Optimization and accuracy analysis of point spatial distribution based on three-dimensional multi-point intersection

三维多点交会点位空间分布优化与精度分析 Optimization and accuracy analysis of point spatial distribution based on three-dimensional multi-point intersection 1 first-author 丁克良（1968-），男，河南淮阳人，博士，副教授，硕士生导师，国家注册测绘师，2006年于中国科学院测量与地球物理研究所获得博士学位，主要从事精密工程测量数据处理的教学与研究工作。E-mail：dkliang@bucea.edu.cn http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335076&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335084&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335079&type= 22.01333618 32.00395966 丁克良 （1968-），男，河南淮阳人，博士，副教授，硕士生导师，国家注册测绘师，2006年于中国科学院测量与地球物理研究所获得博士学位，主要从事精密工程测量数据处理的教学与研究工作。E-mail： dkliang@bucea.edu.cn dkliang@bucea.edu.cn 1 2 corresp E-mail： jiangzhiqiang@zjlab.org.cn E-mail： jiangzhiqiang@zjlab.org.cn jiangzhiqiang@zjlab.org.cn 3 1 北京建筑大学 测绘与城市空间信息学院，北京 102616 北京建筑大学 测绘与城市空间信息学院，北京 102616 School of Geomatics and Urban Spatial Informatics， Beijing University of Civil Engineering and Architecture， Beijing 102616， China School of Geomatics and Urban Spatial Informatics， Beijing University of Civil Engineering and Architecture， Beijing 102616， China 中国科学院 上海高等研究院，上海 201210 中国科学院 上海高等研究院，上海 201210 Shanghai Advanced Research Institute， Chinese Academy of Sciences， Shanghai 201210， China Shanghai Advanced Research Institute， Chinese Academy of Sciences， Shanghai 201210， China 北京普达迪泰科技有限公司，北京 100083 北京普达迪泰科技有限公司，北京 100083 Beijing Puda Ditai Technology Co.， Ltd.， Beijing 100083， China Beijing Puda Ditai Technology Co.， Ltd.， Beijing 100083， China 为了提高超高精度、大尺寸三维控制网布设中点位交会的测量精度，利用激光跟踪仪测量系统建立高精度三维控制网，点位交会精度受测量点空间几何分布的影响，构建了基于激光跟踪仪测量系统的加权几何精度因子模型，根据测量点的点位分布和数量，从水平面、高程等方面对多方向多距离的空间点位交会精度进行了比较分析。实验结果表明：三点交会测量时，测量点距离越短，天顶距间差值越大，点位交会精度越高；在已知四面体的内部插入测量点，测量点距离越短，天顶距越大，点位交会精度越高；测量点为6个时，点位交会精度能很好地满足测量要求，且精度趋于稳定，随测量点的增加，精度提升缓慢。该方法可选取有利的点位位置，有效地提高点位交会精度，在实际工程应用中具有较高的应用价值。 To improve point measurement accuracy in ultra-high-precision and large-scale 3D control network layouts， a high-precision 3D control network is established using a laser tracker measurement system. The precision of point intersection is affected by the spatial geometric distribution of the measuring points. A weighted geometric precision factor model based on the laser tracker measurement system is constructed. The precision of multi-directional and multi-distance spatial point intersection is compared and analyzed from the distribution and number of measurement points， from the horizontal plane and elevation .The experimental results show that the shorter the measuring point distance， the greater the deviation between the zenith distance， and the higher the precision of point intersection when measuring at a three-point intersection . When adding a measuring point inside a known tetrahedron， the shorter the observation distance of the measuring point， the greater the zenith distance， and the higher the precision of point intersection； When the number of known points is 6， the point intersection accuracy can meet the measurement requirements， and the precision tends to be stable. With an increase in the number of measuring points， the precision improves slowly. This method can select favorable positions of points， effectively improve the accuracy of point rendezvous， and has high application value in practical engineering applications. 激光跟踪仪 多点交会 精度因子 空间几何分布 laser tracker multipoint rendezvous precision factor spatial geometric distribution 1 引　言 1 随着大型科学工程的不断发展，大尺寸精密工程三维控制网的测量精度越来越高 ［ 1 1 - 2 2 1-2 ］ 。为了保证布设的点位可以完全控制建筑的施工和移动模块的安装，测量点数量要达到数万个，而常用的三点交会法已不能满足大规模复杂工程的测量精度要求，需要对测量点和测站进行加密处理。多点交会法却可以选取有利的点位位置，有效地提高点位交会精度，从而提高整体网型的测量精度。 近年来，国内外研究人员就空间三维坐标测量精度进行了多方面的研究。张皓琳等根据最小二乘不等精度估计理论，分析得出坐标转换精度主要受测量精度及点位几何分布的影响 ［ 3 3 ］ 。刘湛基等提出结合最小二乘法的RANSAC快速转换算法构建公共点拟合变换模型，再利用评判模型选定最优的公共点分布结构 ［ 4 4 ］ 。李辉等分析了激光跟踪仪受公共点分布影响的系统误差，构建了转站参数误差补偿模型，提高了多基站转站精度 ［ 5 5 ］ 。王强和Bergen等利用精度因子（Dilution Of Precision，DOP）分别研究了到达角交汇定位系统（Activity On Arrow， AOA）基于距离测量和角度测量时仪器的最佳布设位置和数量 ［ 6 6 - 7 7 6-7 ］ 。熊芝等比较分析了基于空间测量定位系统(workshop Measurement Positioning System,wMPS）网络布局中几种经典测站布局方式对测量精度的影响，获得了最佳站位分布结构 ［ 8 8 ］ 。周娜等根据激光雷达及iGPS系统的测量特性，对飞机数字化测量网络的布站进行了优化设计，有效提高了测量精度 ［ 9 9 ］ 。贾庆莲等基于三维几何分布模型（Geometrical Dilution of Precision，GDOP）分析了多个布站模式下周视搜索系统对目标的定位误差及分布规律，选定了最佳的布站模式 ［ 10 10 ］ 。 Konchenko等通过DOP和圆误差概率（Circular Error Probability，CEP）优化了机场多边监测系统的仪器布设位置 ［ 11 11 ］ 。范百兴等通过构建激光干涉测量三维点坐标的几何精度因子（Position Dilution of Precision，PDOP）模型，有效避免了测量点及测站的不利测量位置 ［ 12 12 - 14 14 12-14 ］ 。此外，研究人员还针对全球导航定位系统中卫星分布的空间三维坐标测量精度进行了研究 ［ 15 15 - 17 17 15-17 ］ 。所以，对多种测量方法的点位空间分布结构的研究，是提高空间三维坐标测量精度的重点。 由于测量点的数量和空间位置分布是影响测量精度的主要因素，本文基于激光跟踪仪测量系统，在分析三维平差模型的基础上，对测量点数据进行量化分析，构建了加权精度因子模型（Weighted Dilution Of Precision， wDOP），通过多方向多距离的点位交会插点精度实验分析，选取有利的点位位置，获得了满意的测量精度。 2 多点交会的计算方法 1 2.1　函数模型 2 如 图1 图1 所示，多点交会的观测值为待定点 P 点到 n 个测量点的斜距 <math id="M1"><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>~</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335089&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335087&type= 10.24466705 3.72533321 ，天顶距 <math id="M2"><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>~</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335096&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335092&type= 9.73666668 4.74133348 ，水平方向 <math id="M3"><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub><mo>~</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335101&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335099&type= 9.82133293 3.72533321 ，观测值个数为3 n ，必要观测数为6。其中 n 为测量点个数，测量点 <math id="M4"><msub><mrow><mi>T</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335107&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335105&type= 3.38666677 3.72533321 的坐标为 <math id="M5"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335114&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335111&type= 16.93333435 4.48733330 ，假定待定点 P 改正坐标为 <math id="M6"><mo stretchy="false">(</mo><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335120&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335116&type= 18.03400040 4.48733330 ，近似坐标为 <math id="M7"><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335125&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335123&type= 19.38866615 4.65666676 ，近似坐标的改正数为 <math id="M8"><mo stretchy="false">(</mo><mi>δ</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>δ</mi><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mi>δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo stretchy="false">)</mo></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335128&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335126&type= 23.53733444 4.48733330 。经推导，各观测值的误差方程如下 ［ 18 18 - 19 19 18-19 ］ ： <math display="block" id="M9"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>i</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn 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http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335134&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335132&type= 141.81666565 31.07266808 ， 式中： <math id="M10"><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335137&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335136&type= 3.64066648 3.97933340 为第 i 条边上的水平方向近似观测值， <math id="M11"><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335141&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335139&type= 3.89466667 3.97933340 为第 i 条观测边的近似斜距， <math id="M12"><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn 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mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>·</mo><mi mathvariant="normal">s</mi><mi mathvariant="normal">i</mi><mi mathvariant="normal">n</mi><msubsup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>i</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335156&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335153&type= 72.55933380 49.61466599 上述误差方程式表达成矩阵形式为： <math display="block" id="M15"><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mo>·</mo><mi>δ</mi><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>-</mo><mi mathvariant="bold-italic">l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335163&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335160&type= 21.84399986 2.96333337 ， 其中： <math display="block" id="M16"><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">V</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>H</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msub></mrow></msub><mo>,</mo><mo>…</mo><mo>,</mo><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>δ</mi><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mi>δ</mi><mi>X</mi><mo>,</mo><mi>δ</mi><mi>Y</mi><mo>,</mo><mi>δ</mi><mi>Z</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>,</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335168&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335166&type= 74.59133148 12.86933327 <math display="block" id="M17"><mtable><mtr><mtd><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mo>=</mo><mfenced separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mn 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mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd><mtd><mo>⋮</mo></mtd><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>-</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn 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mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>ρ</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mo>⋮</mo></mtd><mtd><mo>⋮</mo></mtd><mtd><mo>⋮</mo></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ρ</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mo>-</mo><mi>ρ</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow><mrow/></msubsup><mo>-</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><msup><mrow><msubsup><mrow><mi>D</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></mrow></mfrac></mtd><mtd><mn mathvariant="normal">0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>ρ</mi><mo>·</mo><mfrac><mrow><mo stretchy="false">(</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mn 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mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>S</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>α</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn><mi>p</mi></mrow></msub><mo>,</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>.</mo><mo>,</mo><msubsup><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>-</mo><msub><mrow><mi>β</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></mfenced></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mo>.</mo></mtd></mtr></mtable></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335177&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335171&type= 115.73934174 89.15399933 ， 计算 <math id="M18"><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mo>,</mo><mi mathvariant="bold-italic">l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335184&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335181&type= 5.58799982 3.21733332 矩阵时， <math id="M19"><mi>ρ</mi><mo>=</mo><mn mathvariant="normal">206</mn><mtext> </mtext><mn mathvariant="normal">265</mn></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335191&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335187&type= 18.28800011 3.64066648 。 2.2　观测值的权矩阵确定 2 以激光跟踪仪的测量数据为例，激光跟踪仪的测角误差随着测量距离的增大而增大 ［ 14 14 ］ ，其测角的标称方式一般采用 ±（a+b×S） 的形式，其中 a 为固定误差，单位为μm， b 为比例误差，单位为μm/m。以AT960激光跟踪仪为例，其角度标称精度为±（15 μm+6 μm/m）。因此，角度权为 ［ 20 20 ］ ： <math display="block" id="M20"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>×</mo><mi>S</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335209&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335205&type= 29.97199821 9.65199947 . 激光跟踪仪的天顶距测量精度与水平角的标称值相同，但实际测试表明，激光跟踪仪的一测回水平方向中误差要小于一测回垂直方向中误差，因此在平差解算时，可按照如下原则赋权 ［ 21 21 ］ ： <math display="block" id="M21"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">V</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>k</mi><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">H</mi></mrow></msub></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335214&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335212&type= 14.90133286 3.72533321 ， 其中 k 为小于1的系数，参考AT960激光跟踪仪的测角精度检测结果， k 一般取0.7~0.8比较合适。 激光跟踪仪的距离观测值的权可以表示为： <math display="block" id="M22"><msub><mrow><mi>P</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">S</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><mfrac><mrow><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow><mrow><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup><mo>×</mo><mi>S</mi></mrow></mfrac></mrow></mfenced></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">2</mn></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335220&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335216&type= 30.48000145 9.48266697 ， 其中： <math id="M23"><msup><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335228&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335225&type= 2.37066674 3.04799986 为测距固定误差， <math id="M24"><msup><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">'</mi></mrow></msup></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335234&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335231&type= 2.28600001 3.04799986 为测距的比例误差，但是激光跟踪仪的测距固定误差一般都很小，因此其标称误差一般都忽略固定误差，只给出比例误差。AT960的距离标称精度为±0.5 μm/m。 2.3　加权精度因子构建 2 由误差方程及观测值权阵列出法方程并解算得到未知数 ［ 19 19 ， 22 22 ］ ： <math display="block" id="M25"><mi>δ</mi><mi mathvariant="bold-italic">x</mi><mo>=</mo><msup><mrow><mfenced separators="|"><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow></mfenced></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mi mathvariant="bold-italic">l</mi></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335239&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335237&type= 33.86666870 5.16466665 . 则待定点坐标为： <math display="block" id="M26"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>δ</mi><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>δ</mi><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msubsup><mo>+</mo><mi>δ</mi><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335245&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335242&type= 25.65399933 13.88533401 . 单位权中误差估值为： <math display="block" id="M27"><msub><mrow><mover accent="true"><mi>σ</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mo>±</mo><mroot><mrow><mfrac><mrow><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mi mathvariant="bold-italic">V</mi></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>-</mo><mi>t</mi></mrow></mfrac></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335251&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335248&type= 26.33133316 9.05933285 ， 式中： n 为观测量个数， t 为必要观测量个数。 待定点 P 点坐标改正数的协因数阵为： <math display="block" id="M28"><mi mathvariant="bold-italic">Q</mi><mo>=</mo><mo stretchy="false">(</mo><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">B</mi></mrow><mrow><mi mathvariant="normal">T</mi></mrow></msup><msup><mrow><mi mathvariant="bold-italic">P</mi><mi mathvariant="bold-italic">B</mi><mo stretchy="false">)</mo></mrow><mrow><mo>-</mo><mn mathvariant="normal">1</mn></mrow></msup><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]" separators="|"><mrow><mtable><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr><mtr><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd><mtd><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335257&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335253&type= 61.97600174 17.44133377 . 则待定点的点位中误差为： <math display="block" id="M29"><msub><mrow><mi>M</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mo>±</mo><msub><mrow><mover accent="true"><mi>σ</mi><mo>̂</mo></mover></mrow><mrow><mn mathvariant="normal">0</mn></mrow></msub><mroot><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335264&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335259&type= 52.66266632 5.41866684 . 系数矩阵是测站点和测量点空间位置的反映，则加权精度因子的wDOP模型如下 ［ 16 16 ， 23 23 - 24 24 23-24 ］ ： <math display="block" id="M30"><mfenced open="{" close="" separators="|"><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>w</mi><mi>P</mi><mi>D</mi><mi>O</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi><mi>H</mi><mi>D</mi><mi>O</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>X</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Y</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>w</mi><mi>V</mi><mi>D</mi><mi>O</mi><mi>P</mi><mo>=</mo><mroot><mrow><msub><mrow><mi>Q</mi></mrow><mrow><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub><msub><mrow><mi>Z</mi></mrow><mrow><mi>p</mi></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow/></mroot></mtd></mtr></mtable></mrow></mfenced></math> http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335270&type= http://html.publish.founderss.cn/rc-pub/api/common/picture?pictureId=16335267&type= 55.62600327 20.65866661 ， 其中：wPDOP为加权空间位置的精度因子，wHDOP为加权水平位置的精度因子，wVDOP为加权高程的精度因子。 3 实　验 1 3.1　实验方案 2 以3个测量点 T 1 ， T 2 ， T 3 及测站 P 为基准构建四面体，由于激光跟踪仪测角误差会随距离的增大而增大，则控制水平角和天顶距固定的情况下，在 P 和 T 3 的测线上，移动 T 3 的位置，让 T 3 方向上的距离成倍增加，分别构建 T 3-0 ~ T 3-15 ，共16个点位置， T 1 ， T 2 点保持不变，如 图2 图2 所示。 对变化的四面体进行连续测量和精度计算， XOY ， YOZ ， ZOX 面内wPDOP值的分布情况如 图3 图3 所示。从 图3 图3 可以看出，在3个平面内，四面体的wPDOP值均随着离测站点距离的增加而增加。所以在水平角和天顶距相当的情况下，为保证点位交会精度，测量点到测站的距离应尽量短。 以某工程为例，根据已知测量点坐标，自由布设测站，以测站为原点建立坐标系，对测量点进行测量，实际布设情况如 图4 图4 所示。为保证点位交会精度，剔除水平角与天顶距近似但距离较长的点，剩余点位分布如 图5 图5 所示。 以每3个测量点为一组，对所有测量点进行排列组合，循环计算，提取其wPDOP，wVDOP，wHDOP及点位交会中误差Mp。通过实验证明wPDOP与Mp的数值分布情况基本一致，相关性达0.67，具体情况如 图6 图6 所示。 wPDOP与wVDOP，wHDOP的相关性分别为0.99和0.6。从 图7 图7 （a）可知，wPDOP与wVDOP不仅具有良好的相关性，且wVDOP与wPDOP的数值基本一致；wPDOP与wHDOP的相关性明显低于wPDOP与wVDOP的相关性，且如 图7 图7 （b）所示数值上wHDOP远小于wPDOP，所以在考虑测量点的几何分布情况时，主要考虑高程方向的影响因素，即可得到较好的测量点分布结构。 1;2; wVDOP主要受天顶距和距离的影响，同组合中测量点间最大天顶距差值与wVDOP负相关，相关性达 - 0.60，同组合中最短距离与wVDOP值呈正相关，相关性高达0.87。具体情况如 图8 图8 所示，距离相同时，随着天顶距差值的不断增大，wVDOP值逐渐减小；天顶距差值相同时，wVDOP随着距离的减小而减小。所以在选择测量点时，尽量选择天顶距差值较大，测量距离较小的点组合进行点位交会，可以有效地提高点位交会精度。 3.2　点数及空间分布对精度影响分析 2 理论上，对空间点进行三维交会测量时，测量点数与测量点分布都直接影响wPDOP值。选择上述测量点较为分散的四面体组合作为基准，增加一测量点，分别计算新增测量点增加在已有四面体内部、面上、外部（增加/不增加天顶距最大差值）时对点位交会精度的影响，然后依次在4，5，…，8多面体的4个位置分别增加测量点，从而得到点位交会精度，如 图9 图9 所示。整体而言，当测量点增加在多面体内部时，wPDOP值及点位交会中误差Mp最小；随着测量点数的增加，wPDOP值与点位交会中误差都逐渐减小。实验证明：随着测量点的增加，点位交会精度逐渐提高；在已有多面体的内部增加测量点能更好地提高多点交会精度。 在已知四面体内增加测量点，控制测量点的水平角和天顶距近似相同，增加斜距，分析结果如 图10 图10 （a）所示，随着距离的增加，wPDOP值随之下降；控制测量点的距离和天顶距近似相同，改变水平角，分析结果如 图10 图10 （b）所示，wPDOP值与水平角的分布没有直接关系；控制测量点的距离和水平角近似相同，改变天顶距，分析结果如 图10 图10 （c）所示，wPDOP值随着天顶距的增大而减小。实验证明：在多面体内增加测量点时，在水平角一定的情况下，应尽可能地减小测量点到测站的距离、增加测量点的天顶距，从而提高点位交会精度。 在已知四面体内依次插入1，2，…，16个点，16个点分别进行随机 ξ 排序，按照水平角 α 、天顶距 β 、斜距 S 大小降序排列，对4种排序数据进行分析，分析结果如 图11 图11 所示。wPDOP值、wHDOP值、wVDOP值及点位交会中误差Mp均会随着测量点数的增加而减小，在5个测量点以后数值的减小幅度逐渐降低，6个测量点时均可得到一个较稳定数值。所以，在点位交会中，使用6个点进行交会计算，即可得到较高、较稳定的点位交会精度。 4 结 论 1 由于测站的点位交会精度主要受测量点空间几何分布的影响，本文构建了基于激光跟踪仪测量系统的wDOP解算模型，从测量点在水平面和高程方向的点位分布、测量点数量对空间点位交会精度的影响进行了比较分析。理论分析和实验表明，三点交会测量时，测站交会精度主要受点位高程方向的分布影响，高程精度因子wVDOP与空间位置精度因子wPDOP值的相关性高达0.99，交会精度随着测量点间最大天顶距差值的增大和最短距离的减小而提高。当新增测量点在原有四面体之内时，对减小测量点的wPDOP值具有显著作用，且新增测量点的距离越短、天顶距越大，点位交会精度越高。增加测量点可以有效提高点位交会精度，当测量点达到6个时，点位交会精度可达到一个较稳定、较高的状态；随着测量点的增加，点位精度提高的幅度逐渐减小。 根据本文构建的几何精度因子模型wDOP值的空间分布影响因素，可以指导大尺度精密工程三维控制网布设和测量，优化最佳测站位置，最大限度地提高点位交会精度。 参考文献 任瑜 . 异构网络坐标测量精度分析与算法研究 ［D］. 天津 ： 天津大学 ， 2016 . 异构网络坐标测量精度分析与算法研究 REN Y . 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