2 ZDT3 NSGAII 6.43E-03 1.65E-02 1.78E-02 2.99E-01 2.61E-01 2.60E - 01 NSGAII-SDR 1.50E-03 1.40E-02 1.78E-02 5.37E-01 3.47E-01 3.24E-01 g-NSGAII 6.96E-03 1.78E-02 7.50E-03 2.92E - 01 2.95E-01 2.63E-01 MOEA/D 1.36E-02 5.65E - 03 3.36E-02 2.05E+00 2.20E - 01 1.78E-00 CSA-NSGAII 1.07E - 03 1.19E-02 7.10E - 03 3.44E-01 2.32E-01 3.86E-01 （1）在GD评价中，本文所提出的CSA-NSGAII算法在ZDT1上表现最好，相比第二名g-NSGAII算法GD降低了17%；CSA-NSGAII算法在ZDT2上略逊于NSGAII算法，为第二名；在ZDT3上表现最好，相比第二名g-NSGAII算法GD降低了51%。 （2）在IGD评价中，本文所提出的CSA-NSGAII算法在ZDT1上略逊于g-NSGAII算法，为第二名；在ZDT2上表现最好，相比第二名NSGAII-SDR算法IGD降低了43%；在ZDT3上表现最好，相比第二名的g-NSGAII算法IGD降低了37%。 （3）在Spacing评价中，本文所提出的CSA-NSGAII算法在ZDT1上表现最好，相比第二名NSGAII-SDR算法Spacing降低了29%；在ZDT2上表现略逊于MOEA/D算法，但比NSGAII方法更好；在ZDT3上表现最好，相比第二名的g-NSGAII算法Spacing降低了5%。 （4）在Runtime评价中，由于本文增加了分段交叉与自适应变异，因此增加了部分计算量，使得计算速度并不占优。在ZDT1上测试，相比于第一名g-NSGAII算法，CSA-NSGAII算法计算时间增加了15%；在ZDT2上测试，相比于第一名MOEA/D算法，CSA-NSGAII算法计算时间增加了5%，但为NSGAII算法中最快；在ZDT3上测试，相比NSGAII算法计算时间增加了48%，消耗了更多的时间。 对性能测试结果进行分析，CSA-NSGAII算法在ZDT1、ZDT2与ZDT3测试中的收敛性评价与均匀的分布性评价具有较好的表现，相较于NSGAII、NSGAII-SDR、g-NSGAII与MOEA/D算法在部分评价中具有一定的优势。改进后的方法虽然消耗了更多的计算时间，但获得的收敛性与均匀性的提升是非常可观的。本文将使用CSA-NSGAII算法求解2.3节中所提出的多目标优化问题，以验证本文方法的实用性。 4.2 使用CSA-NSGA对屏蔽室叠层的优化 2 应用CSA-NSGAII算法对本文提出的多目标函数进行求解时，所使用的材料参数如 表2 表2 所示。试件由内至外材料分别为中冶恒泰1J85坡莫合金，宝钢B50A250无取向硅钢以及中铝1060铝板，不同的金属层叠顺序会对屏蔽结果产生影响，但已有文献说明该顺序用于磁场屏蔽时性能最佳 ［ 16 16 ， 20 20 ］ 。如使用其他材料，仅需对模型中参数进行修改即可完成优化。其中，相对磁导率是特殊介质的磁导率与真空磁导率的比值，相对电阻率是指规定体积的退火铜电阻率与同单位的试样材料的电阻率之比。 材质 相对磁导率（ <math id="M125"><msub><mrow><mi>μ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995594&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995593&type= 2.45533323 3.89466691 ） 相对电阻率（ <math id="M126"><msub><mrow><mi>σ</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">r</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995596&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995595&type= 2.20133328 3.21733332 ） 密度/（kg·m -3 ） 价格/（CNY·kg -1 ） 硅钢 1 000 0.17 7.55×10 3 12.6 铝 1 0.61 2.70×10 3 22.8 坡莫合金 80 000 0.03 8.75×10 3 140 空气 1 - 1.29 将2.3节中的优化问题带入改进方法中，所得出的帕累托解如 图8 图8 所示。设定优化目标为：屏蔽室的屏蔽性能在1 Hz频率变化磁场中能够满足大于70 dB的效能，屏蔽效能的计算公式为 <math id="M127"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">E</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">20</mn><mi mathvariant="normal">l</mi><mi mathvariant="normal">o</mi><mi mathvariant="normal">g</mi><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>/</mo><mi>H</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995601&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995599&type= 31.49600029 4.82600021 ，其中， <math id="M128"><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995605&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995603&type= 4.14866638 3.72533321 为屏蔽室建设前的磁场， <math id="M129"><mi>H</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995610&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995608&type= 2.96333337 2.79399991 为屏蔽室建设后的剩余磁场。 由4.1节可知，使用本文提出的CSA-NSGAII算法相比NSGAII算法能够获得更小的建造成本与更低的总质量，由 图8 图8 可以看出，使用CSA-NSGAII用于预测本文的问题在整个空间中获得的解都优于NSGAII所求得的解，且解的分布性更好。在同样的约束条件下，CSA-NSGAII算法能够更加逼近帕累托解，且解更加具有多样性，这与4.1节在ZDT函数上的测试结果相吻合，说明相较于NSGAII算法，本文提出的CSA-NSGAII算法更适合寻找屏蔽室的最优叠层结构。使用本文提出的CSA-NSGAII算法与NSGAII算法对屏蔽室最低造价进行预测，不同频率下每种材料的厚度以及最终造价如 表3 表3 所示。为了屏蔽低频磁场需要更多的反射损耗，屏蔽叠层需要较多的高磁导率材料（坡莫合金），预测结果与理论模型吻合。硅钢可以在一定程度上替代坡莫合金，并且价格相对便宜。优化模型提高了叠层中硅钢的厚度从而减少了建造成本，随着频率的上升，所需的高导磁率材料逐渐减少，并且可以通过增大空气层厚度来大幅节约建造成本。通过对比两种方法所求出的最优解，可以明显地看出：相比NSGAII算法，本文算法在所测试的所有频率都能获得更优的层叠结构。由于屏蔽不同频率所使用的材料厚度不同，本文使用以下的方法来评价CSA-NSGAII算法与NSGAII算法用于求取最优层叠结构时能够节约的成本： <math display="block" id="M130"><mi>P</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mo>∑</mo><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo>-</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mo>∑</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow></mfrac><mo>×</mo><mn mathvariant="normal">100</mn><mi mathvariant="normal">%</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995621&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995619&type= 68.58000183 10.92199993 ， 其中： <math id="M131"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995625&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995623&type= 14.47799969 4.48733330 表示屏蔽频率为 <math id="M132"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995634&type= 1.10066664 2.79399991 时NSGAII算法计算屏蔽室的造价， <math id="M133"><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">C</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="normal">N</mi><mi mathvariant="normal">S</mi><mi mathvariant="normal">G</mi><mi mathvariant="normal">A</mi><mi mathvariant="normal">I</mi><mi mathvariant="normal">I</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">(</mo><mi>i</mi><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995632&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995630&type= 19.81200027 4.48733330 表示屏蔽频率为 <math id="M134"><mi>i</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995637&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=32995634&type= 1.10066664 2.79399991 时CSA-NSGAII算法计算屏蔽室的造价。用该公式计算 表3 表3 中的数据可知，本文提出的CSA-NSGAII算法相比NSGAII算法可以平均节省约14%的建造成本。 算法 频率/Hz 硅钢厚度/mm 铝厚度/ mm 坡莫合金 厚度/mm 硅钢-铝空气层厚度/mm 硅钢-坡莫合金空气层 厚度/mm 造价/ CNY 6 NSGAII 1 0.141 7.442 2.458 4.638 3.753 2 598 150 10 5.296 3.356 0.175 7.793 3.202 1 435 750 20 0.618 2.827 1.055 5.037 4.543 1 408 320 30 3.093 2.669 0.139 3.765 5.545 1 148 870 40 2.722 1.784 0.189 5.460 5.492 1 101 150 50 1.421 1.745 0.452 7.717 5.476 992 232 6 CSA-NSGAII 1 7.949 9.384 0.592 2.830 2.538 2 472 390 10 1.447 3.205 1.208 7.694 2.477 1 379 590 20 0.695 1.712 1.179 6.534 3.366 1 082 140 30 1.924 2.676 0.457 4.872 3.064 933 880 40 3.314 1.885 0.051 5.668 3.709 870 269 50 0.449 1.301 0.793 4.400 6.038 771 813 本文验证实验的平台如 图9 图9 所示。其中， 图9 图9 （a）为已建成磁屏蔽室，该屏蔽室能够屏蔽外部干扰磁场，在屏蔽室中提供一个近零磁环境，可使实验数据更加准确。 图9 图9 （b）为三轴亥姆霍兹线圈，亥姆霍兹线圈是一种制造小范围区域均匀磁场的器件，使用该装置可以产生nT级至T级磁场，另外磁场与线圈电流有很好的线性关系，因此可以产生与电流变化频率相同的变化磁场。本文将测试件放置于该实验装置中进行实验，由于该实验仅与磁场强度有关，因此本文实验时为方便测试，仅使用水平方向线圈产生磁场。 实验试件使用中冶恒泰1J85坡莫合金，宝钢B50A250无取向硅钢以及中铝1060铝板制成。试件材料厚度参考 表3 表3 中的最优厚度，根据实际能够购买到的材料，实验试件坡莫合金层由0.5 mm与0.1 mm厚的薄片叠加组成；硅钢层由0.5 mm厚的薄片叠加组成；铝层由2 mm，1 mm与0.5 mm厚的铝板叠加组成；金属层厚度向上取整，层与层之间由木板填充形成空气层，试件由内至外每层材料实际厚度如 表4 表4 所示。 线圈电流频率/Hz 材质 理论厚度 /mm 实际厚度 /mm 测量次数 外部磁场强度 /nT 内部剩余磁场/nT 5 1 坡莫合金 0.592 0.600 1 3.25×10 4 10.3 空气层1 3.753 3.800 2 3.22×10 4 10.1 硅钢 7.949 8.000 3 3.23×10 4 10.1 空气层2 4.638 4.600 4 3.20×10 4 10.0 铝 9.384 9.500 5 3.24×10 4 10.2 5 50 坡莫合金 0.793 0.800 1 3.25×10 4 10.2 空气层1 6.038 6.000 2 3.23×10 4 10.1 硅钢 0.449 0.500 3 3.24×10 4 10.1 空气层2 4.400 4.400 4 3.22×10 4 10.2 铝 1.301 1.500 5 3.19×10 4 10.0 本文使用亥姆霍兹线圈产生了变化频率为1 Hz、强度为32 000 nT的磁场与变化频率为50 Hz、强度为32 000 nT的磁场对两个试件进行实验，测试中使用MS-03AR型三轴磁传感器对试件的屏蔽效果进行了测量，实验数据如 表4 表4 所示。由 表4 表4 可以看出虽然测试时外部磁场强度会有少量偏差，但经多次实验两种试件均能实现约70 dB的屏蔽效果，说明由本文改进后的NSGAII算法能够对屏蔽叠层进行优化，且优化结果具有一定的实际使用价值。 5 结 论 1 本文提出将CSA-NSGAII算法用于优化多层屏蔽室的叠层结构，预测屏蔽室的质量与造价。本文首先提出使用分段交叉策略与自适应变异算子的CSA-NSGAII算法。然后，使用CSA-NSGAII算法对屏蔽结构进行了优化，仿真及实验结果表明： （1）经ZDT测试函数验证，CSA-NSGAII算法与NSGAII算法、NSGAII-SDR和g-NSGAII相比在GD、IGD等指标上都具有显著提升，证明改进算法在收敛性能与种群分布均匀性上改进的有效性。 （2）应用CSA-NSGAII算法对磁屏蔽结构的多目标优化问题求解，比NSGAII方法优化结构节省14%的建设成本，且优化后的结构在实际的平台中进行测试，能够满足设计性能。说明本文提出算法的实用性。 （3）CSA-NSGAII的实用性范围广，不仅可以用于磁屏蔽室的结构优化，同时可以进一步推广到更多的应用场景，譬如电磁屏蔽室的结构优化等应用。 参考文献 刘添豪 . 零磁装置内高均匀度微特级磁场的实现及应用研究 ［D］. 哈尔滨 ： 哈尔滨工业大学 ， 2021 . 零磁装置内高均匀度微特级磁场的实现及应用研究 LIU T H . 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